![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicЯ тут нашел у себя ошибку в последнем доказательстве в статье, и так разволновался, что временно разучился отличать свободно доступные публикации от требующих оплаты доступа (см. предыдущий постинг). Но ошибка заделывается.
Как согласовано взятие ядра триангулированного функтора с переходом к идемпотентному пополнению или толстой оболочке? Допустим, имеется триангулированный функтор F: C → D, и K ⊂ C есть ядро (полная триангулированная подкатегория всех объектов, аннулируемых) F. Пусть c ⊂ C и d ⊂ D -- полные триангулированные подкатегории, такие что F(c) ⊂ d. Обозначим через f ограничение F на c, и пусть k ⊂ с -- ядро функтора f.
Далее, пусть c' и d' -- толстые оболочки (минимальные толстые подкатегории, содерждащие) c ⊂ С и d ⊂ D, соответственно; тогда ограничение F на c' задает функтор f': c' → d'. Пусть k' -- его ядро. Понятно, что категория k' содержится в K и содержит толстую оболочку k в K; но как доказать, что она совпадает с этой толстой оболочкой?
Если решать эту задачу в лоб, то получится вот что. Допустим, объект X ∈ c' аннулируется функтором F. Тогда существует объект Y ∈ c', такой что X ⊕ Y принадлежит c. Хотелось бы сказать, что X ⊕ Y принадлежит k, и поэтому X принадлежит толстой оболочке k. Но это ниоткуда не следует -- никто не сказал, что F(Y) = 0.
Как же быть? Хотелось бы подобрать на место Y не случайный объект, а какой-то "хороший"; так, чтобы, в частности, из F(X) = 0 следовало F(Y) = 0. На самом деле, это всегда можно сделать, и очень просто: взять Y = X[1].
Утверждение: если c' -- триангулированная категория и c -- полная триангулированная подкатегория в ней, такая что всякий объект c' является прямым слагаемым объекта из с, и X ∈ c', то X ⊕ X[1] ∈ c.
Доказательство: это следует из теоремы 2.1, что в разделе 3 (так!) статьи Томасона, точную ссылку на которую можно найти в предыдущем постинге.
Upd.: на самом деле, доказательство занимает одну строчку: если X ∈ c' и X ⊕ Y ∈ c, то из выделенного треугольника X ⊕ Y → X ⊕ X[1] → X[1] ⊕ Y[1] → X[1] ⊕ Y[1] следует, что X ⊕ X[1] ∈ c.
Как согласовано взятие ядра триангулированного функтора с переходом к идемпотентному пополнению или толстой оболочке? Допустим, имеется триангулированный функтор F: C → D, и K ⊂ C есть ядро (полная триангулированная подкатегория всех объектов, аннулируемых) F. Пусть c ⊂ C и d ⊂ D -- полные триангулированные подкатегории, такие что F(c) ⊂ d. Обозначим через f ограничение F на c, и пусть k ⊂ с -- ядро функтора f.
Далее, пусть c' и d' -- толстые оболочки (минимальные толстые подкатегории, содерждащие) c ⊂ С и d ⊂ D, соответственно; тогда ограничение F на c' задает функтор f': c' → d'. Пусть k' -- его ядро. Понятно, что категория k' содержится в K и содержит толстую оболочку k в K; но как доказать, что она совпадает с этой толстой оболочкой?
Если решать эту задачу в лоб, то получится вот что. Допустим, объект X ∈ c' аннулируется функтором F. Тогда существует объект Y ∈ c', такой что X ⊕ Y принадлежит c. Хотелось бы сказать, что X ⊕ Y принадлежит k, и поэтому X принадлежит толстой оболочке k. Но это ниоткуда не следует -- никто не сказал, что F(Y) = 0.
Как же быть? Хотелось бы подобрать на место Y не случайный объект, а какой-то "хороший"; так, чтобы, в частности, из F(X) = 0 следовало F(Y) = 0. На самом деле, это всегда можно сделать, и очень просто: взять Y = X[1].
Утверждение: если c' -- триангулированная категория и c -- полная триангулированная подкатегория в ней, такая что всякий объект c' является прямым слагаемым объекта из с, и X ∈ c', то X ⊕ X[1] ∈ c.
Доказательство: это следует из теоремы 2.1, что в разделе 3 (так!) статьи Томасона, точную ссылку на которую можно найти в предыдущем постинге.
Upd.: на самом деле, доказательство занимает одну строчку: если X ∈ c' и X ⊕ Y ∈ c, то из выделенного треугольника X ⊕ Y → X ⊕ X[1] → X[1] ⊕ Y[1] → X[1] ⊕ Y[1] следует, что X ⊕ X[1] ∈ c.
