Fil'trovannye i graduirovannye kategorii

[posic]

I. Triangulirovannyj funktor realizacii i kategoriya fil'trovannyh
ob#ektov so strukturoj na prisoedinennyh faktorah

Tochnaya podkategoriya triangulirovannoj kategorii -- eto polnaya
podkategoriya, zamknutaya otnositel'no rasshirenij, mezhdu
ob#ektami kotoroj net Hom(X,Y[-1]). Na takoj podkategorii est'
inducirovannaya struktura tochnoj kategorii, v kotoroj tochny te
trojki, kotorye prodolzhayutsya do vydelennyh treugol'nikov.

Pust' D -- triangulirovannaya kategoriya i C_i, gde i probegaet
celye chisla -- ee tochnye podkategorii, takie chto Hom_D(X,Y[-1])
= 0 dlya X\in C_i, Y\in C_j. Predpolozhim krome togo, chto
Hom_D(X,Y[n]) = 0 dlya X\in C_i, Y\in C_j, i > j, n = 0,1.
Dalee, pust' P: D \to D(E) -- triangulirovannyj funktor iz D
v proizvodnuyu kategoriyu tochnoj kategorii E, perevodyaschij C_i
vnutr' E. Predpolozhim, chto Hom_D(X,Y[n]) isomorfno
otobrazhaetsya v Ext_E^n(P(X),P(Y)) dlya vseh X\in C_i, Y\in C_j,
i < j, n = 0,1. Nakonec, dopustim, chto Hom_D(X,Y[2]) in#ektivno
otobrazhaetsya v Ext_E^2(P(X),P(Y)) dlya vseh X\in C_i, Y\in C_j,
i+2 <= j. Rassmotrim tochnuyu podkategoriyu F v D, sostoyaschuyu
iz vseh ob#ektov, kotorye mozhno poluchit' iterirovannymi
rasshireniyami iz ob#ektov C_i. Togda F kak tochnaya kategoriya
ekvivalentna tochnoj kategorii troek (konechno fil'trovannyj
ob#ekt E, ob#ekt s konechnym nositelem po i iz dekartova
proizvedeniya vseh C_i, isomorfizm mezhdu prisoedinennym
graduirovannym ob#ektom k pervomu i obrazom vtorogo pri P).
Zdes' trehchlennaya posledovatel'nost' s nulevoj kompoziciej
v kategorii troek yavlyaetsya korotkoj tochnoj
posledovatel'nost'yu, esli sootvetstvuyuschaya posledovatel'nost'
ob#ektov C_i yavlyaetsya takovoj dlya vseh i.

Naoborot, dlya lyubogo nabora tochnyh kategorij C_i i tochnyh
funktorov iz nih v tochnuyu kategoriyu E rassmotrim tochnuyu
kategoriyu F, sostoyaschuyu iz troek, opisannyh vyshe. Polozhim
D = D^b(F). Togda funktor P: D\to D(E), inducirovannyj
estestvennym funktorom F\to E, udovletvoryaet usloviyam,
perechislennym vyshe.

Dokazhem pervoe utverzhdenie. Dlya lyuboj tochnoj podkategorii
F v triangulirovannoj kategorii D imeyutsya estestvennye
otobrazheniya Ext_F^n(X,Y)\to Hom_D(X,Y[n]) dlya vseh X,Y \in F,
yavlyayuschiesya izomorfizmami dlya n = 0,1 i monomorfizmami
dlya n = 2. Takim obrazom, v interesuyuschem nas sluchae
Ext_F^n(X,Y) = 0 dlya X\in C_i, Y\in C_j, i > j, n = 0,1.
Pri etom F porozhdaetsya C_i s pomosch'yu rasshirenij.

Pol'zuyas' "*-tehnikoj" (associativnost'yu operacii mnozhestva
srednih chlenov rasshirenij), legko pokazat', pol'zuyas'
usloviem na Ext^1 vyshe, chto na lyubom ob#ekte F imeetsya
ubyvayuschaya fil'traciya s prisoedinennymi faktorami iz C_i.
Iz usloviya na Ext^0 sleduet, chto eta fil'traciya estestvenna
i sohranyaetsya vsemi morfizmami v F. Otsyuda uzhe sleduet,
chto Ext_F^n(X,Y) = 0 dlya X\in C_i, Y\in C_j, i > j i lyubogo n.
Otsyuda zhe vidno, chto trojka s nulevoj kompoziciej v F tochna
togda i tol'ko togda, kogda tochna ee trojka prisoedinennyh
faktorov v dekartovom proizvedenii C_i.

