Доказательство леммы к теореме Хартсхорна
Sep. 24th, 2011 02:39 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicИмеется в виду лемма, сформулированная здесь -- http://posic.livejournal.com/665853.html
Прежде чем доказывать, переформулируем утверждение следующим образом. Пусть E -- когерентный пучок на нетеровой схеме X, и пусть G ⊂ E -- подпучок OX-модулей. Пусть M -- квазикогерентный пучок на X, и пусть G → M -- гомоморфизм пучков OX-модулей. Тогда найдется квазикогерентный пучок N на X вместе с инъективным морфизмом M → N и морфизмом E → N, образующими коммутативную диаграмму с морфизмами из G.
В самом деле, если существует такой коммутативный квадрат, то достаточно взять за F полный прообраз M при морфизме E → N, чтобы убедиться в справедливости формулировки по ссылке. Наоборот, если выполнена формулировка по ссылке, достаточно принять за N расслоенную прямую сумму M и E над F.
Убедимся, что достаточно проверять утверждение леммы для аффинных схем X. Пусть jα: Uα → X -- аффинное покрытие X. Предположим, что ограничения нашей диаграммы E ⊃ G → M на открытые подмножества Uα можно достроить до желаемых коммутативных квадратов с четвертыми объектами Nα. Тогда наша исходная диаграмма на схеме X достраивается до коммутативного квадрата с четвертым объектом ⊕α jα*jα*Nα.
Впрочем, рассуждение ниже, кажется, даже не требует аффинности схемы. Пучок G порождается конечным набором своих сечений над открытыми подмножествами X. Некоторые из этих подмножеств могут совпасть со всем X. Рассуждение проводится индукцией по числу таких подмножеств, которые с X не совпадают. Ясно, что если все они совпадают с X, то подпучок G ⊂ E порожден глобальными сечениями, а подпучок когерентного пучка, порожденный глобальными сечениями, когерентен, так что доказывать нечего.
Пусть U -- одно из открытых подмножеств, на которых задано образующее сечение G, и T -- замкнутое дополнение к нему. Убедимся, что на T существует структура замкнутой подсхемы i: Z → X, такая что морфизм пучков i*: i*G → i*E инъективен. В самом деле, существует конечный набор подпучков G, являющихся продолжениями нулем когерентных пучков с открытых подсхем X, такой что слой G в каждой точке x из X совпадает со слоем одного из этих подпучков (достаточно рассмотреть всевозможные пересечения открытых множеств, над которыми определены порождающие сечения G). Поэтому вопрос сводится к случаю продолжения нулем когерентного подпучка с открытой подсхемы, и далее к случаю когерентного подпучка, и в конце концов к лемме Артина-Риса.
Очевидно, мы можем заменить M на достаточно большой его когерентный подпучок. Увеличивая, при необходимости, структуру замкнутой подсхемы Z на замкнутом подмножестве T, мы можем добиться того, чтобы отображение пучков M → j*j*M ⊕ i*i*M было инъективным (достаточно применить ту же лемму Артина-Риса к M и его подпучку сечений с теоретико-множественным носителем в T).
Pассмотрим диаграммы j*E ⊃ j*G → j*M на U и i*E ⊃ i*G → i*M. Пучок j*G порождается набором сечений, полученных ограничением порождающих сечений G на пересечения их областей определения с U, и неглобальных сечений в этом наборе на одно меньше, чем в исходном наборе порождающих сечений G. Пучок i*G тоже порождается набором сечений, полученных ограничением порождающих сечений G на пересечения их областей определения с Z, и ограничение сечения, которое было определено над U, имеет пустую область определения, так что его можно выбросить; в результате неглобальных сечений тоже будет на одно меньше, чем в исходном наборе для G.
Теперь пусть на U и Z мы достроили наши диаграммы до коммутативных квадратов с четвертыми вершинами N' и N'', соответственно. Тогда наша исходная диаграмма достраивается до коммутативного квадрата с четвертой вершиной j*N' ⊕ i*N''.
