![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicI. Свободные контрамодули над топологическими локальными кольцами
Пусть R -- топологическое коммутативное кольцо, в котором
открытые идеалы образуют базу окрестностей нуля. Мы будем
предполагать, что R полно и отделимо (т.е. изоморфно
отображается в проективный предел своих факторколец по
открытым идеалам). Читатель ничего не потеряет, предполагая,
что R имеет счетную базу окрестностей нуля.
Будем называть кольцо R топологическим локальным кольцом,
если оно локально как абстрактное коммутативное кольцо,
и его максимальный идеал m топологически нильпотентен
(т.е., каждый открытый идеал содержит некоторую степень m).
Типичным примером такого кольца, который нас будет
интересовать, является пополнение (дискретного)
коммутативного кольца по степеням его максимального идеала.
Топологическое кольцо R называется проартиновым, если его
дискретные факторкольца являются артиновыми кольцами.
Например, полное нетерово локальное кольцо является
проартиновым; двойственное векторное пространство к любой
коммутативной коалгебре над полем является проартиновым
топологическим кольцом.
Каждому (абстрактному) множеству X сопоставим множество R[[X]]
всех формальных линейных комбинаций элементов X
с коэффициентами из R, образующими сходящееся к нулю семейство
(т.е., любая окрестность нуля в R содержит все коэффициенты,
кроме конечного числа). Тогда естественное вложение X\to R
и отображение "раскрытия скобок" R[[R[[X]]]] \to R[[X]] задают
структуру монады на функторе X \mapsto R[[X]]. Модули над
этой монадой называются контрамодулями над R. Нетрудно
проверить, что R-контрамодули образуют абелеву категорию,
снабженную точным, консервативным забывающим функтором
R-contra \to R-mod, сохраняющим бесконечные произведения.
В категории R-contra достаточно много проективных объектов,
которыми являются свободные контрамодули R[[X]] и их прямые
слагаемые. В категории R-contra также существуют бесконечные
прямые суммы, которые можно построить для свободных
контрамодулей по правилу \bigoplus_\alpha R[[X_\alpha]] =
\R[[\coprod_\alpha X_\alpha]] и для произвольных контрамодулей
с помощью представления их в виде коядер морфизмов свободных.
Лемма I.1: над топологическим локальным кольцом R, классы
проективных и свободных контрамодулей совпадают.
Доказательство: сопоставим каждому R-контрамодулю M его фактор
P/mP по образу mP отображения контрадействия m[[P]] \to P.
Тогда P/mP является векторным пространством над полем R/m.
Например, для свободного контрамодуля F = R[[X]] таким образом
получается векторное пространство F/mF = k[[X]] с базисом X.
Выбрав базис X в пространстве P/mP, получаем отображение
R-контрамодулей R[[X]] \to P/mP, которое в силу проективности
R[[X]] можно поднять до отображения контрамодулей R[[X]] \to P.
Если P проективен, то последнее отображение является проекцией
на прямое слагаемое. Если Q -- соответствующее ядро, то
Q/mQ = 0, откуда Q = 0 по лемме Накаямы для контрамодулей над
топологически нильпотентными кольцами (см. [semimodule-book,
Appendix A]).
Лемма I.2: класс проективных контрамодулей над проартиновым
кольцом замкнут относительно бесконечных произведений.
Доказательство: поскольку всякое проартиново кольцо является
произведением проартиновых локальных колец, достаточно
рассмотреть случай кольца R последнего типа. Пусть
Q = \prod_\alpha R[[X_\alpha]] -- произведение свободных
контрамодулей; тогда Q/mQ = \prod_\alpha k[[X_\alpha]].
Выберем базис X в последнем векторном пространстве,
и рассмотрим какое-нибудь из соответствующих отображений
R[[X]] \to Q. Каждому открытому идеалу I в R и R-контрамодулю
P сопоставим фактор P/IP по образу IP отображения
контрадействия I[[P]] \to P. Тогда R[[X]] есть проективный
предел контрамодулей R[[X]]/IR[[X]] = R/I[[X]] и Q есть
проективный предел контрамодулей \prod_\alpha R/I[[X_\alpha]],
так что достаточно убедиться, что отображение R/I[[X]] \to
\prod R/I[[X_\alpha]] является изоморфизмом. Но произведение
проективных модулей над артиновым кольцом проективно
(стандартный факт, см. [Bass] и [Chase]), откуда желаемое
утверждение немедленно следует (см. предыдущее доказательство).
Для любого топологического кольца R и любых R-контрамодулей
M и N, множество всех гомоморфизмов R-контрамодулей M \to N
является R-контрамодулем относительно операции поточечного
бесконечного суммирования гомоморфизмов. Мы будем обозначать
этот контрамодуль через Hom^R(M,N). В частности, для любого
множества X и любого R-контрамодуля N имеется естественный
изоморфизм R-контрамодулей Hom^R(R[[X]],N) = \prod_{x\in X} N.
Таким образом, из Леммы I.2 следует, что функтор внутренних
гомоморфизмов Hom^R сохраняет класс проективных
R-контрамодулей, если топологическое кольцо R проартиново.
Нетрудно видеть, что функтор внутренних гомоморфизмов
контрамодулей переводит бесконечные прямые суммы по первому
аргументу и бесконечные произведения по второму аргументу
в бесконечные произведения.
Для любого топологического кольца R, определим операцию
тензорного произведения \ot^R на категории R-контрамодулей
следующим образом. Для свободных контрамодулей R[[X]] и R[[Y]],
по определению, R[[X]]\ot^R R[[Y]] = R[[X\times Y]]. Имеется
очевидное естественное отображение R[[X]]\ot_R R[[Y]] \to
R[[X]]\ot^R R[[Y]], где \ot_R oбозначает тензорное произведение
абстрактных R-модулей. Пусть теперь f: R[[X']] \to R[[X'']] и
g: R[[Y']] \to R[[Y'']] -- гомоморфизмы R-контрамодулей.
Задание гомоморфизмов f и g эквивалентно заданию семейства
элементов f(x'), x'\in X' в R[[X'']] и g(y'), y'\in Y' в R[[Y'']].
Теперь семейство элементов f(x')\ot g(y') в R[[X''\times Y'']]
задает гомоморфизм R-контрамодулей R[[X']]\ot^R R[[Y']] \to
R[[X'']\ot^R R[[Y'']]. Нетрудно проверить, что таким образом
мы построили аддитивный функтор ^R на категории свободных
R-контрамодулей, принимающий значения в той же категории.
Поскольку свободных контрамодулей достаточно много, функтор этот
однозначно продолжается до точного справа функтора на абелевой
категории произвольных R-контрамодулей.
Функтор тензорного произведения свободных контрамодулей
ассоциативен, коммутативен и сохраняет бесконечные прямые суммы,
откуда следует, что теми же свойствами обладает функтор
тензорного произведения произвольных контрамодулей. В частности,
функтор тензорного умножения на свободный контрамодуль R[[X]]\ot^R
есть функтор прямой суммы X копий произвольного R-контрамодуля.
Функторы \ot^R и Hom^R согласованы обычным образом, т.е. имеется
естественный изоморфизм Hom^R(L, Hom^R(M,N)) = Hom^R(M\ot^R L, N)
для любых R-контрамодулей L, M и N. Опять-таки, достаточно
построить такой функториальный изоморфизм для свободных
R-контрамодулей L и M, что несложно сделать.
Каждому контрамодулю P над топологическим кольцом R и замкнутому
идеалу J в P сопоставим фактор P/JP по образу JP отображения
контрадействия J[[P]] \to P, рассматриваемый естественным образом
как контрамодуль над топологическим кольцом R/J (предположим
сначала, что R/J полно -- см. по этому поводу
http://posic.livejournal.com/686472.html ). Функтор P \mapsto P/JP
сопряжен слева к функтору ограничения скаляров R/J-contra \to
R-contra, так что он точен справа и сохраняет бесконечные прямые
суммы. Легко видеть, что он переводит свободный R-контрамодуль
R[[X]] в свободный R/J-контрамодуль R/J[[X]] и коммутирует
с тензорными произведениями.
Из доказательства леммы I.2 нетрудно заключить, что функтор
P \mapsto P/JP сохраняет прямые произведения свободных
контрамодулей над проартиновым кольцом R. В самом деле,
достаточно рассмотреть случай, когда кольцо R топологически
локально. В этом случае мы имеем \prod_\alpha R/I[[X_\alpha]]
= R/I[[X]] для всех открытых идеалов I в R, откуда, переходя
к проективному пределу, \prod_\alpha R/J[[X_\alpha]] =
R/J[[X]] и \prod_\alpha R[[X_\alpha]] = R[[X]], и остается
заметить, что R[[X]]/JR[[X]] = R/J[[X]]. Представляя
произвольные R-контрамодули в виде коядер морфизмов свободных,
мы убеждаемся в том, что функтор P \mapsto P/JP сохраняет
прямые произведения произвольных контрамодулей над проартиновым
кольцом R. Следовательно, он коммутирует также с функтором
внутренних гомоморфизмов из проективных контрамодулей над
проартиновым кольцом R.
Лемма I.3: пусть C -- (возможно, неограниченный) комплекс свободных
контрамодулей над топологическим локальным кольцом R с максимальным
идеалом m. Тогда комплекс C стягиваем тогда и только тогда, когда
комплекс векторных пространств C/mC стягиваем (т.е., ацикличен).