Obraz kanonicheskoj fil'tracii na ob#ekte iz F pri funktore P
opredelyaet fil'trovannyj ob#ekt v E, chto dostavlyaet iskomyj
funktor iz F v kategoriyu troek. Proverka togo, chto etot
funktor yavlyaetsya ekvivalentnost'yu tochnyh kategorij,
osnovyvaetsya na sleduyuschej lemme.

Lemma: pust' \gamma: G\to H -- tochnyj funktor mezhdu tochnymi
kategoriyami, C\sub G -- klass ob#ektov v G, takoj chto vsyakij
ob#ekt G poluchaetsya iterirovannymi rasshireniyami iz ob#ektov
C i vsyakij ob#ekt H poluchaetsya iterirovannymi rasshireniyami
iz ob#ektov \gamma(C). Togda esli funktor \gamma induciruet
biekcii grupp Hom, Ext^1 i in#ekcii grupp Ext^2 mezhdu ob#ektami
iz C, to \gamma -- ekvivalentnost' tochnyh kategorij.

Ostalos' proverit' usloviya Lemmy v nashem sluchae. Oboznachim
vremenno tochnuyu kategoriyu troek cherez H. Esli X\in C_i,
Y\in C_j i i > j, to Ext_F^n(X,Y) = 0 = Ext_H^n(X,Y) dlya vseh n.
Esli X, Y iz C_i, to Ext_F^n(X,Y) = Ext_{C_i}^n(X,Y) =
Ext_H^n(X,Y) dlya vseh n. Ostaetsya sluchaj X\in C_i, Y\in C_j
i i < j. V etoj sluchae pri n = 0,1 imeem Ext^n_F(X,Y) =
(po obschemu svojstvu tochnyh podkategorij triangulirovannyh
kategorij) = Hom_D(X,Y[1]) = (pro usloviyam utverzhdeniya)
= Ext^n_E(P(X),P(Y)) = (kak netrudno proverit' neposredstvenno)
= Ext^n_H(X,Y). V samom dele, Hom iz X v Y v H raven Hom v E,
poskol'ku lyuboj morfizm mezhdu P(X) i P(Y) v E sovmestim
s fil'traciyami na P(X) i P(Y), a nositeli po i prisoedinennyh
graduirovannyh ob#ektov k X i Y ne peresekayutsya. Lyuboe
rasshirenie P(X) s pomosch'yu P(Y) v E opredelyaet ob#ekt H,
yavlyayuschijsya rasshireniem X s pomosch'yu Y v H.

Iz dokazannogo sleduet, chto polnye podkategorii, sostoyaschie
iz rasshirenij ob#ektov C_i i C_{i+1} v F i H, ekvivalentny
dlya lyubogo i. V samom dele, iz biektivnosti na Ext^0 i
in#ektivnosti na Ext^1 mezhdu obrazuyuschimi ob#ektami
po otnosheniyu k rasshireniyam sleduet, chto funktor vpolne
strogij, a iz biektivnosti na Ext^1 mezhdu ob#ektami C_i i
C_{i+1} sleduet, chto on syur#ektiven na ob#ektah. Funktor
otozhdestvlyaet tochnye struktury, poskol'ku trojka s nulevoj
kompoziciej, sostavlennaya iz kanonicheski fil'trovannyh
ob#ektov, tochna togda i tol'ko togda, kogda tochna trojka
prisoedinennyh faktorov. Poetomu otobrazhenie na Ext^2(X,Y)
yavlyaetsya izomorfizmom pri X\in C_i, Y\in C_{i+1}.