Прежде чем доказывать, переформулируем утверждение следующим образом. Пусть E -- когерентный пучок на нетеровой схеме X, и пусть G ⊂ E -- подпучок OX-модулей. Пусть M -- квазикогерентный пучок на X, и пусть G → M -- гомоморфизм пучков OX-модулей. Тогда найдется квазикогерентный пучок N на X вместе с инъективным морфизмом M → N и морфизмом E → N, образующими коммутативную диаграмму с морфизмами из G.
В самом деле, если существует такой коммутативный квадрат, то достаточно взять за F полный прообраз M при морфизме E → N, чтобы убедиться в справедливости формулировки по ссылке. Наоборот, если выполнена формулировка по ссылке, достаточно принять за N расслоенную прямую сумму M и E над F.
Убедимся, что достаточно проверять утверждение леммы для аффинных схем X. Пусть jα: Uα → X -- аффинное покрытие X. Предположим, что ограничения нашей диаграммы E ⊃ G → M на открытые подмножества Uα можно достроить до желаемых коммутативных квадратов с четвертыми объектами Nα. Тогда наша исходная диаграмма на схеме X достраивается до коммутативного квадрата с четвертым объектом ⊕α jα*jα*Nα.
Впрочем, рассуждение ниже, кажется, даже не требует аффинности схемы. Пучок G порождается конечным набором своих сечений над открытыми подмножествами X. Некоторые из этих подмножеств могут совпасть со всем X. Рассуждение проводится индукцией по числу таких подмножеств, которые с X не совпадают. Ясно, что если все они совпадают с X, то подпучок G ⊂ E порожден глобальными сечениями, а подпучок когерентного пучка, порожденный глобальными сечениями, когерентен, так что доказывать нечего.
Пусть U -- одно из открытых подмножеств, на которых задано образующее сечение G, и T -- замкнутое дополнение к нему. Убедимся, что на T существует структура замкнутой подсхемы i: Z → X, такая что морфизм пучков i*: i*G → i*E инъективен. В самом деле, существует конечный набор подпучков G, являющихся продолжениями нулем когерентных пучков с открытых подсхем X, такой что слой G в каждой точке x из X совпадает со слоем одного из этих подпучков (достаточно рассмотреть всевозможные пересечения открытых множеств, над которыми определены порождающие сечения G). Поэтому вопрос сводится к случаю продолжения нулем когерентного подпучка с открытой подсхемы, и далее к случаю когерентного подпучка, и в конце концов к лемме Артина-Риса.
Очевидно, мы можем заменить M на достаточно большой его когерентный подпучок. Увеличивая, при необходимости, структуру замкнутой подсхемы Z на замкнутом подмножестве T, мы можем добиться того, чтобы отображение пучков M → j*j*M ⊕ i*i*M было инъективным (достаточно применить ту же лемму Артина-Риса к M и его подпучку сечений с теоретико-множественным носителем в T).
Pассмотрим диаграммы j*E ⊃ j*G → j*M на U и i*E ⊃ i*G → i*M. Пучок j*G порождается набором сечений, полученных ограничением порождающих сечений G на пересечения их областей определения с U, и неглобальных сечений в этом наборе на одно меньше, чем в исходном наборе порождающих сечений G. Пучок i*G тоже порождается набором сечений, полученных ограничением порождающих сечений G на пересечения их областей определения с Z, и ограничение сечения, которое было определено над U, имеет пустую область определения, так что его можно выбросить; в результате неглобальных сечений тоже будет на одно меньше, чем в исходном наборе для G.
Теперь пусть на U и Z мы достроили наши диаграммы до коммутативных квадратов с четвертыми вершинами N' и N'', соответственно. Тогда наша исходная диаграмма достраивается до коммутативного квадрата с четвертой вершиной j*N' ⊕ i*N''.