Доказательство: выберем какую-нибудь стягивающую гомотопию для C/m.
Пользуясь проективностью членов комплекса C, поднимем ее до
гомотопии h на комплексе C. Тогда эндоморфизм dh + hd компоненты C^n
комплекса C является тождественным отображением по модулю m.
Остается показать, что всякий морфизм свободных контрамодулей,
являющийся изоморфизмом по модулю m, и сам является изоморфизмом.
В самом деле, из леммы Накаямы для контрамодулей сразу следует, что
такой морфизм сюръективен (здесь еще свободность контрамодулей
не используется). Поскольку свободные контрамодули проективны,
сюръективный морфизм между ними является проекцией на прямое
слагаемое. Если такой морфизм является изоморфизмом по модулю m,
то дополнительное прямое слагаемое равно нулю по модулю m, т.е.
все в целом равно нулю, по той же лемме Накаямы.
http://posic.livejournal.com/684611.html
II. Проективные и инъективные резольвенты R-свободных CDG-модулей
Пусть A -- CDG-алгебра в тензорной категории свободных
контрамодулей над проартиновым топологическим локальным кольцом R.
Предположим, что элемент кривизны CDG-алгебры A делится на
максимальный идеал m кольца R, т.е., принадлежит mA.
Будем рассматривать CDG-модули над A в той же тензорной категории
свободных контрамодулей над R. Они образуют естественным образом
DG-категорию, у которой можно взять категорию нулевых когомологий,
называемую гомотопической категорией R-свободных CDG-модулей над A.
Будем называть R-свободный CDG-модуль M над A полуацикличным, если
комплекс R/m-векторных пространств M/mM ацикличен. Например, если
A -- DG-алгебра (т.е., элемент кривизны A равен нулю), то из
леммы I.3 ясно, что R-свободный (C)DG-модуль над A полуацикличен
тогда и только тогда, когда он стягиваем как комплекс R-модулей.
Очевидно, что свойство полуацикличности R-свободного CDG-модуля
над A сохраняется гомотопическими эквивалентностями, конусами и
сдвигами. Класс полуацикличных CDG-модулей также замкнут
относительно бесконечных прямых сумм и произведений.
Факторкатегория гомотопической категории R-свободных CDG-модулей
над A по толстой подкатегории полуацикличных CDG-модулей
называется полупроизводной категорией R-свободных CDG-модулей над A.
R-свободный CDG-модуль над A называется гомотопически проективным,
если комплекс Hom из него в гомотопической категории R-свободных
CDG-модулей над A в любой полуацикличный R-свободный CDG-модуль
над A ацикличен. R-свободный CDG-модуль над A называется
гомотопически инъективным (по отношению к классу R-свободных
CDG-модулей), если комплекс Hom в него в гомотопической категории
R-свободных CDG-модулей над A из любого полуацикличного
R-свободного CDG-модуля над A ацикличен.
Теорема II.1. Естественные функторы из гомотопической категории
гомотопически проективных R-свободных CDG-модулей над A и
гомотопической категории гомотопически инъективных R-свободных
CDG-модулей над A в полупроизводную категорию R-свободных
CDG-модулей над A являются эквивалентностями триангулированных
категорий.
Доказательство: каждому R-свободному CDG-модулю M над A сопоставим
его бар-резольвенту над A относительно R -- комплекс градурованных
А-модулей, с дифференциалом, понижающим градуировку по числу
тензорных сомножителей, индуцированным умножением на A и действием
A на M. На этом комплексе есть дополнительный дифференциал,
сохраняющий градуировку по числу тензорных сомножителей,
индуцированный дифференциалами на A и M, и дифференциал, повышающий
такую градуировку, индуцированный элементом кривизны в A. Сумма
трех дифференциалов в квадрате равна действию элемента кривизны A.
Тотализуем этот CDG-модуль с помощью взятия бесконечных прямых сумм
вдоль диагоналей. Получившийся CDG-модуль P естественно
отображается в M с конусом, который после приведения по модулю
максимального идеала m кольца R становится конусом отображения
в DG-модуль M/mM из тотального DG-модуля его бар-резольвенты
над DG-алгеброй A/mA над полем k. Последний комплекс ацикличен,
и таким образом конус замкнутого морфизма DG-модулей P \to M
полуацикличен.
Чтобы проверить, что CDG-модуль P гомотопически проективен, мы
докажем более общее утверждение: CDG-модуль P над A, подлежащий
градуированный A-модуль которого свободно порожден градуированным
свободным R-контрамодулем, и такой что DG-модуль P/mP над
DG-алгеброй A/mA гомотопически проективен, сам является
гомотопически проективным. В самом деле, пусть N -- произвольный
R-свободный CDG-модуль над A. Тогда функтор приведения по модулю
m индуцирует отображение комплексов абелевых групп
Hom_A(P,N) \to Hom_{A/mA}(P/mP,N/mN). На самом деле, комплекс
слева является подлежащим комплексом абелевых групп к комплексу
R-контрамодулей, а комплекс справа -- комплексом k-векторных
пространств. Если V -- градуированный свободный R-контрамодуль,
которым порожден градуированный A-модуль P, то градуированный
R-контрамодуль Hom_A(P,N) изоморфен свободному градуированному
R-контрамодулю Hom^R(V,N), а градуированное векторное пространство
Hom_{A/mA}(P/mP,N/mN) изоморфно Hom_k(V/mV,N/mN). Второе является
результатом приведения первого по модулю m. Таким образом,
комплекс k-векторных пространств Hom_{A/mA}(P/mP,N/mN) является
результатом приведения по модулю m комплекса свободных
R-контрамодулей Hom_A(P,N). Если теперь DG-модуль P/mP над A/mA
гомотопически проективен, а DG-модуль N/mN над A/mA ацикличен,
то комплекс Hom_{A/mA}(P/mP,N/mN) ацикличен, откуда комплекс
свободных R-контрамодулей Hom_A(P,N) стягиваем, и в частности
ацикличен как комплекс абелевых групп.
Доказательство для случая гомотопически инъективных R-свободных
CDG-модулей аналогично.
Пусть теперь B -- CDG-алгебра в тензорной категории свободных
R-контрамодулей (никаких предположений на элемент кривизны
не накладывается). R-свободный CDG-модуль над B называется
абсолютно ацикличным, если он принадлежит минимальной толстой
подкатегории гомотопической категории R-свободных CDG-модулей над B,
содержащей тотализации точных троек R-свободных CDG-модулей.
Факторкатегория гомотопической категории R-свободных CDG-модулей
над B по толстой подкатегории абсолютно ацикличных R-свободных
CDG-модулей называется абсолютной производной категорией
R-свободных CDG-модулей над B.
Предложение II.2. Точная категория R-свободных градуированных левых
модулей над R-свободной градуированной алгеброй B имеет конечную
гомологическую размерность, если конечную левую гомологическую
размерность имеет градуированная k-алгебра B/mB.
Доказательство: отметим, что в точной категории R-свободных
градуированных левых B-модулей имеется достаточно много проективных
объектов, каковыми являются прямые слагаемые B-модулей B\ot^R V,
свободно порожденных свободными градуированными R-модулями V,
и достаточно много инъективных объектов, каковыми являются прямые
слагаемые B-модулей Hom^R(B,V), косвободно копорожденных свободными
градуированными R-модулями V. Далее остается использовать
следующую лемму II.3.
Лемма II.3: R-свободный градуированный модуль M над R-свободной
градуированной алгеброй B проективен (инъективен) тогда и только
тогда, когда проективен (инъективен) градуированный модуль M/mM
над градуированной алгеброй B/mB над полем k.
Доказательство: Часть "только тогда" следует из описания проективных
и инъективных R-свободных B-модулей выше. Докажем "тогда".
Предположим, что B/mB-модуль M/mM проективен. Тогда он является
прямым слагаемым свободного, т.е. образом идемпотентного
эндоморфизма свободного B/mB-модуля с некоторым градуированным
векторным пространством образующих, которое можно представить
в виде V/mV, где V -- свободный градуированный R-контрамодуль.
Пусть F -- градуированный B-модуль, свободно порожденный свободным
R-контрамодулем V. Как объяснено в предыдущем доказательстве,
градуированная k-алгебра Hom_{B/mB}(F/mF,F/mF) является результатом
приведения по модулю m градуированной алгебры Hom_B(F,F) в тензорной
категории свободных R-контрамодулей. Пользуясь леммой Цорна
и теоремой о подъеме идемпотентов при факторизации по ниль-идеалу,
вместе с предположением о локальности и про-артиновости R, можно
поднять наш идемпотентный элемент в Hom_{B/mB}(F/mF,F/mF) до
идемпотентного элемента в Hom_B(F,F). Пусть P -- образ последнего
отображения; это проективный R-свободный градуированный B-модуль.
Градуированное k-векторное пространство Hom_{B/mB}(P/mP,M/mM) также
является результатом приведения по модулю m градуированного
свободного R-контрамодуля Hom_B(P,M); в частности, наш изоморфизм
P/mP \to M/mM можно поднять до морфизма R-свободных B-модулей P\to M.
Будучи изоморфизмом по модулю m, он является также изоморфизмом
сам по себе. Случай инъективных градуированных модулей аналогичен.