Nakonec, pri i+2 <= j imeem posledovatel'nost' in#ektivnyh
otobrazhenij Ext^2_F(X,Y) \to Hom_D(X,Y[2]) \to
Ext^2_E(P(X),P(Y)), obrazuyuschuyu kommutativnyj kvadrat
s posledovatel'nost'yu Ext^2_F(X,Y) \to \Ext^2_H(X,Y) \to
Ext^2_E(P(X),P(Y)), otkuda srazu sleduet in#ektivnost'
otobrazheniya Ext^2_F(X,Y)\to Ext^2_H(X,Y).

Dokazhem teper' vtoroe utverzhdenie. Poskol'ku ob#ekty F
snabzheny kanonicheskoj fil'traciej, sohranyaemoj vsemi
morfizmami, yasno, chto Ext_F^n(X,Y)=0 dlya X\in C_i,
Y\in C_j, i > j, i lyubogo n. Izomorfizm Ext_F^n(X,Y) =
Ext_E^n(P(X),P(Y)) dlya X\in C_i, Y\in C_j, i < j, i n = 0,1
uzhe dokazan vyshe. Pokazhem, chto otobrazhenie
Ext_F^2(X,Y) \to Ext_E^2(P(X),P(Y)) in#ektivno dlya X\in C_i,
Y\in C_j, i i < j. Pust' klass Ext^2_F(X,Y) yavlyaetsya
proizvedeniem klassov Ext^1_F(X,Z) i Ext^2_F(Z,Y).

Oboznachim cherez F_[i,j] tochnuyu podkategoriyu F, porozhdennuyu
C_k, i <= k <= j, s pomosch'yu rasshirenij. Vsyakij ob#ekt Z
iz F yavlyaetsya rasshireniem ob#ekta Z_{<=k} iz F_(-\infty,k]
s pomosch'yu ob#ekta X_{>=k+1} iz F_[k+1,+\infty) dlya lyubogo k,
prichem takoe predstavlenie v vide rasshireniya edinstvenno
i funktorial'no. Razlozhim ob#ekt Z, opedelennyj vyshe,
v tochnuyu trojku Z_{>=i}\to Z\to Z_{<=i-1}, gde
Z_{>=i} \in F_[i,+\infty) i Z_{<=i-1}\in F_(-\infty;i-1].
Togda Ext^1_F(X,Z_{<=i-1}) = 0, otkuda klass Ext^1_F(X,Z)
prihodit iz klassa Ext^1_F(X,Z_{>=i}), tak chto mozhno schitat'
Z = Z_{>=i}. Analogichno, mozhno schitat' Z = Z_{<=j}, t.e.
Z \in F_[i,j].

Pust' teper' nash klass Ext^2_F(X,Y) annuliruetsya funktorom
P: F\to E. Predstavim klassy Ext^1_F(X,Z) i Ext^2_F(Z,Y)
tochnymi trojkami Z\to V\to X i Y\to U\to Z v F. Togda morfizm
P(U)\to P(V) v E, poluchennyj primeneniem P k morfizmu U\to V,
razlagaetsya v kompoziciyu P(U)\to T\to P(V), tak chto trojki
P(Y)\to T\to P(V) i P(U)\to T\to P(X) tochny. Opredelim
ubyvayuschuyu fil'traciyu na T, polozhiv F^iT = T i F^kT =
F^k P(U) dlya vseh k>i. Eto fil'traciya ob#ekta tochnoj
kategorii s prisoedinennymi faktorami gr_F^i T = gr_F^i P(V),
gr_F^k T = gr_F^k P(Z) dlya i < k < j, i gr_F^j T = gr_F^j P(U).
Eto pozvolyaet podnyat' T do ob#ekta W iz F, tak chto morfizm
U\to V razlozhitsya v kompoziciyu U\to W\to V i trojki
Y\to W\to V i U\to W\to X budut tochny. Takim obrazom,
iskhodnyj klass Ext^2_F(X,Y) raven nulyu.


