![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicТеперь мы можем сопоставить всякому комплексу (C,F) фильтрованных модулей над GK с циклотомическими присоединенными факторами тотальный комплекс бикомплекса с двумя строками CI' → CI'(−1), где I' -- часть группы инерции, состоящая из элементов порядков, взаимно-простых с l.
Единственная проблема в том, что полученный таким образом комплекс является комплексом фильтрованных GL'/L-модулей (где L' -- расширение поля L, соответствующее группе I'), а нам нужно получить комплекс фильтрованных модулей над группой Gk, являющейся факторгруппой GL'/L по абелевой группе Zl(1).
Решение этой проблемы предлагается вот какое. Зафиксируем униформизующий элемент π локального кольца V. Тогда поле L можно расширить, добавив какую-нибудь согласованную систему корней из π степеней, являющихся степенями l. Этому расширению полей соответствует сечение Gk → GL'/L естественного сюрьективного гомоморфизма GL'/L → Gk. Скомпоновав действие GL'/L с этим сечением, получим комплекс фильтрованных Gk-модулей, который нам нужен.
Замена согласованной системы корней из π отвечает элементу группы Zl(1), сопряжение с помощью которого трансформирует соответствующие сечения гомоморфизма групп одно в другое. Действие этого элемента определяет естественный изоморфизм комплексов фильтрованных Gk-модулей, задающий этот комплекс как не зависящий от выбора согласованной системы корней с точностью до однозначно определенного изоморфизма.
Что касается зависимости от униформизующего элемента π (точнее, от его образа в про-l-пополнении L*), то ее устранять я не умею. Возможно, эта зависимость и должна быть неустранимой в силу причин, связанных с зависимостью этальной фундаментальной группы от выбора базовой точки.
Напоследок отметим, что конструкция эта в таком виде неприменима к мотивам Артина-Тейта, поскольку действие Zl(1) на присоединенных факторах их фильтраций может быть нетривиальным, в результате чего условие согласования дифференциала комплекса с фильтрацией нарушается.
Единственная проблема в том, что полученный таким образом комплекс является комплексом фильтрованных GL'/L-модулей (где L' -- расширение поля L, соответствующее группе I'), а нам нужно получить комплекс фильтрованных модулей над группой Gk, являющейся факторгруппой GL'/L по абелевой группе Zl(1).
Решение этой проблемы предлагается вот какое. Зафиксируем униформизующий элемент π локального кольца V. Тогда поле L можно расширить, добавив какую-нибудь согласованную систему корней из π степеней, являющихся степенями l. Этому расширению полей соответствует сечение Gk → GL'/L естественного сюрьективного гомоморфизма GL'/L → Gk. Скомпоновав действие GL'/L с этим сечением, получим комплекс фильтрованных Gk-модулей, который нам нужен.
Замена согласованной системы корней из π отвечает элементу группы Zl(1), сопряжение с помощью которого трансформирует соответствующие сечения гомоморфизма групп одно в другое. Действие этого элемента определяет естественный изоморфизм комплексов фильтрованных Gk-модулей, задающий этот комплекс как не зависящий от выбора согласованной системы корней с точностью до однозначно определенного изоморфизма.
Что касается зависимости от униформизующего элемента π (точнее, от его образа в про-l-пополнении L*), то ее устранять я не умею. Возможно, эта зависимость и должна быть неустранимой в силу причин, связанных с зависимостью этальной фундаментальной группы от выбора базовой точки.
Напоследок отметим, что конструкция эта в таком виде неприменима к мотивам Артина-Тейта, поскольку действие Zl(1) на присоединенных факторах их фильтраций может быть нетривиальным, в результате чего условие согласования дифференциала комплекса с фильтрацией нарушается.
