Группы Галуа и крашеные косы
Jul. 6th, 2010 05:40 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПытаясь зачем-то (для порядку, очевидно) вспомнить п.1 этого -- http://posic.livejournal.com/106904.html
Кажется, аргумент там был вот какого рода. Пусть K -- произвольное поле, содержащее Q. Рассмотрим кольцо многочленов от бесконечного числа переменных Q[xa], где a пробегают все элементы K. Обратим в этом кольце все элементы xa - xb, где a≠b. Может быть, нужно еще добавить другой бесконечный набор переменных ta, где a опять пробегают элементы K (но тут уже ничего не обращать). Обозначим получившееся кольцо через R. Имеется очевидный гомоморфизм колец R → K, переводящий xa и ta в a. Соответственно, имеется морфизм спектров в обратную сторону Spec K → Spec R. Почему-то мне казалось, что во всякое этальное накрытие Spec K отображается накрытие Spec K, индуцированное некоторым этальным накрытием Spec R.
Но почему? Загадка.
19.12.10 - Update. Я думаю, аргумент имелся в виду примерно такого рода. Пусть имеется конечное расширение Галуа L/K. Выберем в нем нормальный базис li, выберем любой набор попарно различных чисел ki из K, и напишем унитальный многочлен от одной переменной, корнями которого являются суммы по всем i произведений kilσ(i), где σ пробегает все перестановки индексов i ∈ 1, ..., [L:K]. Этот многочлен не имеет кратных корней. Коэффициенты его можно рассматривать как многочлены от ki и элементарных симметрических многочленов от li. Дальше предлагалось поднять ki до xki, а элементарные симметрические многочлены от li до переменных ta, соответствующих значениям этих многочленов как элементов из K.
Имелось в виду, что полученный многочлен над кольцом R определяет этальное накрытие его спектра. В общем случае это явно неверно (процедура подъема значений элементарных симметрических многочленов от li до независимых трансцендентных переменных слишком грубая и никуда не годится).
Кажется, аргумент там был вот какого рода. Пусть K -- произвольное поле, содержащее Q. Рассмотрим кольцо многочленов от бесконечного числа переменных Q[xa], где a пробегают все элементы K. Обратим в этом кольце все элементы xa - xb, где a≠b. Может быть, нужно еще добавить другой бесконечный набор переменных ta, где a опять пробегают элементы K (но тут уже ничего не обращать). Обозначим получившееся кольцо через R. Имеется очевидный гомоморфизм колец R → K, переводящий xa и ta в a. Соответственно, имеется морфизм спектров в обратную сторону Spec K → Spec R. Почему-то мне казалось, что во всякое этальное накрытие Spec K отображается накрытие Spec K, индуцированное некоторым этальным накрытием Spec R.
Но почему? Загадка.
19.12.10 - Update. Я думаю, аргумент имелся в виду примерно такого рода. Пусть имеется конечное расширение Галуа L/K. Выберем в нем нормальный базис li, выберем любой набор попарно различных чисел ki из K, и напишем унитальный многочлен от одной переменной, корнями которого являются суммы по всем i произведений kilσ(i), где σ пробегает все перестановки индексов i ∈ 1, ..., [L:K]. Этот многочлен не имеет кратных корней. Коэффициенты его можно рассматривать как многочлены от ki и элементарных симметрических многочленов от li. Дальше предлагалось поднять ki до xki, а элементарные симметрические многочлены от li до переменных ta, соответствующих значениям этих многочленов как элементов из K.
Имелось в виду, что полученный многочлен над кольцом R определяет этальное накрытие его спектра. В общем случае это явно неверно (процедура подъема значений элементарных симметрических многочленов от li до независимых трансцендентных переменных слишком грубая и никуда не годится).