II. Prisoedinennaya graduirovannaya kategoriya

Pust' F -- tochnaya kategoriya, snabzhennaya posledovatel'nost'yu
polnyh podkategorij C_i, gde i probegaet celye chisla. My budem
predpolagat', chto kazhdaya iz C_i soderzhit obrazy svoih
idempotentnyh endomorfizmov, zamknuta otnositel'no rasshirenij,
i kazhdyj ob#ekt F poluchaetsya iterirovannym rasshireniem ob#ektov
iz raznyh C_i. Krome togo, predpolozhim, chto Hom(X,Y) = 0 =
Ext^1(X,Y) dlya vseh X iz C_i i Y iz C_j, esli i>j. Dalee, pust'
na kategorii F zadan funktor X\mpsto X(1), yavlyayuschijsya
avtoekvivalentnost'yu tochnoj kategorii, takoj chto C_{i+1} =
C_i(1) dlya vseh i. Nakonec, predpolozhim, chto zadano
estestvennoe preobrazovanie X \to X(1), kommutiruyuschee
s funktorom X\mpsto X(1), t.e. takoe, chto estestvennoe
preobrazovanie X(1)\to X(2), poluchennoe primeneniem funktora
X\mpsto X(1) k estestvennomu preobrazovaniyu X \to X(1), sovpadaet
s estestvennym preobrazovaniem X(1)\to X(2), poluchennym
podstanovkoj v estestvennoe preobrazovanie X\to X(1) ob#ekta
X(1) vmesto X. Predpolozhim, chto inducirovannoe otobrazhenie
Hom(X,Y) \to Hom(X,Y(i)) yavlyaetsya izomorfizmom dlya vseh X, Y
iz C_j, gde j celoe i i>=0. Funktor prisoedinennogo faktora
otobrazhaet kategoriyu F v dekartovo proizvedenie vseh C_i.
Potrebuem, chtoby vsyakij morfizm X\to Y, annuliruemyj etim
funktorom, faktorizovalsya kak X\to Y(-1)\to Y (edinstvennost'
takoj faktorizacii sleduet iz predyduschih uslovij).

Primer: pust' E i C -- tochnye kategorii i C\to E -- vpolne strogij
tochnyj funktor (no struktura tochnoj kategorii na C ne obyazana
byt' inducirovannoj so struktury tochnoj kategorii na E).
Rassmotrim kategoriyu troek (konechno fil'trovannyj ob'ekt iz E;
konechno graduirovannyj ob'ekt iz C; izomorfizm prisoedinennogo
faktora k pervomu s obrazom vtorogo). Na etoj kategorii est'
tochnaya struktura, v kotoroj trojka s nulevoj kompoziciej tochna,
esli sootvetstvuyuschaya trojka graduirovannyh ob#ektov iz C tochna.
Oboznachim postroennuyu tochnuyu kategoriyu cherez F, a cherez C_i
-- ee podkategorii, sostoyaschie iz troek, v kotoryh graduirovannyj
ob#ekt iz C ves' sosredotochen v odnoj stepeni. Functor
X\mpsto X(1) sdvigaet fil'traciyu i graduirovku; morfizm X\to X(1)
yavlyaetsya tozhdestvennym otobrazheniem na podlezhaschem ob#ekte
iz E, a na graduirovannom ob#ekte iz C dejstvuet nulem.

Nashej cel'yu budet postroit' po kategorii F s perechislennymi
vyshe svojstvami kategoriyu G so sleduyuschimi svojstvami.

G -- tochnaya kategoriya, snabzhennaya posledovatel'nost'yu polnyh
podkategorij C_i, gde i probegaet celye chisla. Kazhdaya iz C_i
soderzhit obrazy svoih idempotentnyh endomorfizmov, zamknuta
otnositel'no rasshirenij i kazhdyj ob#ekt G poluchaetsya
iterirovannym rasshireniem ob#ektov iz raznyh C_i. Krome togo,
Hom(X,Y) = 0 dlya vseh X iz C_i i Y iz C_j, esli i\ne j, i
Ext^1(X,Y) = 0 dlya vseh X iz C_i i Y iz C_j, esli i>j. Nakonec,
na tochnoj kategorii G zadana avtoekvivalentnost' X\mpsto X(1),
takaya chto C_{i+1} = C_i(1) dlya vseh i.

