Hartshorne, Residues and Duality
Aug. 3rd, 2011 05:18 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicChapter II, Theorem 7.18 on page 133: "Let X be a locally noetherian prescheme. Then every quasi-coherent OX-module F can be embedded into a quasi-coherent, injective OX-module I." Proof: "Indeed, we will show that the injective hull I of a quasi-coherent sheaf F is quasi-coherent. <...>"
Example on page 135: "If X is a locally Noetherian prescheme, the category Qco(X) of quasi-coherent sheaves on X may not be locally noetherian. Thus we do not know the structure of injectives in that category, and we do not know whether every injective object in Qco(X) is injective in Mod(X)."
Курсив мой. Типа, вложите этот ваш инъективный квазикогерентный пучок в инъективный OX-модуль, являющийся квазикогерентным пучком (согласно теореме), и он там будет прямым слагаемым. И класс инъективных OX-модулей замкнут относительно прямых слагаемых.
Мораль: не только я один берусь, не умея.
Example on page 135: "If X is a locally Noetherian prescheme, the category Qco(X) of quasi-coherent sheaves on X may not be locally noetherian. Thus we do not know the structure of injectives in that category, and we do not know whether every injective object in Qco(X) is injective in Mod(X)."
Курсив мой. Типа, вложите этот ваш инъективный квазикогерентный пучок в инъективный OX-модуль, являющийся квазикогерентным пучком (согласно теореме), и он там будет прямым слагаемым. И класс инъективных OX-модулей замкнут относительно прямых слагаемых.
Мораль: не только я один берусь, не умея.
