![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicРассматривается топологическое кольцо R = k[[z]] формальных степенных рядов от одной переменной с коэффициентами в поле. Над этим кольцом есть категория контрамодулей (= слабо полных модулей). Это абелева тензорная категория с точным справа функтором тензорного произведения, точным (кажется; поскольку ряды от одной переменной именно) функтором бесконечных прямых сумм (и, разумеется, бесконечных произведений), гомологической размерности 1. Функтор тензорного произведения коммутирует с бесконечными прямыми суммами и сохраняет класс проективных = свободных контрамодулей, который сохраняют также функторы бесконечных сумм и произведений. Имеется, кроме того, точный слева функтор внутреннего Hom'a, согласованный с прямыми суммами и произведениями в обычном смысле и тоже сохраняющий класс свободных контрамодулей. Имеются тензорные, коммутирующие с внутренним Hom'ом (по крайней мере) из свободных контрамодулей функторы приведения по модулю zm, сопоставляющие k[[z]]-контрамодулю k[[z]]/zm-модуль и отображающий свободные контрамодули в свободные модули.
Мы хотим рассматривать R-свободные CDG-алгебры и CDG-коалгебры в тензорной категории R-контрамодулей, и (преимущественно, но не только) R-свободные CDG-модули и CDG-комодули над ними. Предполагаются следующие факты:
0. Комплекс Hom между R-свободными CDG-модулями или комодулями над R-свободной CDG-алгеброй или коалгеброй, из которых первый модуль свободен или второй модуль косвободен как градуированный (ко)модуль над градуированной (ко)алгеброй, тогда и только тогда точен, когда точен соответствующий комплекс Hom для редукций наших CDG-(ко)модулей и CDG-(ко)алгебр по модулю z.
1. Если C -- CDG-коалгебра, косвободно копорожденная свободным R-контрамодулем как градуированная коалгебра, с коагментацией k → С/z по модулю z, и N -- CDG-комодуль над С, косвободно копорожденный свободным R-контрамодулем как градуированный C-комодуль, то котензорное произведение k и N/z над C/z является ацикличным комплексом тогда и только тогда, когда N стягиваем.
Более общо, будем называть R-свободную CDG-коалгебру C конильпотентной, если CDG-коалгебра C/z конильпотентна над k (т.е. в частности у C есть коаугментация по модулю z). В утверждении п.1 C может быть любой конильпотентной R-свободной C-коалгеброй (но N по-прежнему должен быть градуированно-косвободным).
2. Пусть A -- CDG-алгебра, свободно порожденная свободным R-модулем как градуированная алгебра, такая что A/z -- кофибрантная DG-алгебра над k (в частности, элемент кривизны A должен делиться на z). Тогда R-свободный CDG-модуль M над A абсолютно ацикличен (в классе R-свободных CDG-модулей) тогда и только тогда, когда комплекс M/z ацикличен.
3. Обычная кобар-двойственность: если C -- R-свободная CDG-коалгебра и B -- ее кобар-конструкция, то копроизводная категория R-свободных CDG-комодулей над C (и контрапроизводная категория R-свободных CDG-контрамодулей над С?) эквивалентна(ы) абсолютной производной категории R-свободных CDG-модулей над B.
4. 3 + 2 => конильпотентная кобар-двойственность.
5. Бар-двойственность: есть A -- R-свободная CDG-алгебра с элементом кривизны, делящимся на z, то факторкатегория гомотопической категории R-свободных CDG-модулей над A по CDG-модулям, ацикличным после приведения по модулю z, эквивалентна абсолютной производной категории CDG-комодулей (и контрамодулей?) над бар-конструкцией C.
6. Теоремы об инъективных и проективных резольвентах в классах R-свободных CDG-модулей (по модулю абс. ацикличных объектов -- по крайней мере, для градуированно-свободных CDG-алгебр; по модулю объектов, ацикличных после приведения mod z -- для произвольных R-свободных CDG-алгебр) и CDG-ко/контрамодулей (по модулю абс. ацикличных объектов -- для градуированно косвободных CDG-коалгебр, по модулю ко/контраацикличных объектов -- для произвольных R-свободных CDG-коалгебр).
7. Компактная порожденность копроизводной категории R-свободных CDG-комодулей над CDG-коалгеброй, допускающей какой-нибудь вариант корадикальной фильтрации -- аналог доказательства из раздела 5.5 мемуара Two kinds of derived categories...