Svyaz' mezhdu kategoriyami F i G obespechivaet funktor
"prisoedinennogo graduirovannogo faktora" \gr: F\to G so
sleduyuschimi svojstvami. Funktor \gr otobrazhaet kazhduyu iz
podkategorij C_i v F v sootvetstvuyuschuyu podkategoriyu C_i v G,
zadavaya ekvivalentnosti etih tochnyh kategorij. Fuktor gr
kommutiruet s funktorami sdviga X\mpsto X(1). Nakonec, dlya
lyubyh ob#ektov X i Y iz F imeetsya dlinnaya tochnaya
posledovatel'nost' Ext^i_F(X,Y(-1)) \to Ext^i_F(X,Y) \to
Ext^i_G(\gr X, \gr Y) \to Ext^{i+1}_F(X,Y(-1)).

1. Konstrukciya kategorii G

Rassmotrim kategoriyu H, ob#ektami kotoroj yavlyayutsya diagrammy
vida V(-1)\to U(-1)\to V\to U, gde U i V -- ob#ekty F, kompozicii
V(-1)\to U(-1)\to V i U(-1)\to V\to U sut' dejstie morfizma
funktorov X\to X(1) na U(-1) i V(-1), i pri etom posledovatel'nost'
gr V(-1) \to gr U(-1) \to gr V \to gr U tochna v dekartovom
proizvedenii tochnyh kategorij C_i. Imeetsya funktor \Delta,
sopostavlyayuschij diagramme (U,V) ob#ekt \coker(gr V \to gr U) iz
dekartova proizvedeniya kategorij C_i. Pust' J oboznachaet ideal
morfizmov v H, annuliruemyh \Delta, i pust' H/J -- faktorkategoriya.
Pust' S oboznachaet klass morphismov v H/J, kotorye \Delta perevodit
v izomorfizmy. My hotim pokazat', chto klass morphizmov S
v kategorii H/J lokalizuyuschij.

Ochevidno, chto esli dva morfizma iz H/J imeyut odinakovye
kompozicii s kakim-libo morfizmom iz S, to eti dva morfizma
sovpadayut. Pust' (X,Y) \to (K,L) i (U,V) \to (K,L) -- morfizmy
v H, takie chto morfizm \coker(gr V \to gr U) \to
coker(gr L \to gr K) yavyaetsya dopustimym epimorfizmom.
Togda morfizm U\oplus L \to K yavlyaetsya dopustimym epimorfizmom
v F. Rassmotrim dekartovo proizvedenie X\times_K (U\oplus L)
v tochnoj kategorii F. Opredelim otobrazhenie
(X\times_K (U\oplus L))(-1) \to Y\oplus V, kak otobrazhenie,
inducirovannoe otobrazheniyami X(-1) \to Y i U(-1)\to V,
i otobrazhenie Y\oplus V \to X\times_K (U\oplus L) kak otobrazhenie,
inducirovannoe otobrazheniyami Y\to X, V\to U, Y\to L, i V\to L.
Utverzhdaetsya, chto diagramma (X\times_K (U\oplus L), Y\oplus V)
yavlyaetsya ob#ektom kategorii H. Otobrazheniya iz etoj diagrammy
v diagrammy (X,Y) i (U,V) stroyatsya ochevidnym obrazom; oni
dopolnyayut nashu iskhodnuyu paru otobrazhenij diagramm do kvadrata,
kommutativnogo v faktorkategorii H/J. Otobrazhenie
\Delta(X\times_K(U\oplus L), Y\oplus V) \to \Delta(X,Y)
yavlyaetsya dopustimym epimorfizmom s yadrom, izomorfnym yadru
otobrazheniya \Delta(U,V) \to \Delta(K,L). (Drugimi slovami,
\Delta(X\times_K(U\oplus L), Y\oplus V) est' rassloennoe
proizvedenie \Delta(X,Y) i \Delta(U,V) nad \Delta(K,L).)
V chastnosti, esli poslednee otobrazhenie prinadlezhit S, to
i pervoe tozhe.

