Кошулева двойственность и бимодули

[posic]

Если A и B -- DG-алгебры над полем k, C и D -- кошулево двойственные CDG-коалгебры, то к DG-алгебре A⊗B кошулево двойственной является CDG-коалгебра C⊗D. Поэтому производная категория A-B-DG-бимодулей эквивалентна копроизводной категории C-D-CDG-бикомодулей.

Пусть K -- A-B-DG-бимодуль и N -- соответствующий C-D-CDG-бикомодуль. Тогда кошулева тройственность переводит функтор тензорного умножения на K, бьющий из DG-модулей над B в DG-модули над A, в функтор котензорного умножения на N, бьющий из CDG-комодулей над D в CDG-комодули над C. Она же переводит функтор Hom(K,-), бьющий из DG-модулей над A в DG-модули над B, в функтор Cohom(N,-), бьющий из CDG-контрамодулей над C в CDG-контрамодули над D. (Под всеми тензорными операциями выше подразумеваются производные функторы, разумеется.)

Таким образом, комодульно-контрамодульное соответствие превращает функторы (производного) котензорного умножения на N и Cohom из N в сопряженные. (Это следует доказывать непосредственно, не пользуясь кошулевой двойственностью, конильпотентностью C и D, и проч.: просто комодульно-контрамодульное соответствие превращает Ext в Coext, и остается воспользоваться ассоциативностью котензорного произведения с Cohom.)