CDG-категория Q-модулей

[posic]

Как известно, одним из синонимов аббревиатуры CDG (в смысле curved differential graded) является буква Q, которую употребляет в этом контексте Альберт Соломонович Ш. Но синонимия здесь неполная: если "Q-алгебра" определяется у А.С. точно так же, как моя CDG-алгебра, то "Q-модулем" он называет более широкий круг объектов, чем мои CDG-модули. А именно, Q-модуль, это модуль с дифференциалом, удовлетворяющим правилу Лейбница со знаками относительно дифференциала в алгебре. Никакого условия на квадрат дифференциала на модуле не накладывается. Оператор d² - h (где h -- элемент кривизны в алгебре) на Q-модуле является эндоморфизмом градуированного модуля, коммутирующим с дифференциалом; этот эндоморфизм может быть ненулевым. (Если этот эндоморфизм равен нулю, Q-модуль называется CDG-модулем.)

Теперь я понял, зачем это нужно! CDG-модули образуют DG-категорию, а Q-модули образуют CDG-категорию. В набор данных CDG-категории, наряду с "прекомплексом" (градуированной абелевой группой с дифференциалом с возможно ненулевым квадратом) морфизмов между каждыми двумя объектами, входит эндоморфизм кривизны, заданный для каждого объекта (и являющийся элементом степени 2 в прекомплексе эндоморфизмов, аннулируемым дифференциалом). Вот эндоморфизм d² - h и является эндоморфизмом кривизны Q-модуля как объекта CDG-категории.

Например, всякое CDG-кольцо является Q-модулем над собой, что очень удобно. (Конечно, оно также является CDG-бимодулем над собой, но не CDG-модулем.)