Абелева категория контрамодулей над кольцом Новикова

[posic]

(...Ерунда следует ниже...)

имеет гомологическую размерность один. имеет, как мне теперь кажется, гомологическую размерность два.

О чем идет речь: кольцо Новикова -- это кольцо формальных степенных рядов над полем k от одной переменной z с неотрицательными вещественными показателями. Элементами кольца являются ряды, у который показатели членов, входящих с ненулевыми коэффициентами, образуют последовательность вещественных чисел, стремящуюся к бесконечности.

Топология на кольце Новикова: базу окрестностей нуля образуют множества всех рядов, делящихся нацело на какую-то степень переменной z. Как над всяким топологическим кольцом, у которого (правые) открытые идеалы образуют базу окрестностей нуля, над кольцом Новикова бывают (левые) контрамодули -- http://posic.livejournal.com/206662.html

Контрамодуль над кольцом Новикова называется не имеющим кручения, если оператор умножения на z на нем инъективен. Ясно, что подконтрамодуль контрамодуля без кручения не имеет кручения. Утверждается, что контрамодуль над кольцом Новикова свободен тогда и только тогда, когда он не имеет кручения. (Утверждение о гомологической размерности отсюда немедленно следует.)

В самом деле, пусть F -- контрамодуль без кручения над кольцом Новикова R. Пусть m -- максимальный идеал R; обозначим через mF образ отображения контрадействия m[F] → F. Пусть P = R ⊗^ F/mF -- R-контрамодуль, свободно порожденный k-векторным пространством F/mF. Тогда изоморфизм P/mP = F/mF можно поднять до морфизма R-контрамодулей P → F, поскольку P проективен.

Согласно контрамодульной лемме Накаямы (см. Appendix A к Homological algebra of semimodules...), отображение P → F сюръективно. Отображение P → F, вообще говоря, конечно, не сюръективно (лемма Накаямы места не имеет). Достаточно рассмотреть случай F = m, в котором, очевидно, mF = F. Допустим сначала, однако, что это отображение оказалось сюръективным для нашего контрамодуля F.

Осталось Тогда можно заметить, что любой ненулевой элемент P можно представить в виде произведения некоторой неотрицательной степени переменной z на элемент P, не принадлежащий mP (и даже единственным образом; потому что у последовательности вещественных чисел, стремящейся к бесконечности, есть наименьший элемент). Теперь если p = z^aq в P и p переходит в ноль в F, то образ q в F является ненулевым элементом кручения. Таким образом, отображение P → F -- изоморфизм.

Update: однако, у приведенного рассуждения есть одна небольшая проблема: максимальный идеал кольца R не является топологически нильпотентным (по крайней мере, в смысле Appendix A). Применима ли в такой ситуации лемма Накаямы, не вполне понятно. Лемма Накаямы в формулировке из Appendix A неприменима, поскольку максимальный идеал кольца R не является топологически нильпотентным.

UUpdate: утверждение про гомологическую размерность 2 хочется доказывать вот каким образом. Пусть K -- R-контрамодуль без кручения; представим его как факторконтрамодуль свободного R-контрамодуля Q по его подконтрамодулю F. Как мне кажется, из отсутствия кручения у K следует, что отображение F/mF → Q/mQ инъективно. Дальше хочется выбрать вполне упорядоченный базис в F/mF и по индукции построить множество образующих F, после приведения по модулю mF становящееся нашим базисом в F/mF.