![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicЭтот постинг, как объясняющий мотивацию и постановку задачи, следовало бы написать первым, но пусть будет хоть вторым.
В статье 1010.0982 показано, что (ко)гомологии Хохшильда DG-категории локально свободных матричных факторизаций конечного ранга регулярной функции w с единственным критическим значением 0 на гладком аффинном многообразии X над совершенным полем вычисляются "(ко)гомологическим комплексом Хохшильда второго рода" CDG-алгебры (O(X),0,w). Слово "вычисляются" означает "связаны цепочкой разнонаправленных, но очень естественных квази-изоморфизмов комплексов, предположительно сохраняющих все разумные дополнительные структуры" (такие как циклические гомологии, операции в когомологическом комплексе Хохшильда, и т.п.).
Слова "второго рода" здесь понимаются в классическом смысле [HMS], т.е. попросту означают, что надо тотализировать бикомплекс необычным образом -- брать прямые произведения вдоль диагоналей в случае гомологий, прямые суммы в случае когомологий. (Обычный способ тотализации не имеет смысла, т.е. дает очень глупый ответ, для алгебр с кривизной -- это частный случай общего феномена "теории первого рода теряют смысл при наличии кривизны".)
Хотелось бы обобщить это утверждение на случай пусть аффинных, но негладких многообразий. С этой постановкой задачи немедленно связаны, как минимум, два вопроса:
- Для какой DG-категории надо вычислять (ко)гомологии Хохшильда? В негладком случае появляется уже не один, а два кандидата: DG-категория локально свободных матричных факторизаций конечного ранга и, скажем, локализация Дринфельда DG-категории когерентных матричных факторизаций по абсолютно ацикличным.
Я не знаю, у какой из этих DG-категорий (ко)гомологии Хохшильда правильнее или интереснее, но подход, намеченный в этой серии постингов, следуя в русле нашей вышепроцитированной работы, нацелен на рассмотрение DG-категории локально свободных (т.е., проективных) матричных факторизаций конечного ранга.
- Что должно пониматься под отсутствием ненулевых критических значений у регулярной функции на многообразии с особенностями? Конечно, можно придумать какой-нибудь ответ на этот вопрос (а специалисты, наверное, смогут предложить нам целый ряд возможных ответов), но было бы интересно знать, какой ответ является правильным для этой задачи.
В статье 1010.0982 показано, что (ко)гомологии Хохшильда DG-категории локально свободных матричных факторизаций конечного ранга регулярной функции w с единственным критическим значением 0 на гладком аффинном многообразии X над совершенным полем вычисляются "(ко)гомологическим комплексом Хохшильда второго рода" CDG-алгебры (O(X),0,w). Слово "вычисляются" означает "связаны цепочкой разнонаправленных, но очень естественных квази-изоморфизмов комплексов, предположительно сохраняющих все разумные дополнительные структуры" (такие как циклические гомологии, операции в когомологическом комплексе Хохшильда, и т.п.).
Слова "второго рода" здесь понимаются в классическом смысле [HMS], т.е. попросту означают, что надо тотализировать бикомплекс необычным образом -- брать прямые произведения вдоль диагоналей в случае гомологий, прямые суммы в случае когомологий. (Обычный способ тотализации не имеет смысла, т.е. дает очень глупый ответ, для алгебр с кривизной -- это частный случай общего феномена "теории первого рода теряют смысл при наличии кривизны".)
Хотелось бы обобщить это утверждение на случай пусть аффинных, но негладких многообразий. С этой постановкой задачи немедленно связаны, как минимум, два вопроса:
- Для какой DG-категории надо вычислять (ко)гомологии Хохшильда? В негладком случае появляется уже не один, а два кандидата: DG-категория локально свободных матричных факторизаций конечного ранга и, скажем, локализация Дринфельда DG-категории когерентных матричных факторизаций по абсолютно ацикличным.
Я не знаю, у какой из этих DG-категорий (ко)гомологии Хохшильда правильнее или интереснее, но подход, намеченный в этой серии постингов, следуя в русле нашей вышепроцитированной работы, нацелен на рассмотрение DG-категории локально свободных (т.е., проективных) матричных факторизаций конечного ранга.
- Что должно пониматься под отсутствием ненулевых критических значений у регулярной функции на многообразии с особенностями? Конечно, можно придумать какой-нибудь ответ на этот вопрос (а специалисты, наверное, смогут предложить нам целый ряд возможных ответов), но было бы интересно знать, какой ответ является правильным для этой задачи.