Теорема II.4. Предположим, что подлежащая градуированная алгебра
R-свободной CDG-алгебры B имеет конечную левую гомологическую
размерность (т.е., точная категория R-свободных градуированных левых
модулей над ней имеет конечную гомологическую размерность). Тогда
естественные функторы из гомотопической категории левых CDG-модулей
над B, подлежащие градуированные B-модули которых являются
проективными R-свободными градуированными B-модулями, и
из гомотопической категории левых CDG-модулей над B, подлежащие
градуированные B-модули которых являются инъективными R-свободными
градуированными B-модулями, в абсолютную производную категорию
R-свободных левых CDG-модулей над B суть эквивалентности
триангулированных категорий.
Доказательство: аналогично случаю CDG-алгебры над полем, и
является частным случаем Remark 3.6 из мемуара Two kinds of
derived categories...
Следствие II.5. Предположим, что подлежащая градуированная алгебра
R-свободной CDG-алгебры B имеет конечную левую гомологическую
размерность. Тогда R-свободный левый CDG-модуль M над B абсолютно
ацикличен тогда и только тогда, когда CDG-модуль M/mM над B/mB
абсолютно ацикличен.
Доказательство: часть "только тогда" очевидна, поскольку функтор
приведения по модулю m сохраняет точные тройки R-свободных
CDG-модулей над B. Докажем "тогда". Согласно теореме II.4 (и ее
доказательству), CDG-модули над B с подлежащими градуированными
модулями, свободно порожденными свободными градуированными
R-контрамодулями и абсолютно ацикличные CDG-модули над B образуют
полуортогональное разложение гомотопической категории R-свободных
CDG-модулей над B. Пусть M -- R-свободный CDG-модуль над B, такой
что CDG-модуль M/mM над B/mB абсолютно ацикличен. Достаточно
показать, что для любого CDG-модуля L над B, подлежащий
градуированный B-модуль которого свободно порожден свободным
градуированным R-контрамодулем, комплекс Hom_B(L,M) ацикличен.
Как объяснено в доказательстве теоремы II.1, комплекс
Hom_{B/mB}(L/mL,M/mM) является результатом приведения по модулю m
комплекса свободных R-контрамодулей Hom_B(L,M). Поскольку первый
ацикличен, последний стягиваем, и в частности, ацикличен как
комплекс абелевых групп.
Теорема II.6. Пусть A -- R-свободная CDG-алгебра с элементом
кривизны, принадлежащим mA. Предположим, что DG-алгебра A/mA
над полем k кофибрантна. Тогда R-свободный CDG-модуль M над A
полуацикличен тогда и только тогда, когда он абсолютно ацикличен.
Таким образом, полупроизводная категория R-свободных CDG-модулей
над CDG-алгеброй A совпадает с их абсолютной производной категорией.
Доказательство: согласно [two-kinds, Theorem 9.4], DG-модуль над
A/mA ацикличен тогда и только тогда, когда он абсолютно ацикличен.
Ясно также, что подлежащая градуированная алгебра кофибрантной
DG-алгебры над полем имеет конечную гомологическую размерность.
Остается воспользоваться Предложением II.2, Следствием II.5,
и определением полуацикличности.
Тензорное произведение левого и правого R-свободного CDG-модуля
над R-свободной CDG-алгеброй B определяется как коядро
соответствующего морфизма тензорных произведений градуированных
R-контрамодулей (являющегося морфизмом комплексов свободных
R-контрамодулей). По определению, это комплекс R-контрамодулей,
вообще говоря, не свободных.
Пусть A -- R-свободная CDG-алгебра с элементом кривизны,
принадлежащим mA. R-свободный левый CDG-модуль над A называется
гомотопически плоским, если его тензорное произведение с любым
полуацикличным R-свободным правым CDG-модулем над A ациклично.
Рассуждая аналогично второй половине доказательства теоремы II.1,
нетрудно видеть, что CDG-модуль F над A, подлежащий градуированный
A-модуль которого свободно порожден градуированным свободным
R-контрамодулем, и такой что DG-модуль F/mF над DG-алгеброй
A/mA гомотопически плоский, сам является гомотопически плоским.
В частности, из теоремы II.1 и ее доказательства следует, что
всякий гомотопически проективный CDG-модуль над A является
гомотопически плоским.
Следовательно, факторкатегория гомотопически плоских R-свободных
CDG-модулей над A по полуацикличным гомотопически плоским
R-свободным CDG-модулям эквивалентна полупроизводной категории
R-свободных CDG-модулей над A. Пользуясь гомотопически плоскими
резольвентами, можно определить производный функтор тензорного
произведения R-свободных CDG-модулей над A, принимающий значения
в производной категории R-контрамодулей.
Соответственно усилив условие, налагаемое на гомотопически плоские
CDG-модули, можно при желании иметь такой функтор со значениями
в контрапроизводной категории R-контрамодулей. Преимущество
последнего функтора в том, что он коммутирует с бесконечными
прямыми суммами (которые в контрапроизводной категории
R-контрамодулей можно вычислять как прямые суммы комплексов
свободных R-контрамодулей). В то же время, неочевидно, замкнут ли
относительно бесконечных прямых сумм класс гомотопически плоских
R-свободных CDG-модулей над A.
Будем рассматривать морфизмы R-свободных CDG-алгебр (f,a): B\to A,
такие что элемент кривизны CDG-алгебры A принадлежит mA, элемент
кривизны CDG-алгебры B принадлежит mB, и элемент замены связности
a принадлежит mA. Такой морфизм индуцирует функтор ограничения
скаляров R_f из полупроизводной категории R-свободных CDG-модулей
над A в полупроизводную категорию R-свободных CDG-модулей над B.
Будем называть морфизм f полуквазиизоморфизмом, если индуцированный
морфизм f/mf\: B/mB \to A/mA является квазиизоморфизмом DG-алгебр
над полем k.
Теорема II.7. Если морфизм R-свободных CDG-алгебр f является
полуквазиизоморфизмом, то функтор R_f является эквивалентностью
полупроизводных категорий R-свободных CDG-модулей.
III. Инъективные и проективные резольвенты R-свободных
CDG-комодулей и CDG-контрамодулей
Пусть C -- CDG-коалгебра в тензорной категории свободных
контрамодулей над проартиновым топологическим локальным кольцом R.
Будем рассматривать CDG-комодули над C в той же тензорной категории
свободных контрамодулей над R. Они образуют естественным образом
DG-категорию, у которой можно взять категорию нулевых когомологий
и получить гомотопическую категорию R-свободных CDG-комодулей над C.
Используя функтор внутреннего Hom'а в тензорной категории свободных
R-контрамодулей, можно определить также CDG-контрамодули над C
в категории свободных контрамодулей над R. Они тоже образуют
DG-категорию, категория нулевых когомологий которой называется
гомотопической категорией R-свободных CDG-контрамодулей над C.
R-свободный CDG-комодуль над C называется коацикличным, если он
принадлежит минимальной триангулированной подкатегории
гомотопической категории R-свободных CDG-комодулей над C, содержащей
тотальные CDG-комодули точных троек R-свободных CDG-комодулей
и замкнутой относительно бесконечных прямых сумм. R-свободный
CDG-контрамодуль над C называется контраацикличным, если он
принадлежит минимальной триангулированной подкатегории
гомотопической категории R-свободных CDG-контрамодулей над C,
содержащей тотальные CDG-контрамодули точных троек R-свободных
CDG-контрамодулей и замкнутой относительно бесконечных произведений.
Аналогично определяются классы абсолютно ацикличных R-свободных
CDG-комодулей и CDG-контрамодулей.
Факторкатегория гомотопической категории R-свободных CDG-комодулей
над C по толстой подкатегории коацикличных R-свободных CDG-комодулей
называется копроизводной категорией R-свободных CDG-комодулей над C.
Факторкатегория гомотопической категории R-свободных
CDG-контрамодулей над C по толстой подкатегории контраацикличных
R-свободных CDG-комодулей называется контрапроизводной категорией
R-свободных CDG-контрамодулей над C.
Теорема III.1. Естественный функтор из гомотопической категории
CDG-комодулей над C, подлежащие градуированные C-комодули которых
косвободно копорождены свободными градуированными R-контрамодулями,
в копроизводную категорию R-свободных CDG-комодулей над C
является эквивалентностью триангулированных категорий. Естественный
функтор из гомотопической категории CDG-контрамодулей над C,
подлежащие градуированные C-контрамодули которых свободно порождены
свободными градуированными R-контрамодулями, в контрапроизводную
категорию R-свободных CDG-контрамодулей над C является
эквивалентностью триангулированных категорий.
Доказательство: по существу, это частный случай Remark 3.7 из
мемуара Two kinds of derived categories...
Следствие III.2. Для любой R-свободной CDG-коалгебры C,
копроизводная категория R-свободных левых CDG-комодулей над C
естественно эквивалентна контрапроизводной категории R-свободных
левых CDG-контрамодулей над C.
Доказательство: Обычная конструкция контратензорного произведения
и комодульных гомоморфизмов устанавливает эквивалентность
гомотопических категорий CDG-комодулей, подлежащие градуированные
C-комодули которых косвободно копорождены градуированными свободными
R-контрамодулями, и CDG-контрамодулей, подлежащие градуированные
С-контрамодули которых свободно порождены градуированными свободными
R-контрамодулями. Наложенные условия C-(ко)свободности гарантируют
R-свободность нужных контратензорных произведений и когомоморфизмов.
