![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПусть V -- кольцо дискретного нормирования с полем частных K и полем вычетов k, и пусть m = lr -- степень простого числа, не равного характеристике k. Рассмотрим вложения схем j: Spec K → Spec V и i: Spec k → Spec V. Наша цель -- описать в терминах комплексов фильтрованных модулей над группами Галуа функтор i*Rj*, действующий из производной категории мотивов Тейта над K в производную категорию мотивов Тейта над k (с коэффициентами в Z/m).
Как соотносятся группы Галуа GK и Gk? Во-первых, в GK есть замкнутая подгруппа GL, изоморфная группе Галуа поля частных L гензелизации W локального кольца V. Во-вторых, группа Gk является факторгруппой группы GL по подгруппе инерции I. Группа инерции является произведением своих силовских подгрупп, из которых все, кроме p-подгруппы (где p -- характеристика k, если она конечна) суть бесконечные циклические про-q-группы, а точнее, проективные пределы групп корней из единицы Zq(1).
Пусть нам дан фильтрованный GK-модуль (М,F) над Z/m c циклотомическими присоединенными факторами. Ограничим действие GK до действия GL и возьмем инварианты относительно произведения силовских q-подгрупп группы инерции по всем q, не равным l. Ключевой последний шаг состоит в том, чтобы построить производный функтор инвариантов относительно Zl(1).
Выберем образующую x группы Zl(1); это определит нам, в частности, образующую x mod m группы μm. Рассмотрим отображение (x-1)/(x mod m): M → M ⊗ μm⊗−1. Поскольку x действует тривиально на присоединенных факторах M по фильтрации F, описанное отображение сдвигает фильтрацию, т.е. определяет морфизм фильтрованных модулей M → M(−1).
При замене образующей x на xn, этот морфизм умножается на (1 + x + … + xn-1)/n. Заметим, что порядок x как оператора на M является степенью l (поскольку x унипотентен). Пользуясь этим, нетрудно проверить, что интересующее нас выражение, как функция со значениями в унипотентных (по отношению к фильтрации F) операторах на M, продолжается по непрерывности с множества натуральных чисел n, взаимно-простых с l, на Zl*. Таким образом, построенный двучленный комплекс M → M(−1) определен однозначно с точностью до однозначно определенного изоморфизма (задаваемого действием нашего выражения на правом члене).
Окончание следует.
6.01.11 - Update. Вадик указал на ошибку: описанное отображение (x-1)/(x mod m) не является морфизмом GL-модулей, кроме как в случае, когда k содержит все корни из 1 степеней, являющихся степенями l.
Как соотносятся группы Галуа GK и Gk? Во-первых, в GK есть замкнутая подгруппа GL, изоморфная группе Галуа поля частных L гензелизации W локального кольца V. Во-вторых, группа Gk является факторгруппой группы GL по подгруппе инерции I. Группа инерции является произведением своих силовских подгрупп, из которых все, кроме p-подгруппы (где p -- характеристика k, если она конечна) суть бесконечные циклические про-q-группы, а точнее, проективные пределы групп корней из единицы Zq(1).
Пусть нам дан фильтрованный GK-модуль (М,F) над Z/m c циклотомическими присоединенными факторами. Ограничим действие GK до действия GL и возьмем инварианты относительно произведения силовских q-подгрупп группы инерции по всем q, не равным l. Ключевой последний шаг состоит в том, чтобы построить производный функтор инвариантов относительно Zl(1).
Выберем образующую x группы Zl(1); это определит нам, в частности, образующую x mod m группы μm. Рассмотрим отображение (x-1)/(x mod m): M → M ⊗ μm⊗−1. Поскольку x действует тривиально на присоединенных факторах M по фильтрации F, описанное отображение сдвигает фильтрацию, т.е. определяет морфизм фильтрованных модулей M → M(−1).
При замене образующей x на xn, этот морфизм умножается на (1 + x + … + xn-1)/n. Заметим, что порядок x как оператора на M является степенью l (поскольку x унипотентен). Пользуясь этим, нетрудно проверить, что интересующее нас выражение, как функция со значениями в унипотентных (по отношению к фильтрации F) операторах на M, продолжается по непрерывности с множества натуральных чисел n, взаимно-простых с l, на Zl*. Таким образом, построенный двучленный комплекс M → M(−1) определен однозначно с точностью до однозначно определенного изоморфизма (задаваемого действием нашего выражения на правом члене).
Окончание следует.
6.01.11 - Update. Вадик указал на ошибку: описанное отображение (x-1)/(x mod m) не является морфизмом GL-модулей, кроме как в случае, когда k содержит все корни из 1 степеней, являющихся степенями l.
