![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicРазвитие этого -- http://posic.livejournal.com/436839.html
I. Что доказывать? Пусть X -- гладкое многообразие над полем F характеристики, не равной l (или общая точка такового). Рассмотрим точную категорию фильтрованных этальных пучков Z/l-модулей над X, таких что i-й присоединенный фактор есть тензорное произведение пучка, поднятого с [конструктивного пучка Z/l-модулей в -- 02.11.10] топологии Зарисского X, и i-й тензорной степени l-циклотомического этального пучка.
Рассмотрим группы Ext между Z/l и Z/l(i) в этой точной категории. Из них есть отображение в этальные когомологии X с коэффициентами в i-й тензорной степени циклотомического пучка. Предположим, что для всех спектров полей вычетов [лучше не полей вычетов, а просто локальных колец -- 2.11.10] схемных точек X это отображение является изоморфизмом в когомологических степенях, не превосходящих i. (Когда поле содержит корни l-й степени из 1, это гипотеза кошулевости когомологий Галуа/милноровской К-теории по модулю l.)
Утверждается, что в этом случае группы Ext между Z/l и Z/l(i) в точной категории, соответствующей X, суть группы мотивных когомологий X с конечными коэффициентами, посчитанные по Бейлинсону-Лихтенбауму (т.е., когомологии Зарисского X с коэффициентами в подходящих канонических обрезаниях производных прямых образов циклотомических пучков из этальной топологии).
II. Как это делать? Вот набросок плана.
1. Построить "разумный" комплекс, когомологии которого суть Ext между Z/l и Z/l(i) в точной категории, соответствующей X.
- Например, можно применить конструкцию Дринфельда локализации DG-категории к категории конечных комплексов в интересующей нас точной категории. [31.10.10]
2. Такой комплекс, должен быть, в частности, контравариантно функториален по открытым вложениям многообразий X, т.е. представлять собой комплекс предпучков на X в топологии Зарисского.
3. Убедиться, что гиперкогомологии пучковизации S этого комплекса предпучков в топологии Зарисского вычисляют тот же самый Ext. Это должно быть связано с неким свойством локальности интересующих нас Ext-ов в топологии Зарисского.
- Можно попробовать доказать, что гиперкогомологии пучковизации комплекса предпучков совпадают с когомологиями его глобальных сечений при условии, что комплекс предпучков обладает свойством Майера-Вьеториса по отношению к открытым покрытиям (ну, или его вариантом для покрытий больше, чем двумя, открытыми множествами). Свойство Майера-Вьеториса для комплексов состоит в том, что тотальный комплекс бикомплекса Майера-Вьеториса с тремя строками ацикличен. [31.10.10]
- Чтобы проверить последнее свойство нужно, грубо-приблизительно, построить последовательность МВ для интересующих нас групп Ext. Может быть, для этого можно воспользоваться точностью функторов продолжения нулем для этальных пучков и их коммутацией с обратным образом с сайта Зарисского (если таковые имеют место). Можно написать короткую точную последовательность МВ для объединения двух открытых подмногообразий, а потом использовать предполагаемый факт, что два сопряженных точных функтора между точными категориями сопряжены также для Ext вместо Hom (т.е., индуцированные функторы на ограниченных производных категориях сопряжены). [31.10.10]
4. Реализовать отображение из Ext в точной категории в этальные когомологии, как индуцированное морфизмом из построенного выше комплекса пучков S в прямой образ циклотомического пучка из этальной топологии.
- Ясно, что из комплекса, считающего Ext в точной категории фильтрованных этальных пучков с условием на присоединенные факторы, есть морфизм в аналогично построенный комплекс, считающий Ext в абелевой категории всех (конструктивных) этальных пучков. Надо только отождествить пучковизацию комплекса предпучков, составленного из таких комплексов, с производным прямым образом из этальной топологии. Может быть, для этого достаточно рассмотреть эту пучковизацию как функтор от комплекса пучков в этальной топологии, а потом доказать сопряженность с обратным образом, для чего, может быть, достаточно ограничиться обратными образами продолжений нулем с открытых подмногообразий. [02.11.10]
5. Из того, что для спектра поля [лучше -- локального кольца -- 02.11.10] интересующий нас Ext сосредоточен в когомологических градуировках, не превосходящих i, вывести, что пучки когомологий комплекса пучков S сосредоточены в когомологических градуировках, не превосходящих i.
6. Отсюда заключить, что морфизм комплекса пучков S в производный прямой образ циклотомического пучка из этальной топологии факторизуется (с точностью до квазиизоморфизма) через подходящее каноническое обрезание последнего.
7. Пользуясь предположением о группах Ext в точных категориях, соответствующих спектрам полей вычетов [лучше -- локальных колец -- 02.11.10] схемных точек X, доказать, что морфизм из комплекса пучков S в каноническое обрезание прямого образа циклотомического пучка является квазиизоморфизмом в слоях над всеми точками схемы X.
- Здесь важны два момента. Во-первых, точная категория фильтрованных модулей, связанная с локальным кольцом точки схемы, является прямым пределом аналогичных категорий для открытых подмножеств, содержащих эту точку. Это выводится из того, что таким прямым пределом является абелева категория конструктивных этальных/Зарисских пучков, и т.п. Отсюда заключается, что комплексы слоев комплекса пучков S считают Ext в точной категории фильтрованных модулей, связанной со спектром локального кольца. [02.11.10]
- Во-вторых, важно, что вместо произвольных конструктивных пучков Зарисского на спектре локального кольца можно ограничиться постоянными пучками. По этому поводу, см. этот постинг. [02.11.10]
8. Заключить, что этот морфизм комплексов пучков индуцирует изоморфизм гиперкогомологий.