Важно, что на R-свободном коядре замкнутого морфизма R-свободных
CDG-комодулей есть естественная структура CDG-комодуля, и на
R-свободном ядре замкнутого морфизма R-свободных CDG-контрамодулей
есть естественная структура CDG-контрамодуля.
Следствие III.3. R-свободный CDG-комодуль N над R-свободной
CDG-коалгеброй C коацикличен тогда и только тогда, когда
CDG-комодуль N/mN над CDG-коалгеброй C/mC коацикличен. R-свободный
CDG-контрамодуль P над R-свободной CDG-коалгеброй C контраацикличен
тогда и только тогда, когда CDG-контрамодуль P/mP над CDG-коалгеброй
C/mC контраацикличен.
Доказательство: аналогично доказательству Следствия II.5 (и
основывается на комодульном и контрамодульном аналогах рассуждения
из второй половины доказательства теоремы II.1).
Предложение III.4. Точные категории R-свободных градуированных
левых комодулей и R-свободных градуированных левых контрамодулей
над R-свободной градуированной коалгеброй C имеют конечную
гомологическую размерность, если конечную гомологическую
размерность имеет градуированная k-коалгебра C/mC.
Доказательство: аналогично доказательству Предложения II.2 и
основывается на следующей лемме III.5.
Лемма III.5: R-свободный градуированный комодуль N над R-свободной
градуированной коалгеброй C инъективен тогда и только тогда, когда
инъективен градуированный комодуль N/mN над градуированной
коалгеброй C/mC. R-свободный градуированный контрамодуль P над
R-свободной градуированной коалгеброй C проективен тогда и только
тогда, когда проективен градуированный контрамодуль P/mP над C/mC.
Доказательство: аналогично доказательству Леммы II.3.
Теорема III.6. Пусть C -- R-свободная градуированная CDG-коалгебра.
Если точная категория R-свободных градуированных комодулей над C
градуированной коалгеброй C имеет конечную гомологическую
размерность, то классы коацикличных и абсолютно ацикличных
R-свободных CDG-комодулей над совпадают. Если точная категория
R-свободных градуированных контрамодулей над C имеет имеет конечную
гомологическую размерность, то классы контраацикличных и абсолютно
ацикличных R-свободных CDG-комодулей над C совпадают.
Доказательство: по существу, это [two-kinds, Remark 3.6].
IV. Бар- и кобар-двойственность
Лемма IV.1: если B -- ненулевая (градуированная) алгебра в тензорной
категории свободных R-контрамодулей, то отображение единицы R\to B
является вложением (градуированного) прямого слагаемого.
Доказательство: рассуждая, как в доказательстве леммы I.3,
мы видим, что достаточно показать, что элемент 1\in B
не принадлежит mB если B не равна нулю. Но если 1 = \sum_b m_b b
в B, где семейство коэффициентов m_b сходится к нулю в R, то
из определения тензорного произведения свободных R-контрамодулей
и конструкции его функториальности ясно, что a = 1a = \sum m_b (ab)
для любого элемента a из B, откуда B = mB и B = 0.
Другими словами, поскольку редукция по модулю m -- тензорный
функтор, если отображение единицы R\to B факторизуется через
mB, то алгебра B/mB имеет единицу, равную нулю, и следовательно,
равна нулю целиком.
Лемма IV.2: если C -- ненулевая (градуированная) коалгебра
в тензорной категории свободных R-контрамодулей, то отображение
коединицы C\to R является проекцией на (градуированное) прямое
слагаемое.
Доказательство: как выше, достаточно показать, что отображение
коединицы не факторизуется через вложение m\to R. Если бы такая
факторизация имела место, то тождественное отображение C\to C
факторизовалось бы через отображение действия m\ot^R C\to C,
образ которого содержится в mC. Равенство C = mC влечет C = 0.
Пользуясь леммой IV.1, можно определить бар-конструкцию
R-свободной CDG-алгебры B теми же формулами, которыми она
определялась в [two-kinds, Section~6.1] для случая CDG-алгебр
над полем. Пользуясь леммой IV.2, можно аналогично определить
кобар-конструкцию R-свободной CDG-коалгебры C. В обоих случаях,
имеются естественные скручивающие коцепи (см. [two-kinds,
Section 6.2]) \tau_B: Bar(B) \to B и \tau_C: C\to Cob(C).
В обоих случаях, при наличии скручивающей коцепи \tau: C\to B для
CDG-коалгебры C и CDG-алгебры B, можно определить функторы кошулевой
двойственности M\mapsto C\ot^\tau M, N\mapsto B\ot^\tau N,
M\mapsto \Hom^\tau(C,M), P\mapsto \Hom^\tau(B,P) между
гомотопическими категориями CDG-модулей над B, CDG-комодулей над C,
и CDG-контрамодулей над C.
Теорема IV.3. Для любой R-свободной CDG-коалгебры C, функторы
кошулевой двойственности, связанные со скручивающей коцепью \tau_C,
индуцируют эквивалентности между копроизводной категорией
R-свободных CDG-комодулей над C, абсолютной производной категорией
R-свободных CDG-модулей над Cob(C) и контрапроизводной категорией
R-свободных CDG-контрамодулей над C, образующие коммутативную
диаграмму с эквивалентностью между первой и последней категориями,
доставляемой следствием III.2.
Доказательство: согласно (доказательству) теоремы II.4 и
предложению II.2, класс абсолютно ацикличных CDG-модулей над Cob(C)
является левым и правым ортогональным дополнением к некоторым
подкатегориям, так что он замкнут относительно бесконечных прямых
сумм и произведений. Независимо от этого, легко видеть, что
функторы кошулевой двойственности переводят коацикличные R-свободные
CDG-комодули, контраацикличные R-свободные CDG-контрамодули, и
абсолютно ацикличные R-свободные CDG-модули в стягиваемые объекты
(это, на самом деле, верно для любой скручивающей коцепи \tau:
C\to B). Функторы кошулевой двойственности также сопряжены друг
к другу с подходящих сторон, так что имеются морфизмы сопряжения
между их композициями и тождественными функторами. Наконец, из
следствий II.5 и III.3 вытекает, что эти морфизмы являются
изоморфизмами в соответствующих производных категориях второго рода,
поскольку они являются таковыми для алгебр и модулей над полем k.
Следствие IV.4. Пусть C -- R-свободная CDG-коалгебра, такая что
CDG-коалгебра C/mC конильпотентна. Предположим, что сечение
w: R\to C морфизма коединицы C\to R, индуцирующее коаугментацию
CDG-коалгебры C/mC, было использовано при построении CDG-алгебры
Cob(C) и соответствующей скручивающей коцепи \tau_C; так что элемент
кривизы CDG-алгебры Cob(C) равен нулю по модулю m. Тогда функторы
кошулевой двойственности, связанные со скручивающей коцепью \tau_C,
индуцируют эквивалентности между копроизводной категорией
R-свободных CDG-комодулей над C, полупроизводной категорией
R-свободных CDG-модулей над Cob(C), и контрапроизводной категорией
R-свободных CDG-контрамодулей над C.
Доказательство: следует из теоремы IV.3 и теоремы II.6.
Теорема IV.5. Для любой R-свободной CDG-алгебры A, элемент кривизны
которой принадлежит mA, функторы кошулевой двойственности, связанные
со скручивающей коцепью \tau_A, индуцируют эквивалентности между
копроизводной категорией R-свободных CDG-комодулей над Bar(A),
полупроизводной категорией R-свободных CDG-модулей над A, и
R-свободных CDG-контрамодулей над Bar(A), образующие коммутативную
диаграмму с эквивалентностью между первой и последней категориями,
доставляемой следствием III.2.
Доказательство: функторы кошулевой двойственности переводят
полуацикличные CDG-модули над A в стягиваемые CDG-комодули и
CDG-контрамодули, поскольку это верно по модулю m и градуированно
(ко)свободный R-свободный CDG-ко/контрамодуль стягиваем, если
он стягиваем после приведения по модулю m, ввиду рассуждения,
аналогичного второй половине доказательства теоремы II.1
(альтернативно, можно воспользоваться следствием III.3 и
теоремой III.1). Чтобы показать, что морфизмы сопряжения являются
изоморфизмами в соответствующих экзотических производных категориях,
достаточно отметить, что они становятся таковыми после приведения
по модулю m, и использовать определение полуацикличности и
следствие III.3).
Теорема IV.6. Пусть A -- R-свободная CDG-алгебра, элемент кривизны
которой принадлежит mA, пусть C -- R-свободная CDG-коалгебра,
такая что CDG-коалгебра C/mC над полем k конильпотентна, и пусть
\tau: C\to A -- скручивающая коцепь, такая что скручивающая коцепь
\tau/m\tau: C/mC \to A/mA аннулирует морфизм коаугментации
k\to C/mC. Тогда если скручивающая коцепь \tau/m\tau ациклична, то
функторы кошулевой двойственности, связанные с \tau, индуцируют
эквивалентности между копроизводной категорией R-свободных
CDG-комодулей над C, полупроизводной категорией R-свободных
CDG-модулей над A, и контрапроизводной категорией R-свободных
CDG-контрамодулей над C.
Доказательство: можно рассуждать аналогично доказательству
теоремы IV.5 или, альтернативным образом, использовать теорему IV.5
и теорему II.7.
