Кошулевость алгебры замкнутых форм
Jul. 24th, 2010 07:33 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicРазвитие http://posic.livejournal.com/445407.html
Пусть (Ω,d) -- неотрицательно градуированная DG-алгебра с повышающим дифференциалом над полем k, (A,0) -- другая такая же алгебра, но с нулевым дифференциалом, (A,0) → (Ω,d) -- морфизм DG-алгебр. Предположим, что градуированная алгебра A кошулева (в частности, A0=k). Предположим далее, что алгебра когомологий H=H(Ω,d) является кошулевым левым A-модулем. Тогда следующие два условия эквивалентны:
а) алгебра Ω является кошулевым левым A-модулем; и
б) положительно градуированная часть Z≥1 ядра Z дифференциала d на Ω является кошулевым левым A-модулем в градуировке, сдвинутой на 1.
Если эти условия выполнены, то алгебра Z' = k ⊕ Z1 ⊕ Z2 ⊕ ... ⊂ Z кошулева.
Доказательство: рассмотреть две спектральные последовательности гипергомологий для комплекса ...→ Ω → Ω → Z и производного функтора TorA(-,k).
25.07.10 19:00 - Update. Я ошибся -- только из а) следует б).
Пусть (Ω,d) -- неотрицательно градуированная DG-алгебра с повышающим дифференциалом над полем k, (A,0) -- другая такая же алгебра, но с нулевым дифференциалом, (A,0) → (Ω,d) -- морфизм DG-алгебр. Предположим, что градуированная алгебра A кошулева (в частности, A0=k). Предположим далее, что алгебра когомологий H=H(Ω,d) является кошулевым левым A-модулем. Тогда следующие два условия эквивалентны:
а) алгебра Ω является кошулевым левым A-модулем; и
б) положительно градуированная часть Z≥1 ядра Z дифференциала d на Ω является кошулевым левым A-модулем в градуировке, сдвинутой на 1.
Если эти условия выполнены, то алгебра Z' = k ⊕ Z1 ⊕ Z2 ⊕ ... ⊂ Z кошулева.
Доказательство: рассмотреть две спектральные последовательности гипергомологий для комплекса ...→ Ω → Ω → Z и производного функтора TorA(-,k).
25.07.10 19:00 - Update. Я ошибся -- только из а) следует б).
