![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicНаряду с матричными факторизациями, можно рассматривать то, что Д.П. и К.Л. называют "искривленными (когерентными) пучками" -- пары когерентных пучков на X с парами морфизмов между ними в обе стороны, такими, что обе композиции суть умножения на w. Из абсолютной производной категории матричных факторизаций в абсолютную производную категорию искривленных когерентных пучков бьет естественный функтор.
Утверждается, что этот функтор является эквивалентностью категорий. Если опустить условие, что X регулярна, то верно то же самое, если рассматривать искривленные когерентные пучки конечной плоской размерности. Другой вариант -- рассматривать w-плоские когерентные пучки (на сечениях которых над открытыми множествами w действует инъективно). Во всех этих случаях, доказательство следует в русле доказательства теоремы 3.2 из нашей статьи с А.П.
Чтобы доказать аналог леммы A в ситуации искривленных пучков, нужно использовать вместо проективных модулей P' и P''' матричные факторизации, свободно порожденные некоторыми Z/2-градуированными векторными расслоениями. При этом должны быть сюрьективные отображения P' → N' и P''' → N'' (а не N''').
Доказательство аналога леммы B не отличается от доказательства в статье с А.П.
Самый трудный шаг -- это доказательство аналога леммы C. Представим наш стягиваемый искривленный когерентный пучок N в виде образа сюръективного отображения из Z/2-градуированного векторного расслоения V. Пусть V~ -- матричная факторизация, свободно порожденная V; тогда имеется сюрьективное отображение искривленных когерентных пучков V~ → N. Всякая матричная факторизация, свободно порожденная Z/2-градуированным векторным расслоением, стягиваема естественной стягивающей гомотопией.
Невязка коммутативности квадрата, образованного стягивающими гомотопиями V~ и N вместе с отображением V~ → N есть нечетный замкнутый морфизм V~ → N. Ограничим этот морфизм на V и подберем сюръективный морфизм локально свободных пучков U → V, композиция которого с полученным морфизмом V → N поднимается до морфизма U → V~. Последний морфизм продолжается до замкнутого нечетного морфизма матричных факторизаций U~ → V~. Добавив этот морфизм в качестве поправки к естественной стягивающей гомотопии для сюръективного морфизма матричных факторизаций U~ → V~, индуцированного сюръективным морфизмом Z/2-градуированных векторных расслоений U → V, мы получим стягивающую гомотопию для морфизма U~ → V~, согласованную с сюръективным морфизмом V~ → N и стягивающей гомотопией на N.
Пусть K и L -- искривленные когерентные пучки, являющиеся ядрами сюръективных морфизмов V~ → N и U~ → N. Тогда сюръективное отображение L → K гомотопно нулю и имеет ядро, являющееся стягиваемой матричной факторизацией. Конус C отображения L → K является расширением конуса тождественного эндоморфизма K с помощью стягиваемой матричной факторизации. Объект K является (d-1)-плоским, так что объект C -- (d-1)-абсолютно ацикличный. Объект K является прямым слагаемым C, и следовательно, тоже (d-1)-абсолютно ацикличен. Аналог леммы C доказан.
Доказательство аналога леммы D не отличается от доказательства в нашей статье.
Утверждается, что этот функтор является эквивалентностью категорий. Если опустить условие, что X регулярна, то верно то же самое, если рассматривать искривленные когерентные пучки конечной плоской размерности. Другой вариант -- рассматривать w-плоские когерентные пучки (на сечениях которых над открытыми множествами w действует инъективно). Во всех этих случаях, доказательство следует в русле доказательства теоремы 3.2 из нашей статьи с А.П.
Чтобы доказать аналог леммы A в ситуации искривленных пучков, нужно использовать вместо проективных модулей P' и P''' матричные факторизации, свободно порожденные некоторыми Z/2-градуированными векторными расслоениями. При этом должны быть сюрьективные отображения P' → N' и P''' → N'' (а не N''').
Доказательство аналога леммы B не отличается от доказательства в статье с А.П.
Самый трудный шаг -- это доказательство аналога леммы C. Представим наш стягиваемый искривленный когерентный пучок N в виде образа сюръективного отображения из Z/2-градуированного векторного расслоения V. Пусть V~ -- матричная факторизация, свободно порожденная V; тогда имеется сюрьективное отображение искривленных когерентных пучков V~ → N. Всякая матричная факторизация, свободно порожденная Z/2-градуированным векторным расслоением, стягиваема естественной стягивающей гомотопией.
Невязка коммутативности квадрата, образованного стягивающими гомотопиями V~ и N вместе с отображением V~ → N есть нечетный замкнутый морфизм V~ → N. Ограничим этот морфизм на V и подберем сюръективный морфизм локально свободных пучков U → V, композиция которого с полученным морфизмом V → N поднимается до морфизма U → V~. Последний морфизм продолжается до замкнутого нечетного морфизма матричных факторизаций U~ → V~. Добавив этот морфизм в качестве поправки к естественной стягивающей гомотопии для сюръективного морфизма матричных факторизаций U~ → V~, индуцированного сюръективным морфизмом Z/2-градуированных векторных расслоений U → V, мы получим стягивающую гомотопию для морфизма U~ → V~, согласованную с сюръективным морфизмом V~ → N и стягивающей гомотопией на N.
Пусть K и L -- искривленные когерентные пучки, являющиеся ядрами сюръективных морфизмов V~ → N и U~ → N. Тогда сюръективное отображение L → K гомотопно нулю и имеет ядро, являющееся стягиваемой матричной факторизацией. Конус C отображения L → K является расширением конуса тождественного эндоморфизма K с помощью стягиваемой матричной факторизации. Объект K является (d-1)-плоским, так что объект C -- (d-1)-абсолютно ацикличный. Объект K является прямым слагаемым C, и следовательно, тоже (d-1)-абсолютно ацикличен. Аналог леммы C доказан.
Доказательство аналога леммы D не отличается от доказательства в нашей статье.