Пусть R -- топологическое коммутативное кольцо, в котором
открытые идеалы образуют базу окрестностей нуля. Мы будем
предполагать, что R полно и отделимо (т.е. изоморфно
отображается в проективный предел своих факторколец по
открытым идеалам). Читатель ничего не потеряет, предполагая,
что R имеет счетную базу окрестностей нуля.
Будем называть кольцо R топологическим локальным кольцом,
если оно локально как абстрактное коммутативное кольцо,
и его максимальный идеал m топологически нильпотентен
(т.е., каждый открытый идеал содержит некоторую степень m).
Типичным примером такого кольца, который нас будет
интересовать, является пополнение (дискретного)
коммутативного кольца по степеням его максимального идеала.
Топологическое кольцо R называется проартиновым, если его
дискретные факторкольца являются артиновыми кольцами.
Например, полное нетерово локальное кольцо является
проартиновым; двойственное векторное пространство к любой
коммутативной коалгебре над полем является проартиновым
топологическим кольцом.
Каждому (абстрактному) множеству X сопоставим множество R[[X]]
всех формальных линейных комбинаций элементов X
с коэффициентами из R, образующими сходящееся к нулю семейство
(т.е., любая окрестность нуля в R содержит все коэффициенты,
кроме конечного числа). Тогда естественное вложение X\to R
и отображение "раскрытия скобок" R[[R[[X]]]] \to R[[X]] задают
структуру монады на функторе X \mapsto R[[X]]. Модули над
этой монадой называются контрамодулями над R. Нетрудно
проверить, что R-контрамодули образуют абелеву категорию,
снабженную точным, консервативным забывающим функтором
R-contra \to R-mod, сохраняющим бесконечные произведения.
В категории R-contra достаточно много проективных объектов,
которыми являются свободные контрамодули R[[X]] и их прямые
слагаемые. В категории R-contra также существуют бесконечные
прямые суммы, которые можно построить для свободных
контрамодулей по правилу \bigoplus_\alpha R[[X_\alpha]] =
\R[[\coprod_\alpha X_\alpha]] и для произвольных контрамодулей
с помощью представления их в виде коядер морфизмов свободных.
Лемма I.1: над топологическим локальным кольцом R, классы
проективных и свободных контрамодулей совпадают.
Доказательство: сопоставим каждому R-контрамодулю M его фактор
P/mP по образу mP отображения контрадействия m[[P]] \to P.
Тогда P/mP является векторным пространством над полем R/m.
Например, для свободного контрамодуля F = R[[X]] таким образом
получается векторное пространство F/mF = k[[X]] с базисом X.
Выбрав базис X в пространстве P/mP, получаем отображение
R-контрамодулей R[[X]] \to P/mP, которое в силу проективности
R[[X]] можно поднять до отображения контрамодулей R[[X]] \to P.
Если P проективен, то последнее отображение является проекцией
на прямое слагаемое. Если Q -- соответствующее ядро, то
Q/mQ = 0, откуда Q = 0 по лемме Накаямы для контрамодулей над
топологически нильпотентными кольцами (см. [semimodule-book,
Appendix A]).
Лемма I.2: класс проективных контрамодулей над проартиновым
кольцом замкнут относительно бесконечных произведений.
Доказательство: поскольку всякое проартиново кольцо является
произведением проартиновых локальных колец, достаточно
рассмотреть случай кольца R последнего типа. Пусть
Q = \prod_\alpha R[[X_\alpha]] -- произведение свободных
контрамодулей; тогда Q/mQ = \prod_\alpha k[[X_\alpha]].
Выберем базис X в последнем векторном пространстве,
и рассмотрим какое-нибудь из соответствующих отображений
R[[X]] \to Q. Каждому открытому идеалу I в R и R-контрамодулю
P сопоставим фактор P/IP по образу IP отображения
контрадействия I[[P]] \to P. Тогда R[[X]] есть проективный
предел контрамодулей R[[X]]/IR[[X]] = R/I[[X]] и Q есть
проективный предел контрамодулей \prod_\alpha R/I[[X_\alpha]],
так что достаточно убедиться, что отображение R/I[[X]] \to
\prod R/I[[X_\alpha]] является изоморфизмом. Но произведение
проективных модулей над артиновым кольцом проективно
(стандартный факт, см. [Bass] и [Chase]), откуда желаемое
утверждение немедленно следует (см. предыдущее доказательство).
Для любого топологического кольца R и любых R-контрамодулей
M и N, множество всех гомоморфизмов R-контрамодулей M \to N
является R-контрамодулем относительно операции поточечного
бесконечного суммирования гомоморфизмов. Мы будем обозначать
этот контрамодуль через Hom^R(M,N). В частности, для любого
множества X и любого R-контрамодуля N имеется естественный
изоморфизм R-контрамодулей Hom^R(R[[X]],N) = \prod_{x\in X} N.
Таким образом, из Леммы I.2 следует, что функтор внутренних
гомоморфизмов Hom^R сохраняет класс проективных
R-контрамодулей, если топологическое кольцо R проартиново.
Нетрудно видеть, что функтор внутренних гомоморфизмов
контрамодулей переводит бесконечные прямые суммы по первому
аргументу и бесконечные произведения по второму аргументу
в бесконечные произведения.
Для любого топологического кольца R, определим операцию
тензорного произведения \ot^R на категории R-контрамодулей
следующим образом. Для свободных контрамодулей R[[X]] и R[[Y]],
по определению, R[[X]]\ot^R R[[Y]] = R[[X\times Y]]. Имеется
очевидное естественное отображение R[[X]]\ot_R R[[Y]] \to
R[[X]]\ot^R R[[Y]], где \ot_R oбозначает тензорное произведение
абстрактных R-модулей. Пусть теперь f: R[[X']] \to R[[X'']] и
g: R[[Y']] \to R[[Y'']] -- гомоморфизмы R-контрамодулей.
Задание гомоморфизмов f и g эквивалентно заданию семейства
элементов f(x'), x'\in X' в R[[X'']] и g(y'), y'\in Y' в R[[Y'']].
Теперь семейство элементов f(x')\ot g(y') в R[[X''\times Y'']]
задает гомоморфизм R-контрамодулей R[[X']]\ot^R R[[Y']] \to
R[[X'']\ot^R R[[Y'']]. Нетрудно проверить, что таким образом
мы построили аддитивный функтор ^R на категории свободных
R-контрамодулей, принимающий значения в той же категории.
Поскольку свободных контрамодулей достаточно много, функтор этот
однозначно продолжается до точного справа функтора на абелевой
категории произвольных R-контрамодулей.
Функтор тензорного произведения свободных контрамодулей
ассоциативен, коммутативен и сохраняет бесконечные прямые суммы,
откуда следует, что теми же свойствами обладает функтор
тензорного произведения произвольных контрамодулей. В частности,
функтор тензорного умножения на свободный контрамодуль R[[X]]\ot^R
есть функтор прямой суммы X копий произвольного R-контрамодуля.
Функторы \ot^R и Hom^R согласованы обычным образом, т.е. имеется
естественный изоморфизм Hom^R(L, Hom^R(M,N)) = Hom^R(M\ot^R L, N)
для любых R-контрамодулей L, M и N. Опять-таки, достаточно
построить такой функториальный изоморфизм для свободных
R-контрамодулей L и M, что несложно сделать.
Каждому контрамодулю P над топологическим кольцом R и замкнутому
идеалу J в P сопоставим фактор P/JP по образу JP отображения
контрадействия J[[P]] \to P, рассматриваемый естественным образом
как контрамодуль над топологическим кольцом R/J (предположим
сначала, что R/J полно -- см. по этому поводу
http://posic.livejournal.com/686472.html ). Функтор P \mapsto P/JP
сопряжен слева к функтору ограничения скаляров R/J-contra \to
R-contra, так что он точен справа и сохраняет бесконечные прямые
суммы. Легко видеть, что он переводит свободный R-контрамодуль
R[[X]] в свободный R/J-контрамодуль R/J[[X]] и коммутирует
с тензорными произведениями.
Из доказательства леммы I.2 нетрудно заключить, что функтор
P \mapsto P/JP сохраняет прямые произведения свободных
контрамодулей над проартиновым кольцом R. В самом деле,
достаточно рассмотреть случай, когда кольцо R топологически
локально. В этом случае мы имеем \prod_\alpha R/I[[X_\alpha]]
= R/I[[X]] для всех открытых идеалов I в R, откуда, переходя
к проективному пределу, \prod_\alpha R/J[[X_\alpha]] =
R/J[[X]] и \prod_\alpha R[[X_\alpha]] = R[[X]], и остается
заметить, что R[[X]]/JR[[X]] = R/J[[X]]. Представляя
произвольные R-контрамодули в виде коядер морфизмов свободных,
мы убеждаемся в том, что функтор P \mapsto P/JP сохраняет
прямые произведения произвольных контрамодулей над проартиновым
кольцом R. Следовательно, он коммутирует также с функтором
внутренних гомоморфизмов из проективных контрамодулей над
проартиновым кольцом R.
Лемма I.3: пусть C -- (возможно, неограниченный) комплекс свободных
контрамодулей над топологическим локальным кольцом R с максимальным
идеалом m. Тогда комплекс C стягиваем тогда и только тогда, когда
комплекс векторных пространств C/mC стягиваем (т.е., ацикличен).