2. Struktura tochnoj kategorii na G

Budem schitat' trojku morfizmov s nulevoj kompoziciej v kategorii
G = (H/J)[S^{-1}] tochnoj, esli ee obraz pri funktore \Delta
yavlyaetsya tochnoj trojkoj. Pokazhem prezhde vsego, chto lyuboj
morfizm v G, kotoryj funktorom \Delta perevoditsya v dopustimyj
epi/monomorfizm, vklyuchaetsya v tochnuyu trojku v G. Rassmotrim
morfizm v G, kotoryj funktorom \Delta perevoditsya v dopustimyj
epimorfizm; ego mozhno predstavit' morfizmom (U,V) \to (K,L)
v kategorii H. Polozhim (X,Y) = (0,0) i primenim konstrukciyu iz
p.1; poluchim morfizm (0\times_K(U\oplus L), V) \to (U,V),
dopolnyayuschij nash morfizm (U,V)\to (K,L) do tochnoj trojki.
Analogichno, pust' imeetsya tochaya trojka v G; ee mozhno
predstavit' paroj morfizmov (S,T) \to (U,V) \to (K,L) v H
s kompoziciej, prinadlezhaschej J. Lyuboj morfizm v objekt (K,L)
v G mozhno predstavit' morfizmom (X,Y)\to (K,L) v H. Primeniv
tu zhe konstrukciyu, poluchaem diagrammu (X\times_K (U\oplus L),
Y\oplus V). Imeetsya otobrazhenie diagramm (S,T) \to
(X\times_K (U\oplus L), Y\oplus V); v chastnosti, chtoby
postroit' komponentu S\to L, nado rassmotret' kompoziciyu
S\to K\to L(1) i otmetit', chto ona annuliruetsya funktorom gr.
Trojka (S,T)\to (X\times_K (U\oplus L), Y\oplus V) \to (X,Y)
yavlyaetsya tochnoj. Etogo dostatochno dlya proverki aksiom
tochnoj kategorii.

3. Konstrukciya granichnogo otobrazheniya

Funktor \gr: F\to G sopostavlyaet ob#ektu X diagrammu (X,X(-1)).
Funktor Z\mpsto Z(1) na G opredelyaetsya ochevidnym obrazom.
Podkategoriya C_i v G sostoit iz ob#ektov, obrazy kotoryh pri
\Delta sosredotocheny v graduirovke i; legko ubedit'sya, chto
v nih ekvivalentno otobrazhayutsya podkategorii C_i v F, chto
mezhdu ob#ektami raznymi C_i net morfizmov v G, chto Ext^1
mezhdu nimi idut v odnu storonu, i chto vsyakij ob#ekt iz G
est' iterirovannoe rasshirenie ob#ektov iz C_i.

Ostaetsya postroit' dlinnuyu tochnuyu posledovatel'nost'; my
nachnem s konstrukcii granichnogo otobrazheniya.

Lemma: Pust' \gamma: A\to B -- tochnyj funktor mezhdu tochnymi
kategoriyami, takoj chto dlya lyubogo dopustimogo epimorfizma
T\to \gamma(X) najdetsya dopustimyj epimorfizm Z\to X i morfizm
\gamma(Z)\to T, takie chto treugol'nik \gamma(Z)\to T\to\gamma(X)
kommutativen. Togda dlya lyubogo ob#ekta W iz B pravyj
graduirovannyj modul' (Ext^n_B(\gamma(Y),W))_Y nad graduirovannym
(Ob A)-kol'com (Ext^n_A(X,Y))_{X,Y} inducirovan s pravogo
modulya (Hom_B(\gamma(Y),W))_Y \sub (Ext^n_B(\gamma(Y),W))_Y nad
(Ob A)-podkol'com (Hom_A(X,Y))_{X,Y} \sub (Ext^n_A(X,Y))_{X,Y}.

Ochevidno, chto vsyakij ob#ekt (U,V) iz G yavlyaetsya obrazom
dopustimogo epimorfizma \gr U = (U,U(-1)) \to V (analogichno,
(U,V) vkladyvaetsya dopustimym monomorfizmom v ob#ekt \gr V(1) =
(V(1),V) ). Bolee togo, dlya lyubogo dopustimogo epimorfizma
T \to \gamma(X) najdetsya predstavlyayuschij ego morfizm
(U,V) \to (X,X(-1)) v H, tak chto imeyutsya dopustimye
epimorfizmy U\to X v F i \gr U\to T v G, takie chto treugol'nik
\gr U \to T \to \gr X kommutativen. Nakonec, lyuboj morfizm
\gr X \to \gr Y v G mozhno predstavit' drob'yu iz morfizmov
(U,V)\to (X,X(-1)) i (U,V)\to (Y,Y(-1)) v H, takoj chto morfizm
(U,V) \to (X,X(-1)) prinadlezhit S. Poetomu v F imeyutsya
dopustimyj epimorfizm U\to X i morfizm U\to Y, takie chto
diagramma \gr U \to \gr X \to \gr Y kommutativna v G.

