Ацикличные комплексы в точных категориях
Jun. 3rd, 2010 02:05 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicГлавную трудность при работе с точными категориями представляет неразрешимая буриданова проблема: что делать с условиями карубиевости (идемпотентной полноты)? Эти условия не имеют никакого отношения к точной структуре, но существенно упрощают работу с ней.
Если не предполагать этих условий, возникают интересные спецэффекты: например, категория векторных пространств любой размерности, кроме 1 и 2, точна. Ясно, что строить гомологическую алгебру в такой категории не очень удобно. Но если предполагать хотя бы слабую идемпотентную полноту, категория конечно-порожденных свободных модулей над кольцом исключается из рассмотрения. Это тоже не всегда удобно.
Если пытаться определить, что такое ацикличный комплекс в точной категории, то проблема идемпотентной полноты запутывает ситуацию настолько, что процесс распутывания затянулся в литературе на десятилетия.
Есть очень простое, естественное определение: назовем комплекс (Ci) в точной категории точным, если он составлен из точных троек (Zi→Ci→Zi+1). Остается разобраться со свойствами этого определения. Некоторыми хорошими свойствами оно обладает: например, у точных комплексов есть обрезания по канонической фильтрации. Далее, конус замкнутого морфизма точных комплексов точен.
Последнее утверждение взято из работы Амнона Н. 1990 года, претендовавшей на полное исследование вопроса. В этой работе все рассуждения верны, проблема только в интерпретации этих рассуждений. Например, там утверждается, что подкатегория точных комплексов является толстой в неограниченной гомотопической категории тогда и только тогда, когда исходная точная категория идемпотентно полна.
Так это или не так, целиком зависит от тонкостей определений, поскольку на самом деле ситуация следующая. Назовем комплекс в точной категории ацикличным, если он гомотопически эквивалентен точному. Тогда ацикличные комплексы образуют толстую подкатегорию в (ограниченной или неограниченной) гомотопической категории комплексов над любой точной категорией. Кажется, такого утверждения в литературе нет до сих пор.
Если не предполагать этих условий, возникают интересные спецэффекты: например, категория векторных пространств любой размерности, кроме 1 и 2, точна. Ясно, что строить гомологическую алгебру в такой категории не очень удобно. Но если предполагать хотя бы слабую идемпотентную полноту, категория конечно-порожденных свободных модулей над кольцом исключается из рассмотрения. Это тоже не всегда удобно.
Если пытаться определить, что такое ацикличный комплекс в точной категории, то проблема идемпотентной полноты запутывает ситуацию настолько, что процесс распутывания затянулся в литературе на десятилетия.
Есть очень простое, естественное определение: назовем комплекс (Ci) в точной категории точным, если он составлен из точных троек (Zi→Ci→Zi+1). Остается разобраться со свойствами этого определения. Некоторыми хорошими свойствами оно обладает: например, у точных комплексов есть обрезания по канонической фильтрации. Далее, конус замкнутого морфизма точных комплексов точен.
Последнее утверждение взято из работы Амнона Н. 1990 года, претендовавшей на полное исследование вопроса. В этой работе все рассуждения верны, проблема только в интерпретации этих рассуждений. Например, там утверждается, что подкатегория точных комплексов является толстой в неограниченной гомотопической категории тогда и только тогда, когда исходная точная категория идемпотентно полна.
Так это или не так, целиком зависит от тонкостей определений, поскольку на самом деле ситуация следующая. Назовем комплекс в точной категории ацикличным, если он гомотопически эквивалентен точному. Тогда ацикличные комплексы образуют толстую подкатегорию в (ограниченной или неограниченной) гомотопической категории комплексов над любой точной категорией. Кажется, такого утверждения в литературе нет до сих пор.