Доказательство: выберем какую-нибудь стягивающую гомотопию для C/m.
Пользуясь проективностью членов комплекса C, поднимем ее до
гомотопии h на комплексе C. Тогда эндоморфизм dh + hd компоненты C^n
комплекса C является тождественным отображением по модулю m.
Остается показать, что всякий морфизм свободных контрамодулей,
являющийся изоморфизмом по модулю m, и сам является изоморфизмом.
В самом деле, из леммы Накаямы для контрамодулей сразу следует, что
такой морфизм сюръективен (здесь еще свободность контрамодулей
не используется). Поскольку свободные контрамодули проективны,
сюръективный морфизм между ними является проекцией на прямое
слагаемое. Если такой морфизм является изоморфизмом по модулю m,
то дополнительное прямое слагаемое равно нулю по модулю m, т.е.
все в целом равно нулю, по той же лемме Накаямы.
http://posic.livejournal.com/684611.html
II. Проективные и инъективные резольвенты R-свободных CDG-модулей
Пусть A -- CDG-алгебра в тензорной категории свободных
контрамодулей над проартиновым топологическим локальным кольцом R.
Предположим, что элемент кривизны CDG-алгебры A делится на
максимальный идеал m кольца R, т.е., принадлежит mA.
Будем рассматривать CDG-модули над A в той же тензорной категории
свободных контрамодулей над R. Они образуют естественным образом
DG-категорию, у которой можно взять категорию нулевых когомологий,
называемую гомотопической категорией R-свободных CDG-модулей над A.
Будем называть R-свободный CDG-модуль M над A полуацикличным, если
комплекс R/m-векторных пространств M/mM ацикличен. Например, если
A -- DG-алгебра (т.е., элемент кривизны A равен нулю), то из
леммы I.3 ясно, что R-свободный (C)DG-модуль над A полуацикличен
тогда и только тогда, когда он стягиваем как комплекс R-модулей.
Очевидно, что свойство полуацикличности R-свободного CDG-модуля
над A сохраняется гомотопическими эквивалентностями, конусами и
сдвигами. Класс полуацикличных CDG-модулей также замкнут
относительно бесконечных прямых сумм и произведений.
Факторкатегория гомотопической категории R-свободных CDG-модулей
над A по толстой подкатегории полуацикличных CDG-модулей
называется полупроизводной категорией R-свободных CDG-модулей над A.
R-свободный CDG-модуль над A называется гомотопически проективным,
если комплекс Hom из него в гомотопической категории R-свободных
CDG-модулей над A в любой полуацикличный R-свободный CDG-модуль
над A ацикличен. R-свободный CDG-модуль над A называется
гомотопически инъективным (по отношению к классу R-свободных
CDG-модулей), если комплекс Hom в него в гомотопической категории
R-свободных CDG-модулей над A из любого полуацикличного
R-свободного CDG-модуля над A ацикличен.
Теорема II.1. Естественные функторы из гомотопической категории
гомотопически проективных R-свободных CDG-модулей над A и
гомотопической категории гомотопически инъективных R-свободных
CDG-модулей над A в полупроизводную категорию R-свободных
CDG-модулей над A являются эквивалентностями триангулированных
категорий.
Доказательство: каждому R-свободному CDG-модулю M над A сопоставим
его бар-резольвенту над A относительно R -- комплекс градурованных
А-модулей, с дифференциалом, понижающим градуировку по числу
тензорных сомножителей, индуцированным умножением на A и действием
A на M. На этом комплексе есть дополнительный дифференциал,
сохраняющий градуировку по числу тензорных сомножителей,
индуцированный дифференциалами на A и M, и дифференциал, повышающий
такую градуировку, индуцированный элементом кривизны в A. Сумма
трех дифференциалов в квадрате равна действию элемента кривизны A.
Тотализуем этот CDG-модуль с помощью взятия бесконечных прямых сумм
вдоль диагоналей. Получившийся CDG-модуль P естественно
отображается в M с конусом, который после приведения по модулю
максимального идеала m кольца R становится конусом отображения
в DG-модуль M/mM из тотального DG-модуля его бар-резольвенты
над DG-алгеброй A/mA над полем k. Последний комплекс ацикличен,
и таким образом конус замкнутого морфизма DG-модулей P \to M
полуацикличен.
Чтобы проверить, что CDG-модуль P гомотопически проективен, мы
докажем более общее утверждение: CDG-модуль P над A, подлежащий
градуированный A-модуль которого свободно порожден градуированным
свободным R-контрамодулем, и такой что DG-модуль P/mP над
DG-алгеброй A/mA гомотопически проективен, сам является
гомотопически проективным. В самом деле, пусть N -- произвольный
R-свободный CDG-модуль над A. Тогда функтор приведения по модулю
m индуцирует отображение комплексов абелевых групп
Hom_A(P,N) \to Hom_{A/mA}(P/mP,N/mN). На самом деле, комплекс
слева является подлежащим комплексом абелевых групп к комплексу
R-контрамодулей, а комплекс справа -- комплексом k-векторных
пространств. Если V -- градуированный свободный R-контрамодуль,
которым порожден градуированный A-модуль P, то градуированный
R-контрамодуль Hom_A(P,N) изоморфен свободному градуированному
R-контрамодулю Hom^R(V,N), а градуированное векторное пространство
Hom_{A/mA}(P/mP,N/mN) изоморфно Hom_k(V/mV,N/mN). Второе является
результатом приведения первого по модулю m. Таким образом,
комплекс k-векторных пространств Hom_{A/mA}(P/mP,N/mN) является
результатом приведения по модулю m комплекса свободных
R-контрамодулей Hom_A(P,N). Если теперь DG-модуль P/mP над A/mA
гомотопически проективен, а DG-модуль N/mN над A/mA ацикличен,
то комплекс Hom_{A/mA}(P/mP,N/mN) ацикличен, откуда комплекс
свободных R-контрамодулей Hom_A(P,N) стягиваем, и в частности
ацикличен как комплекс абелевых групп.
Доказательство для случая гомотопически инъективных R-свободных
CDG-модулей аналогично.
Пусть теперь B -- CDG-алгебра в тензорной категории свободных
R-контрамодулей (никаких предположений на элемент кривизны
не накладывается). R-свободный CDG-модуль над B называется
абсолютно ацикличным, если он принадлежит минимальной толстой
подкатегории гомотопической категории R-свободных CDG-модулей над B,
содержащей тотализации точных троек R-свободных CDG-модулей.
Факторкатегория гомотопической категории R-свободных CDG-модулей
над B по толстой подкатегории абсолютно ацикличных R-свободных
CDG-модулей называется абсолютной производной категорией
R-свободных CDG-модулей над B.
Предложение II.2. Точная категория R-свободных градуированных левых
модулей над R-свободной градуированной алгеброй B имеет конечную
гомологическую размерность, если конечную левую гомологическую
размерность имеет градуированная k-алгебра B/mB.
Доказательство: отметим, что в точной категории R-свободных
градуированных левых B-модулей имеется достаточно много проективных
объектов, каковыми являются прямые слагаемые B-модулей B\ot^R V,
свободно порожденных свободными градуированными R-модулями V,
и достаточно много инъективных объектов, каковыми являются прямые
слагаемые B-модулей Hom^R(B,V), косвободно копорожденных свободными
градуированными R-модулями V. Далее остается использовать
следующую лемму II.3.
Лемма II.3: R-свободный градуированный модуль M над R-свободной
градуированной алгеброй B проективен (инъективен) тогда и только
тогда, когда проективен (инъективен) градуированный модуль M/mM
над градуированной алгеброй B/mB над полем k.
Доказательство: Часть "только тогда" следует из описания проективных
и инъективных R-свободных B-модулей выше. Докажем "тогда".
Предположим, что B/mB-модуль M/mM проективен. Тогда он является
прямым слагаемым свободного, т.е. образом идемпотентного
эндоморфизма свободного B/mB-модуля с некоторым градуированным
векторным пространством образующих, которое можно представить
в виде V/mV, где V -- свободный градуированный R-контрамодуль.
Пусть F -- градуированный B-модуль, свободно порожденный свободным
R-контрамодулем V. Как объяснено в предыдущем доказательстве,
градуированная k-алгебра Hom_{B/mB}(F/mF,F/mF) является результатом
приведения по модулю m градуированной алгебры Hom_B(F,F) в тензорной
категории свободных R-контрамодулей. Пользуясь леммой Цорна
и теоремой о подъеме идемпотентов при факторизации по ниль-идеалу,
вместе с предположением о локальности и про-артиновости R, можно
поднять наш идемпотентный элемент в Hom_{B/mB}(F/mF,F/mF) до
идемпотентного элемента в Hom_B(F,F). Пусть P -- образ последнего
отображения; это проективный R-свободный градуированный B-модуль.
Градуированное k-векторное пространство Hom_{B/mB}(P/mP,M/mM) также
является результатом приведения по модулю m градуированного
свободного R-контрамодуля Hom_B(P,M); в частности, наш изоморфизм
P/mP \to M/mM можно поднять до морфизма R-свободных B-модулей P\to M.
Будучи изоморфизмом по модулю m, он является также изоморфизмом
сам по себе. Случай инъективных градуированных модулей аналогичен.