Chtoby postroit' obraz morfizma \gr X \to \gr X pri gomomorfizme
Hom_G(\gr X, \gr Y) \to Ext^1_F(X,Y(-1)), vyberem dopustimyj
epimorfizm X'\to X i morfizm X'\to Y v F, takie chto treugol'nik
\gr X' \to \gr X \to \gr Y kommutativen v G. Pust' K -- yadro
dopustimogo epimorfizma X'\to X; togda kompoziciya K\to X'\to Y
annuliruetsya funktorom gr, i sledovatel'no, razlagaetsya
v kompoziciyu K\to Y(-1)\to Y. Poluchennyj morfizm K\to Y(-1)
induciruet s imeyuschegosya rasshireniya K\to X'\to X iskomoe
rasshirenie X s pomosch'yu Y(-1) v F. Al'ternativnym obrazom,
vyberem dopustimyj monomorfizm Y\to Y' i morfizm X\to Y' v F,
takie chto treugol'nik \gr X \to \gr Y \to \gr Y' kommutativen
v G. Pust' C -- koyadro dopustimogo monomorfizma Y\to Y'; togda
kompoziciya X\to Y'\to C annuliruetsya funktorom gr, tak chto
my poluchaem morfizm X(1)\to C. Etot morfizm induciruet
s imeyuschegosya rasshireniya Y\to Y'\to C rasshirenie X(1)
s pomosch'yu Y. Proverim, chto dva poluchennyh rasshireniya
X s pomosch'yu Y(-1) otlichayutsya znakom. Raznost' kompozicij
X'\to X\to Y' i X'\to Y\to Y' annuliruetsya funktorom gr, tak
chto imeetsya morfizm X'\to Y'(1). Vmeste s tochnymi trojkami
K\to X'\to X i Y\to Y'\to C i morfizmami K\to Y(-1) i X\to C(-1)
etot morfizm obrazuet diagrammu, v kotoroj odin kvadrat
kommutativen i odin antikommutativen. Otsyuda srazu sleduet,
chto otobrazhenie Hom_G(\gr X, \gr Y) \to Ext^1_F(X,Y(-1)),
dostavlyaemoe lyubym iz dvuh opisannyh vyshe pravil, korrektno
opredeleno i yavlyaetsya gomomorfizmom bimodulej nad
(Ob F)-kol'com Hom_F(X,Y).

Teper' (Ext^n_G(\gr X, \gr Y))_{X,Y} kak bimodul' nad
(Ob F)-kol'com (Ext^n_F(X,Y))_{X,Y} yavlyaetsya levym modulem,
inducirovannym so svoej nulevoj komponenty kak levogo modulya
nad nulevoj komponentoj kol'ca, i pravym modulem,
inducirovannym so svoej nulevoj komponenty kak modulya nad
nulevoj komponentoj kol'ca. My hotim opredelit' otobrazheniya
Ext^n_G(\gr X, \gr Y) \to Ext^{n+1}_F(X,Y(-1)) tak, chtoby oni
udovetvoryali superversii pravila Leibnica pri umnozhenii na
elementy Ext^n_F(U,V) kak sleva, tak i sprava. Lyuboe odno iz
etih uslovij odnoznachno opredelyaet iskomuyu posledovatel'nost'
otobrazhenij, i ostaetsya tol'ko proverit', chto oni sovmestimy
mezhdu soboj. Dostatochno proveryat' eto dlya elementa
Ext^1_G(\gr X, \gr Y), razlozhennogo v proizvedenie elementa
Ext^1_F(U,Y) i elementa Hom_G(\gr X, \gr U), a takzhe
v proizvedenie elementa Hom_G(\gr V, \gr Y) i elementa
Ext^1_F(X,V).