8. Эквивалентность абс. производных категорий произвольных (с возможным кручением) и R-свободных CDG-модулей и CDG-ко/контрамодулей (в случае комодулей -- использовать основную конструкцию резольвенты из книжки Homological algebra of semimodules...) [Upd.: когда вместо R -- произвольное, скажем, полное нетерово локальное кольцо, не обязательно регулярное -- можно в место абс. производных категорий контрапроизводные категории в этом месте использовать.]
Мы хотим рассматривать R-свободные CDG-алгебры и CDG-коалгебры в тензорной категории R-контрамодулей, и (преимущественно, но не только) R-свободные CDG-модули и CDG-комодули над ними. Предполагаются следующие факты:
0. Комплекс Hom между R-свободными CDG-модулями или комодулями над R-свободной CDG-алгеброй или коалгеброй, из которых первый модуль свободен или второй модуль косвободен как градуированный (ко)модуль над градуированной (ко)алгеброй, тогда и только тогда точен, когда точен соответствующий комплекс Hom для редукций наших CDG-(ко)модулей и CDG-(ко)алгебр по модулю z.
1. Если C -- CDG-коалгебра, косвободно копорожденная свободным R-контрамодулем как градуированная коалгебра, с коагментацией k → С/z по модулю z, и N -- CDG-комодуль над С, косвободно копорожденный свободным R-контрамодулем как градуированный C-комодуль, то котензорное произведение k и N/z над C/z является ацикличным комплексом тогда и только тогда, когда N стягиваем.
Более общо, будем называть R-свободную CDG-коалгебру C конильпотентной, если CDG-коалгебра C/z конильпотентна над k (т.е. в частности у C есть коаугментация по модулю z). В утверждении п.1 C может быть любой конильпотентной R-свободной C-коалгеброй (но N по-прежнему должен быть градуированно-косвободным).
2. Пусть A -- CDG-алгебра, свободно порожденная свободным R-модулем как градуированная алгебра, такая что A/z -- кофибрантная DG-алгебра над k (в частности, элемент кривизны A должен делиться на z). Тогда R-свободный CDG-модуль M над A абсолютно ацикличен (в классе R-свободных CDG-модулей) тогда и только тогда, когда комплекс M/z ацикличен.
3. Обычная кобар-двойственность: если C -- R-свободная CDG-коалгебра и B -- ее кобар-конструкция, то копроизводная категория R-свободных CDG-комодулей над C (и контрапроизводная категория R-свободных CDG-контрамодулей над С?) эквивалентна(ы) абсолютной производной категории R-свободных CDG-модулей над B.
4. 3 + 2 => конильпотентная кобар-двойственность.
5. Бар-двойственность: есть A -- R-свободная CDG-алгебра с элементом кривизны, делящимся на z, то факторкатегория гомотопической категории R-свободных CDG-модулей над A по CDG-модулям, ацикличным после приведения по модулю z, эквивалентна абсолютной производной категории CDG-комодулей (и контрамодулей?) над бар-конструкцией C.
6. Теоремы об инъективных и проективных резольвентах в классах R-свободных CDG-модулей (по модулю абс. ацикличных объектов -- по крайней мере, для градуированно-свободных CDG-алгебр; по модулю объектов, ацикличных после приведения mod z -- для произвольных R-свободных CDG-алгебр) и CDG-ко/контрамодулей (по модулю абс. ацикличных объектов -- для градуированно косвободных CDG-коалгебр, по модулю ко/контраацикличных объектов -- для произвольных R-свободных CDG-коалгебр).
7. Компактная порожденность копроизводной категории R-свободных CDG-комодулей над CDG-коалгеброй, допускающей какой-нибудь вариант корадикальной фильтрации -- аналог доказательства из раздела 5.5 мемуара Two kinds of derived categories...
8. Эквивалентность абс. производных категорий произвольных (с возможным кручением) и R-свободных CDG-модулей и CDG-ко/контрамодулей (в случае комодулей -- использовать основную конструкцию резольвенты из книжки Homological algebra of semimodules...) [Upd.: когда вместо R -- произвольное, скажем, полное нетерово локальное кольцо, не обязательно регулярное -- можно в место абс. производных категорий контрапроизводные категории в этом месте использовать.]