Теорема II.4. Предположим, что подлежащая градуированная алгебра
R-свободной CDG-алгебры B имеет конечную левую гомологическую
размерность (т.е., точная категория R-свободных градуированных левых
модулей над ней имеет конечную гомологическую размерность). Тогда
естественные функторы из гомотопической категории левых CDG-модулей
над B, подлежащие градуированные B-модули которых являются
проективными R-свободными градуированными B-модулями, и
из гомотопической категории левых CDG-модулей над B, подлежащие
градуированные B-модули которых являются инъективными R-свободными
градуированными B-модулями, в абсолютную производную категорию
R-свободных левых CDG-модулей над B суть эквивалентности
триангулированных категорий.
Доказательство: аналогично случаю CDG-алгебры над полем, и
является частным случаем Remark 3.6 из мемуара Two kinds of
derived categories...
Следствие II.5. Предположим, что подлежащая градуированная алгебра
R-свободной CDG-алгебры B имеет конечную левую гомологическую
размерность. Тогда R-свободный левый CDG-модуль M над B абсолютно
ацикличен тогда и только тогда, когда CDG-модуль M/mM над B/mB
абсолютно ацикличен.
Доказательство: часть "только тогда" очевидна, поскольку функтор
приведения по модулю m сохраняет точные тройки R-свободных
CDG-модулей над B. Докажем "тогда". Согласно теореме II.4 (и ее
доказательству), CDG-модули над B с подлежащими градуированными
модулями, свободно порожденными свободными градуированными
R-контрамодулями и абсолютно ацикличные CDG-модули над B образуют
полуортогональное разложение гомотопической категории R-свободных
CDG-модулей над B. Пусть M -- R-свободный CDG-модуль над B, такой
что CDG-модуль M/mM над B/mB абсолютно ацикличен. Достаточно
показать, что для любого CDG-модуля L над B, подлежащий
градуированный B-модуль которого свободно порожден свободным
градуированным R-контрамодулем, комплекс Hom_B(L,M) ацикличен.
Как объяснено в доказательстве теоремы II.1, комплекс
Hom_{B/mB}(L/mL,M/mM) является результатом приведения по модулю m
комплекса свободных R-контрамодулей Hom_B(L,M). Поскольку первый
ацикличен, последний стягиваем, и в частности, ацикличен как
комплекс абелевых групп.
Теорема II.6. Пусть A -- R-свободная CDG-алгебра с элементом
кривизны, принадлежащим mA. Предположим, что DG-алгебра A/mA
над полем k кофибрантна. Тогда R-свободный CDG-модуль M над A
полуацикличен тогда и только тогда, когда он абсолютно ацикличен.
Таким образом, полупроизводная категория R-свободных CDG-модулей
над CDG-алгеброй A совпадает с их абсолютной производной категорией.
Доказательство: согласно [two-kinds, Theorem 9.4], DG-модуль над
A/mA ацикличен тогда и только тогда, когда он абсолютно ацикличен.
Ясно также, что подлежащая градуированная алгебра кофибрантной
DG-алгебры над полем имеет конечную гомологическую размерность.
Остается воспользоваться Предложением II.2, Следствием II.5,
и определением полуацикличности.
Тензорное произведение левого и правого R-свободного CDG-модуля
над R-свободной CDG-алгеброй B определяется как коядро
соответствующего морфизма тензорных произведений градуированных
R-контрамодулей (являющегося морфизмом комплексов свободных
R-контрамодулей). По определению, это комплекс R-контрамодулей,
вообще говоря, не свободных.
Пусть A -- R-свободная CDG-алгебра с элементом кривизны,
принадлежащим mA. R-свободный левый CDG-модуль над A называется
гомотопически плоским, если его тензорное произведение с любым
полуацикличным R-свободным правым CDG-модулем над A ациклично.
Рассуждая аналогично второй половине доказательства теоремы II.1,
нетрудно видеть, что CDG-модуль F над A, подлежащий градуированный
A-модуль которого свободно порожден градуированным свободным
R-контрамодулем, и такой что DG-модуль F/mF над DG-алгеброй
A/mA гомотопически плоский, сам является гомотопически плоским.
В частности, из теоремы II.1 и ее доказательства следует, что
всякий гомотопически проективный CDG-модуль над A является
гомотопически плоским.
Следовательно, факторкатегория гомотопически плоских R-свободных
CDG-модулей над A по полуацикличным гомотопически плоским
R-свободным CDG-модулям эквивалентна полупроизводной категории
R-свободных CDG-модулей над A. Пользуясь гомотопически плоскими
резольвентами, можно определить производный функтор тензорного
произведения R-свободных CDG-модулей над A, принимающий значения
в производной категории R-контрамодулей.
Соответственно усилив условие, налагаемое на гомотопически плоские
CDG-модули, можно при желании иметь такой функтор со значениями
в контрапроизводной категории R-контрамодулей. Преимущество
последнего функтора в том, что он коммутирует с бесконечными
прямыми суммами (которые в контрапроизводной категории
R-контрамодулей можно вычислять как прямые суммы комплексов
свободных R-контрамодулей). В то же время, неочевидно, замкнут ли
относительно бесконечных прямых сумм класс гомотопически плоских
R-свободных CDG-модулей над A.
Будем рассматривать морфизмы R-свободных CDG-алгебр (f,a): B\to A,
такие что элемент кривизны CDG-алгебры A принадлежит mA, элемент
кривизны CDG-алгебры B принадлежит mB, и элемент замены связности
a принадлежит mA. Такой морфизм индуцирует функтор ограничения
скаляров R_f из полупроизводной категории R-свободных CDG-модулей
над A в полупроизводную категорию R-свободных CDG-модулей над B.
Будем называть морфизм f полуквазиизоморфизмом, если индуцированный
морфизм f/mf\: B/mB \to A/mA является квазиизоморфизмом DG-алгебр
над полем k.
Теорема II.7. Если морфизм R-свободных CDG-алгебр f является
полуквазиизоморфизмом, то функтор R_f является эквивалентностью
полупроизводных категорий R-свободных CDG-модулей.
III. Инъективные и проективные резольвенты R-свободных
CDG-комодулей и CDG-контрамодулей
Пусть C -- CDG-коалгебра в тензорной категории свободных
контрамодулей над проартиновым топологическим локальным кольцом R.
Будем рассматривать CDG-комодули над C в той же тензорной категории
свободных контрамодулей над R. Они образуют естественным образом
DG-категорию, у которой можно взять категорию нулевых когомологий
и получить гомотопическую категорию R-свободных CDG-комодулей над C.
Используя функтор внутреннего Hom'а в тензорной категории свободных
R-контрамодулей, можно определить также CDG-контрамодули над C
в категории свободных контрамодулей над R. Они тоже образуют
DG-категорию, категория нулевых когомологий которой называется
гомотопической категорией R-свободных CDG-контрамодулей над C.
R-свободный CDG-комодуль над C называется коацикличным, если он
принадлежит минимальной триангулированной подкатегории
гомотопической категории R-свободных CDG-комодулей над C, содержащей
тотальные CDG-комодули точных троек R-свободных CDG-комодулей
и замкнутой относительно бесконечных прямых сумм. R-свободный
CDG-контрамодуль над C называется контраацикличным, если он
принадлежит минимальной триангулированной подкатегории
гомотопической категории R-свободных CDG-контрамодулей над C,
содержащей тотальные CDG-контрамодули точных троек R-свободных
CDG-контрамодулей и замкнутой относительно бесконечных произведений.
Аналогично определяются классы абсолютно ацикличных R-свободных
CDG-комодулей и CDG-контрамодулей.
Факторкатегория гомотопической категории R-свободных CDG-комодулей
над C по толстой подкатегории коацикличных R-свободных CDG-комодулей
называется копроизводной категорией R-свободных CDG-комодулей над C.
Факторкатегория гомотопической категории R-свободных
CDG-контрамодулей над C по толстой подкатегории контраацикличных
R-свободных CDG-комодулей называется контрапроизводной категорией
R-свободных CDG-контрамодулей над C.
Теорема III.1. Естественный функтор из гомотопической категории
CDG-комодулей над C, подлежащие градуированные C-комодули которых
косвободно копорождены свободными градуированными R-контрамодулями,
в копроизводную категорию R-свободных CDG-комодулей над C
является эквивалентностью триангулированных категорий. Естественный
функтор из гомотопической категории CDG-контрамодулей над C,
подлежащие градуированные C-контрамодули которых свободно порождены
свободными градуированными R-контрамодулями, в контрапроизводную
категорию R-свободных CDG-контрамодулей над C является
эквивалентностью триангулированных категорий.
Доказательство: по существу, это частный случай Remark 3.7 из
мемуара Two kinds of derived categories...
Следствие III.2. Для любой R-свободной CDG-коалгебры C,
копроизводная категория R-свободных левых CDG-комодулей над C
естественно эквивалентна контрапроизводной категории R-свободных
левых CDG-контрамодулей над C.
Доказательство: Обычная конструкция контратензорного произведения
и комодульных гомоморфизмов устанавливает эквивалентность
гомотопических категорий CDG-комодулей, подлежащие градуированные
C-комодули которых косвободно копорождены градуированными свободными
R-контрамодулями, и CDG-контрамодулей, подлежащие градуированные
С-контрамодули которых свободно порождены градуированными свободными
R-контрамодулями. Наложенные условия C-(ко)свободности гарантируют
R-свободность нужных контратензорных произведений и когомоморфизмов.