I. Что доказывать? Пусть X -- гладкое многообразие над полем F характеристики, не равной l (или общая точка такового). Рассмотрим точную категорию фильтрованных этальных пучков Z/l-модулей над X, таких что i-й присоединенный фактор есть тензорное произведение пучка, поднятого с [конструктивного пучка Z/l-модулей в -- 02.11.10] топологии Зарисского X, и i-й тензорной степени l-циклотомического этального пучка.
Рассмотрим группы Ext между Z/l и Z/l(i) в этой точной категории. Из них есть отображение в этальные когомологии X с коэффициентами в i-й тензорной степени циклотомического пучка. Предположим, что для всех спектров полей вычетов [лучше не полей вычетов, а просто локальных колец -- 2.11.10] схемных точек X это отображение является изоморфизмом в когомологических степенях, не превосходящих i. (Когда поле содержит корни l-й степени из 1, это гипотеза кошулевости когомологий Галуа/милноровской К-теории по модулю l.)
Утверждается, что в этом случае группы Ext между Z/l и Z/l(i) в точной категории, соответствующей X, суть группы мотивных когомологий X с конечными коэффициентами, посчитанные по Бейлинсону-Лихтенбауму (т.е., когомологии Зарисского X с коэффициентами в подходящих канонических обрезаниях производных прямых образов циклотомических пучков из этальной топологии).
II. Как это делать? Вот набросок плана.
1. Построить "разумный" комплекс, когомологии которого суть Ext между Z/l и Z/l(i) в точной категории, соответствующей X.
- Например, можно применить конструкцию Дринфельда локализации DG-категории к категории конечных комплексов в интересующей нас точной категории. [31.10.10]
2. Такой комплекс, должен быть, в частности, контравариантно функториален по открытым вложениям многообразий X, т.е. представлять собой комплекс предпучков на X в топологии Зарисского.
3. Убедиться, что гиперкогомологии пучковизации S этого комплекса предпучков в топологии Зарисского вычисляют тот же самый Ext. Это должно быть связано с неким свойством локальности интересующих нас Ext-ов в топологии Зарисского.
- Можно попробовать доказать, что гиперкогомологии пучковизации комплекса предпучков совпадают с когомологиями его глобальных сечений при условии, что комплекс предпучков обладает свойством Майера-Вьеториса по отношению к открытым покрытиям (ну, или его вариантом для покрытий больше, чем двумя, открытыми множествами). Свойство Майера-Вьеториса для комплексов состоит в том, что тотальный комплекс бикомплекса Майера-Вьеториса с тремя строками ацикличен. [31.10.10]
- Чтобы проверить последнее свойство нужно, грубо-приблизительно, построить последовательность МВ для интересующих нас групп Ext. Может быть, для этого можно воспользоваться точностью функторов продолжения нулем для этальных пучков и их коммутацией с обратным образом с сайта Зарисского (если таковые имеют место). Можно написать короткую точную последовательность МВ для объединения двух открытых подмногообразий, а потом использовать предполагаемый факт, что два сопряженных точных функтора между точными категориями сопряжены также для Ext вместо Hom (т.е., индуцированные функторы на ограниченных производных категориях сопряжены). [31.10.10]
4. Реализовать отображение из Ext в точной категории в этальные когомологии, как индуцированное морфизмом из построенного выше комплекса пучков S в прямой образ циклотомического пучка из этальной топологии.
- Ясно, что из комплекса, считающего Ext в точной категории фильтрованных этальных пучков с условием на присоединенные факторы, есть морфизм в аналогично построенный комплекс, считающий Ext в абелевой категории всех (конструктивных) этальных пучков. Надо только отождествить пучковизацию комплекса предпучков, составленного из таких комплексов, с производным прямым образом из этальной топологии. Может быть, для этого достаточно рассмотреть эту пучковизацию как функтор от комплекса пучков в этальной топологии, а потом доказать сопряженность с обратным образом, для чего, может быть, достаточно ограничиться обратными образами продолжений нулем с открытых подмногообразий. [02.11.10]
5. Из того, что для спектра поля [лучше -- локального кольца -- 02.11.10] интересующий нас Ext сосредоточен в когомологических градуировках, не превосходящих i, вывести, что пучки когомологий комплекса пучков S сосредоточены в когомологических градуировках, не превосходящих i.
6. Отсюда заключить, что морфизм комплекса пучков S в производный прямой образ циклотомического пучка из этальной топологии факторизуется (с точностью до квазиизоморфизма) через подходящее каноническое обрезание последнего.
7. Пользуясь предположением о группах Ext в точных категориях, соответствующих спектрам полей вычетов [лучше -- локальных колец -- 02.11.10] схемных точек X, доказать, что морфизм из комплекса пучков S в каноническое обрезание прямого образа циклотомического пучка является квазиизоморфизмом в слоях над всеми точками схемы X.
- Здесь важны два момента. Во-первых, точная категория фильтрованных модулей, связанная с локальным кольцом точки схемы, является прямым пределом аналогичных категорий для открытых подмножеств, содержащих эту точку. Это выводится из того, что таким прямым пределом является абелева категория конструктивных этальных/Зарисских пучков, и т.п. Отсюда заключается, что комплексы слоев комплекса пучков S считают Ext в точной категории фильтрованных модулей, связанной со спектром локального кольца. [02.11.10]
- Во-вторых, важно, что вместо произвольных конструктивных пучков Зарисского на спектре локального кольца можно ограничиться постоянными пучками. По этому поводу, см. этот постинг. [02.11.10]
8. Заключить, что этот морфизм комплексов пучков индуцирует изоморфизм гиперкогомологий.
