Слабая версия шести операций
Oct. 7th, 2011 04:24 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicРазвитие темы, намеченной здесь -- http://posic.livejournal.com/559763.html . (Много воды утекло с февраля, однако. Например, зачем мне тогда нужна была эта задача -- http://posic.livejournal.com/559909.html -- я теперь уже и не упомню. Не говоря уже о том, что я с тех пор понял обо всем этом.)
Слабая версия состоит в том, что из шести операций мне сейчас нужны только три -- обычный обратный образ f*, прямой образ с компактным носителем f!, и тензорное произведение ⊗. Без последнего тоже можно на первых порах обходиться (главное, чтобы был обратимый функтор тейтовской подкрутки), а морфизмы f нужны, прежде всего, квазиконечные (остальные возникают, кажется, только в контексте cdh-спуска для мотивных когомологий особых многообразий).
Итак, будем рассматривать алгебраические многообразия (отделимые схемы конечного типа, рассматриваемые с точностью до добавления или убирания нильпотентных элементов в структурных пучках) над совершенным полем K характеристики, не делящей натуральное m. Хотелось бы иметь для каждого такого многообразия триангулированную категорию DM(X) = DM(X,Z/m), со следующими дополнительными данными и свойствами.
0. Для любого морфизма многообразий f: Y → X, заданы триангулированные функторы f* и f! между категориями DM(X) и DM(Y). Композиции морфизмов f соответствует композиция функторов, тождественному морфизму -- тождественные функторы. Функтор f! сопряжен к f* слева, когда морфизм f этальный, и справа, когда морфизм f собственный.
1. На категориях DM(X) заданы обратимые функторы тейтовской подкрутки, коммутирующие с f* и f!, а также в них выбран отмеченный объект Z/m, и функторы f* переводят отмеченный объект в отмеченный объект.
2. Для любого многообразия X с открытым подмногообразием j: U → X и его замкнутым дополнением i: Z→ X, и любого объекта M из DM(X) задан выделенный треугольник j!j*M → M → i!i*M → j!j*M[1]. Здесь первые два морфизма суть морфизмы сопряжения, а последний -- дополнительное данное. (Какие-то условия согласования надо бы еще наложить на это данное; функториальность по M, для начала.)
3. Собственная замена базы: для декартовых квадратов многообразий, функторы f* и g! коммутируют.
Если мы все-таки хотим иметь тензорное произведение, то нужны также:
4. Структуры тензорных триангулированных категорий на DM(X); объекты Z/m должны быть единичными объектами тензорной структуры, тейтовская подкрутка -- тензорным умножением на тейтовские объекты Z/m(j); функторы f* должны быть тензорными и переводить тейтовские объекты в тейтовские объекты.
5. Формула проекции для тензорного произведения и функторов f* и f!.
Далее, для моих целей нужно еще иметь функторы этальной реализации DM(X,Z/m) → D(EtX,Z/m) из триангулированных категорий мотивных пучков в производные категории этальных пучков Z/m-модулей, согласованные со всеми вышеперечисленными структурами (в частности, переводящие тейтовские подкрутки в циклотомические подкрутки, или сооотв. тейтовские объекты в циклотомические пучки, и трансформирующие функторы f*, f! в соответствующие функторы для комплексов этальных пучков).
Вопрос: может быть, все это уже построено где-нибудь?
Слабая версия состоит в том, что из шести операций мне сейчас нужны только три -- обычный обратный образ f*, прямой образ с компактным носителем f!, и тензорное произведение ⊗. Без последнего тоже можно на первых порах обходиться (главное, чтобы был обратимый функтор тейтовской подкрутки), а морфизмы f нужны, прежде всего, квазиконечные (остальные возникают, кажется, только в контексте cdh-спуска для мотивных когомологий особых многообразий).
Итак, будем рассматривать алгебраические многообразия (отделимые схемы конечного типа, рассматриваемые с точностью до добавления или убирания нильпотентных элементов в структурных пучках) над совершенным полем K характеристики, не делящей натуральное m. Хотелось бы иметь для каждого такого многообразия триангулированную категорию DM(X) = DM(X,Z/m), со следующими дополнительными данными и свойствами.
0. Для любого морфизма многообразий f: Y → X, заданы триангулированные функторы f* и f! между категориями DM(X) и DM(Y). Композиции морфизмов f соответствует композиция функторов, тождественному морфизму -- тождественные функторы. Функтор f! сопряжен к f* слева, когда морфизм f этальный, и справа, когда морфизм f собственный.
1. На категориях DM(X) заданы обратимые функторы тейтовской подкрутки, коммутирующие с f* и f!, а также в них выбран отмеченный объект Z/m, и функторы f* переводят отмеченный объект в отмеченный объект.
2. Для любого многообразия X с открытым подмногообразием j: U → X и его замкнутым дополнением i: Z→ X, и любого объекта M из DM(X) задан выделенный треугольник j!j*M → M → i!i*M → j!j*M[1]. Здесь первые два морфизма суть морфизмы сопряжения, а последний -- дополнительное данное. (Какие-то условия согласования надо бы еще наложить на это данное; функториальность по M, для начала.)
3. Собственная замена базы: для декартовых квадратов многообразий, функторы f* и g! коммутируют.
Если мы все-таки хотим иметь тензорное произведение, то нужны также:
4. Структуры тензорных триангулированных категорий на DM(X); объекты Z/m должны быть единичными объектами тензорной структуры, тейтовская подкрутка -- тензорным умножением на тейтовские объекты Z/m(j); функторы f* должны быть тензорными и переводить тейтовские объекты в тейтовские объекты.
5. Формула проекции для тензорного произведения и функторов f* и f!.
Далее, для моих целей нужно еще иметь функторы этальной реализации DM(X,Z/m) → D(EtX,Z/m) из триангулированных категорий мотивных пучков в производные категории этальных пучков Z/m-модулей, согласованные со всеми вышеперечисленными структурами (в частности, переводящие тейтовские подкрутки в циклотомические подкрутки, или сооотв. тейтовские объекты в циклотомические пучки, и трансформирующие функторы f*, f! в соответствующие функторы для комплексов этальных пучков).
Вопрос: может быть, все это уже построено где-нибудь?
