![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicКак известно, основная аксиома абелевой категории, принадлежащая Гротендику, утверждает, что всякий морфизм разлагается в композицию коядра и ядра, или, эквивалентным (в предположении существования всех ядер и коядер) образом, канонический морфизм из кообраза в образ любого морфизма является изоморфизмом.
У этой аксиомы есть более наглядная ослабленная версия, утверждающая, что всякий биективный морфизм (т.е., морфизм с нулевыми ядром и коядром) является изоморфизмом. В самом деле, в большинстве естественных примеров, когда аддитивная категория с ядрами и коядрами не является абелевой, нарушается эта ослабленная аксиома, в чем обычно легко убедиться. Таковы случаи категорий фильтрованных векторных пространств, топологических векторных пространств, и т.п.
В учебнике Гельфанда-Манина "Методы гомологической алгебры" ошибочно утверждается, что эта ослабленная аксиома эквивалентна полной форме аксиомы Гротендика. Более того, там утверждается, что естественный морфизм из кообраза в образ любого морфизма в аддитивной категории всегда биективен. Эта ошибка сохранилась даже во втором английском издании учебника (2003 года). См. раздел II.5.11, абзац под буквой б) или b. или b). Возможно, если бы нижеследующий контрпример был обнародован тогда же, когда он был придуман (в 1995 году), ошибку бы уже исправили...
Контрпример необычайно прост и прямолинеен. Пусть B -- абелева категория диаграмм векторных простраств V(1) → V(2) → V(3) (композиция может быть ненулевой). В этой абелевой категории шесть неразложимых объектов; обозначим их через E1, E2, E3, E12, E23, E123 (смысл этих обозначений очевиден). Пусть A ⊂ B -- полная аддитивная подкатегория, объекты которой суть прямые суммы всех неразложимых объектов B, кроме E12. Пусть g -- ненулевой морфизм E3 → E123. Тогда CokerBg = E12, CokerAg = E1, и ImAg = E23. В то же время KerAg = KerBg = 0 и CoimAg = CoimBg = E3. Таким образом, морфизм Coim g → Im g есть морфизм E3 → E23; его коядро как в B, так и в A равно Е2 и не равно нулю.
Нетрудно убедиться, что все морфизмы в A имеют ядра и коядра, причем ядра совпадают с ядрами, посчитанными в B, а чтобы построить коядро какого-то морфизма в A, нужно применить к его коядру в B функтор, факторизующий V(2) по пересечению ядра и образа двух проходящих через него морфизмов, а V(1) и V(3) оставляющий неизменными. В частности, морфизм является эпиморфизмом или мономорфизмом в A тогда и только тогда, когда он является таковым в B, так что все биекции в A -- изоморфизмы.
У этой аксиомы есть более наглядная ослабленная версия, утверждающая, что всякий биективный морфизм (т.е., морфизм с нулевыми ядром и коядром) является изоморфизмом. В самом деле, в большинстве естественных примеров, когда аддитивная категория с ядрами и коядрами не является абелевой, нарушается эта ослабленная аксиома, в чем обычно легко убедиться. Таковы случаи категорий фильтрованных векторных пространств, топологических векторных пространств, и т.п.
В учебнике Гельфанда-Манина "Методы гомологической алгебры" ошибочно утверждается, что эта ослабленная аксиома эквивалентна полной форме аксиомы Гротендика. Более того, там утверждается, что естественный морфизм из кообраза в образ любого морфизма в аддитивной категории всегда биективен. Эта ошибка сохранилась даже во втором английском издании учебника (2003 года). См. раздел II.5.11, абзац под буквой б) или b. или b). Возможно, если бы нижеследующий контрпример был обнародован тогда же, когда он был придуман (в 1995 году), ошибку бы уже исправили...
Контрпример необычайно прост и прямолинеен. Пусть B -- абелева категория диаграмм векторных простраств V(1) → V(2) → V(3) (композиция может быть ненулевой). В этой абелевой категории шесть неразложимых объектов; обозначим их через E1, E2, E3, E12, E23, E123 (смысл этих обозначений очевиден). Пусть A ⊂ B -- полная аддитивная подкатегория, объекты которой суть прямые суммы всех неразложимых объектов B, кроме E12. Пусть g -- ненулевой морфизм E3 → E123. Тогда CokerBg = E12, CokerAg = E1, и ImAg = E23. В то же время KerAg = KerBg = 0 и CoimAg = CoimBg = E3. Таким образом, морфизм Coim g → Im g есть морфизм E3 → E23; его коядро как в B, так и в A равно Е2 и не равно нулю.
Нетрудно убедиться, что все морфизмы в A имеют ядра и коядра, причем ядра совпадают с ядрами, посчитанными в B, а чтобы построить коядро какого-то морфизма в A, нужно применить к его коядру в B функтор, факторизующий V(2) по пересечению ядра и образа двух проходящих через него морфизмов, а V(1) и V(3) оставляющий неизменными. В частности, морфизм является эпиморфизмом или мономорфизмом в A тогда и только тогда, когда он является таковым в B, так что все биекции в A -- изоморфизмы.