Важно, что на R-свободном коядре замкнутого морфизма R-свободных
CDG-комодулей есть естественная структура CDG-комодуля, и на
R-свободном ядре замкнутого морфизма R-свободных CDG-контрамодулей
есть естественная структура CDG-контрамодуля.
Следствие III.3. R-свободный CDG-комодуль N над R-свободной
CDG-коалгеброй C коацикличен тогда и только тогда, когда
CDG-комодуль N/mN над CDG-коалгеброй C/mC коацикличен. R-свободный
CDG-контрамодуль P над R-свободной CDG-коалгеброй C контраацикличен
тогда и только тогда, когда CDG-контрамодуль P/mP над CDG-коалгеброй
C/mC контраацикличен.
Доказательство: аналогично доказательству Следствия II.5 (и
основывается на комодульном и контрамодульном аналогах рассуждения
из второй половины доказательства теоремы II.1).
Предложение III.4. Точные категории R-свободных градуированных
левых комодулей и R-свободных градуированных левых контрамодулей
над R-свободной градуированной коалгеброй C имеют конечную
гомологическую размерность, если конечную гомологическую
размерность имеет градуированная k-коалгебра C/mC.
Доказательство: аналогично доказательству Предложения II.2 и
основывается на следующей лемме III.5.
Лемма III.5: R-свободный градуированный комодуль N над R-свободной
градуированной коалгеброй C инъективен тогда и только тогда, когда
инъективен градуированный комодуль N/mN над градуированной
коалгеброй C/mC. R-свободный градуированный контрамодуль P над
R-свободной градуированной коалгеброй C проективен тогда и только
тогда, когда проективен градуированный контрамодуль P/mP над C/mC.
Доказательство: аналогично доказательству Леммы II.3.
Теорема III.6. Пусть C -- R-свободная градуированная CDG-коалгебра.
Если точная категория R-свободных градуированных комодулей над C
градуированной коалгеброй C имеет конечную гомологическую
размерность, то классы коацикличных и абсолютно ацикличных
R-свободных CDG-комодулей над совпадают. Если точная категория
R-свободных градуированных контрамодулей над C имеет имеет конечную
гомологическую размерность, то классы контраацикличных и абсолютно
ацикличных R-свободных CDG-комодулей над C совпадают.
Доказательство: по существу, это [two-kinds, Remark 3.6].
IV. Бар- и кобар-двойственность
Лемма IV.1: если B -- ненулевая (градуированная) алгебра в тензорной
категории свободных R-контрамодулей, то отображение единицы R\to B
является вложением (градуированного) прямого слагаемого.
Доказательство: рассуждая, как в доказательстве леммы I.3,
мы видим, что достаточно показать, что элемент 1\in B
не принадлежит mB если B не равна нулю. Но если 1 = \sum_b m_b b
в B, где семейство коэффициентов m_b сходится к нулю в R, то
из определения тензорного произведения свободных R-контрамодулей
и конструкции его функториальности ясно, что a = 1a = \sum m_b (ab)
для любого элемента a из B, откуда B = mB и B = 0.
Другими словами, поскольку редукция по модулю m -- тензорный
функтор, если отображение единицы R\to B факторизуется через
mB, то алгебра B/mB имеет единицу, равную нулю, и следовательно,
равна нулю целиком.
Лемма IV.2: если C -- ненулевая (градуированная) коалгебра
в тензорной категории свободных R-контрамодулей, то отображение
коединицы C\to R является проекцией на (градуированное) прямое
слагаемое.
Доказательство: как выше, достаточно показать, что отображение
коединицы не факторизуется через вложение m\to R. Если бы такая
факторизация имела место, то тождественное отображение C\to C
факторизовалось бы через отображение действия m\ot^R C\to C,
образ которого содержится в mC. Равенство C = mC влечет C = 0.
Пользуясь леммой IV.1, можно определить бар-конструкцию
R-свободной CDG-алгебры B теми же формулами, которыми она
определялась в [two-kinds, Section~6.1] для случая CDG-алгебр
над полем. Пользуясь леммой IV.2, можно аналогично определить
кобар-конструкцию R-свободной CDG-коалгебры C. В обоих случаях,
имеются естественные скручивающие коцепи (см. [two-kinds,
Section 6.2]) \tau_B: Bar(B) \to B и \tau_C: C\to Cob(C).
В обоих случаях, при наличии скручивающей коцепи \tau: C\to B для
CDG-коалгебры C и CDG-алгебры B, можно определить функторы кошулевой
двойственности M\mapsto C\ot^\tau M, N\mapsto B\ot^\tau N,
M\mapsto \Hom^\tau(C,M), P\mapsto \Hom^\tau(B,P) между
гомотопическими категориями CDG-модулей над B, CDG-комодулей над C,
и CDG-контрамодулей над C.
Теорема IV.3. Для любой R-свободной CDG-коалгебры C, функторы
кошулевой двойственности, связанные со скручивающей коцепью \tau_C,
индуцируют эквивалентности между копроизводной категорией
R-свободных CDG-комодулей над C, абсолютной производной категорией
R-свободных CDG-модулей над Cob(C) и контрапроизводной категорией
R-свободных CDG-контрамодулей над C, образующие коммутативную
диаграмму с эквивалентностью между первой и последней категориями,
доставляемой следствием III.2.
Доказательство: согласно (доказательству) теоремы II.4 и
предложению II.2, класс абсолютно ацикличных CDG-модулей над Cob(C)
является левым и правым ортогональным дополнением к некоторым
подкатегориям, так что он замкнут относительно бесконечных прямых
сумм и произведений. Независимо от этого, легко видеть, что
функторы кошулевой двойственности переводят коацикличные R-свободные
CDG-комодули, контраацикличные R-свободные CDG-контрамодули, и
абсолютно ацикличные R-свободные CDG-модули в стягиваемые объекты
(это, на самом деле, верно для любой скручивающей коцепи \tau:
C\to B). Функторы кошулевой двойственности также сопряжены друг
к другу с подходящих сторон, так что имеются морфизмы сопряжения
между их композициями и тождественными функторами. Наконец, из
следствий II.5 и III.3 вытекает, что эти морфизмы являются
изоморфизмами в соответствующих производных категориях второго рода,
поскольку они являются таковыми для алгебр и модулей над полем k.
Следствие IV.4. Пусть C -- R-свободная CDG-коалгебра, такая что
CDG-коалгебра C/mC конильпотентна. Предположим, что сечение
w: R\to C морфизма коединицы C\to R, индуцирующее коаугментацию
CDG-коалгебры C/mC, было использовано при построении CDG-алгебры
Cob(C) и соответствующей скручивающей коцепи \tau_C; так что элемент
кривизы CDG-алгебры Cob(C) равен нулю по модулю m. Тогда функторы
кошулевой двойственности, связанные со скручивающей коцепью \tau_C,
индуцируют эквивалентности между копроизводной категорией
R-свободных CDG-комодулей над C, полупроизводной категорией
R-свободных CDG-модулей над Cob(C), и контрапроизводной категорией
R-свободных CDG-контрамодулей над C.
Доказательство: следует из теоремы IV.3 и теоремы II.6.
Теорема IV.5. Для любой R-свободной CDG-алгебры A, элемент кривизны
которой принадлежит mA, функторы кошулевой двойственности, связанные
со скручивающей коцепью \tau_A, индуцируют эквивалентности между
копроизводной категорией R-свободных CDG-комодулей над Bar(A),
полупроизводной категорией R-свободных CDG-модулей над A, и
R-свободных CDG-контрамодулей над Bar(A), образующие коммутативную
диаграмму с эквивалентностью между первой и последней категориями,
доставляемой следствием III.2.
Доказательство: функторы кошулевой двойственности переводят
полуацикличные CDG-модули над A в стягиваемые CDG-комодули и
CDG-контрамодули, поскольку это верно по модулю m и градуированно
(ко)свободный R-свободный CDG-ко/контрамодуль стягиваем, если
он стягиваем после приведения по модулю m, ввиду рассуждения,
аналогичного второй половине доказательства теоремы II.1
(альтернативно, можно воспользоваться следствием III.3 и
теоремой III.1). Чтобы показать, что морфизмы сопряжения являются
изоморфизмами в соответствующих экзотических производных категориях,
достаточно отметить, что они становятся таковыми после приведения
по модулю m, и использовать определение полуацикличности и
следствие III.3).
Теорема IV.6. Пусть A -- R-свободная CDG-алгебра, элемент кривизны
которой принадлежит mA, пусть C -- R-свободная CDG-коалгебра,
такая что CDG-коалгебра C/mC над полем k конильпотентна, и пусть
\tau: C\to A -- скручивающая коцепь, такая что скручивающая коцепь
\tau/m\tau: C/mC \to A/mA аннулирует морфизм коаугментации
k\to C/mC. Тогда если скручивающая коцепь \tau/m\tau ациклична, то
функторы кошулевой двойственности, связанные с \tau, индуцируют
эквивалентности между копроизводной категорией R-свободных
CDG-комодулей над C, полупроизводной категорией R-свободных
CDG-модулей над A, и контрапроизводной категорией R-свободных
CDG-контрамодулей над C.
Доказательство: можно рассуждать аналогично доказательству
теоремы IV.5 или, альтернативным образом, использовать теорему IV.5
и теорему II.7.
