![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicБудем рассматривать более общую ситуацию, когда схема X нетерова, отделима, и на ней есть достаточно много векторных расслоений, но регулярность не предполагается. Тогда имеется следующая цепочка триангулированных функторов.
Абсолютная производная категория матричных факторизаций на X отображается в производную категорию особенностей Z (функтором коядра одной фиксированной стрелки из двух).
Производная категория особенностей на Z отображается в абсолютную производную категорию искривленных когерентных пучков на X следующим образом. Ограниченному комплексу когерентных пучков сопоставляется соответствующий Z/2-градуированный комплекс, полученный путем взятия прямых сумм отдельно по четным и нечетным градуировкам. Берется прямой образ на X этого комплекса пучков на Z, и поскольку полученный комплекс пучков на X аннулируется w, он является искривленным пучком.
Очевидно, что таким образом получается функтор из производной категории когерентных пучков на Z в абсолютную производную категорию искривленных когерентных пучков на X. Нужно только проверить, что этот функтор аннулирует совершенные комплексы пучков на Z. Это следует из того, что толстая подкатегория совершенных комплексов порождается ограничениями векторных расслоений с X. В самом деле, таких ограничений, рассматриваемых как векторные расслоения на Z, достаточно много; отсюда видно, что они являются компактными образующими неограниченной производной категории квазикогерентных пучков на Z, и следовательно, порождают все компактные объекты в последней категории. Образ ограничения векторного расслоения с X при нашем функторе очевидным образом представляется в виде коядра инъективного морфизма стягиваемых матричных факторизаций.
На самом деле, мы доказали больше. Имеется функтор производного обратного образа, бьющий из ограниченной производной категории когерентных пучков на X в ограниченную производную категорию когерентных пучков на Z (комплексы остаются ограниченными, поскольку гомологическая размерность OZ над OX конечна, точнее, равна единице). Этот производный функтор можно вычислять с помощью w-плоских резольвент комплексов когерентных пучков на X (факторизуя их по действию w). Из рассуждения выше видно, что наш функтор из производной категории когерентных пучков на Z в абсолютную производную категорию искривленных когерентных пучков на X факторизуется через факторкатегорию производной категории когерентных пучков на Z по толстой подкатегории, порожденной производными ограничениями когерентных пучков с X.
Наконец, конструкция функтора коядра одной из двух стрелок определяет триангулированный функтор из абсолютной производной категории w-плоских искривленных когерентных пучков в факторкатегорию производной категории когерентных пучков на Z по толстой подкатегории, порожденной производными ограничениями когерентных пучков с X. Абсолютную производную категорию w-плоских искривленных когерентных пучков можно отождествить с абсолютной производной категорией всех искривленных когерентных пучков, после чего этот функтор и предыдущий становятся взаимно-обратными эквивалентностями категорий.
Композиции подряд идущих функторов в этой цепочке суть (1) естественный функтор из производной категории матричных факторизаций в производную категорию искривленных когерентных пучков на X и (2) функтор локализации из производной категории когерентных пучков на Z в ее факторкатегорию по ограничениям когерентных пучков с X.
Абсолютная производная категория матричных факторизаций на X отображается в производную категорию особенностей Z (функтором коядра одной фиксированной стрелки из двух).
Производная категория особенностей на Z отображается в абсолютную производную категорию искривленных когерентных пучков на X следующим образом. Ограниченному комплексу когерентных пучков сопоставляется соответствующий Z/2-градуированный комплекс, полученный путем взятия прямых сумм отдельно по четным и нечетным градуировкам. Берется прямой образ на X этого комплекса пучков на Z, и поскольку полученный комплекс пучков на X аннулируется w, он является искривленным пучком.
Очевидно, что таким образом получается функтор из производной категории когерентных пучков на Z в абсолютную производную категорию искривленных когерентных пучков на X. Нужно только проверить, что этот функтор аннулирует совершенные комплексы пучков на Z. Это следует из того, что толстая подкатегория совершенных комплексов порождается ограничениями векторных расслоений с X. В самом деле, таких ограничений, рассматриваемых как векторные расслоения на Z, достаточно много; отсюда видно, что они являются компактными образующими неограниченной производной категории квазикогерентных пучков на Z, и следовательно, порождают все компактные объекты в последней категории. Образ ограничения векторного расслоения с X при нашем функторе очевидным образом представляется в виде коядра инъективного морфизма стягиваемых матричных факторизаций.
На самом деле, мы доказали больше. Имеется функтор производного обратного образа, бьющий из ограниченной производной категории когерентных пучков на X в ограниченную производную категорию когерентных пучков на Z (комплексы остаются ограниченными, поскольку гомологическая размерность OZ над OX конечна, точнее, равна единице). Этот производный функтор можно вычислять с помощью w-плоских резольвент комплексов когерентных пучков на X (факторизуя их по действию w). Из рассуждения выше видно, что наш функтор из производной категории когерентных пучков на Z в абсолютную производную категорию искривленных когерентных пучков на X факторизуется через факторкатегорию производной категории когерентных пучков на Z по толстой подкатегории, порожденной производными ограничениями когерентных пучков с X.
Наконец, конструкция функтора коядра одной из двух стрелок определяет триангулированный функтор из абсолютной производной категории w-плоских искривленных когерентных пучков в факторкатегорию производной категории когерентных пучков на Z по толстой подкатегории, порожденной производными ограничениями когерентных пучков с X. Абсолютную производную категорию w-плоских искривленных когерентных пучков можно отождествить с абсолютной производной категорией всех искривленных когерентных пучков, после чего этот функтор и предыдущий становятся взаимно-обратными эквивалентностями категорий.
Композиции подряд идущих функторов в этой цепочке суть (1) естественный функтор из производной категории матричных факторизаций в производную категорию искривленных когерентных пучков на X и (2) функтор локализации из производной категории когерентных пучков на Z в ее факторкатегорию по ограничениям когерентных пучков с X.