My imeem dve tochnyh trojki Y\to Z\to U i V\to T\to X v F i
morfizm tochnyh troek (\gr V\to \gr T\to \gr X) \to
(\gr Y\to \gr Z\to \gr U) v G. Vyberem dopustimyj epimorfizm
X'\to X, takoj chto kompoziciya \gr X' \to \gr X \to gr U
podnimaetsya do morfizma X'\to U. Oboznachim cherez T'''
rassloennoe proizvedenie T i X' nad X. Vyberem dopustimyj
epimorfizm T''\to T''', takoj chto kompoziciya \gr T'' \to
\gr T'''\to \gr T\to \gr Z podnimaetsya do morfizma T''\to Z.
Rassmotrim raznost' kompozicij T''\to X'\to U i T''\to Z\to U.
Ona annuliruetsya funktorom gr, i sledovatel'no,
faktorizuetsya cherez morfizm T''\to U(-1). Oboznachim cherez
T' rassloennoe proizvedenie T'' i Z(-1) nad U(-1). Opredelim
morfizm T'\to X' kak kompoziciyu T'\to T''\to X' i morfizm
T'\to Z kak summu kompozicij T'\to T''\to Z i T'\to Z(-1)\to Z.
Togda treugol'nik \gr T'\to \gr T\to \gr Z i kvadrat
T'\to X'\to U, T'\to Z\to U kommutativny. Pust' V' -- yadro
dopustimogo epimorfizma T'\to X'; togda imeyutsya morfizmy
tochnyh troek (V'\to T'\to X') \to (V\to T\to X) i
(V'\to T'\to X') \to (Y\to Z\to U), i treugol'nik
\gr V'\to \gr V\to \gr Y kommutativen. Pust' K\to L\to M --
yadro dopustimogo epimorfizma tochnyh troek (V'\to T'\to X')
\to (V\to T\to X), togda morfizm tochnyh troek (K\to L\to M)
\to (Y\to Z\to U) annuliruetsya funktorom \gr, tak chto
imeetsya morfizm tochnyh troek (K\to L\to M)\to
(Y(-1)\to Z(-1)\to U(-1)). Rassmotrim rasshirenie tochnoj
trojki V\to T\to X s pomosch'yu tochnoj trojki K\to L\to M
i induciruem s nego rasshirenie tochnoj trojki V\to T\to X
s pomosch'yu tochnoj trojki Y(-1)\to Z(-1)\to U(-1),
ispol'zuya postroennyj morfizm. My poluchili kommutativnyj
kvadrat iz tochnyh troek. Kak izvestno, dlya lyubogo takogo
kvadrata dva klassa Ext^2, poluchennye dvumya kompoziciyami
klassov Ext^1, predstavlennyh storonami kvadrata,
otlichayutsya znakom. Eto dostavlyaet iskomoe ravenstvo
elementov Ext^2_F(X,Y(-1)).

4. Proverka tochnosti dlinnoj posledovatel'nosti

Proverka togo, chto dlinnaya posledovatel'nost' yavlyaetsya
kompleksom, ne predstavlyaet trudnosti. My nachnem s togo,
chto proverim tochnost' otrezka 0 \to Hom_F(X,Y(-1)) \to
Hom_F(X,Y) \to \Hom_G(\gr X, \gr Y) \to \Ext^1_F(X,Y(-1)
\to Ext^1_F(X,Y) \to Ext^1_G(\gr X, \gr Y).

Kak uzhe otmechalos', tochnost' v chlene Hom_F(X,Y(-1))
sleduet iz uslovij, nalozhennyh na kategoriyu F. Eto
dokazyvaetsya po indukcii svedeniem k sluchayu X\in C_i
i Y\in C_j dlya kakih-to i,j; v poslednem sluchae nuzhnoe
svojstvo vhodit v chislo uslovij, nalozhennyh na F.
Tochnost' v chlene Hom_F(X,Y) takzhe yavlyaetsya odnim iz
nalozhennyh uslovij. Proverim tochnost' v chlene
Hom_G(\gr X, \gr Y). Pust' imeetsya morfizm \gr X\to \gr Y,
dopustimyj epimorfizm X'\to X, i morfizm X'\to Y, takie
chto diagramma \gr X' \to \gr X \to \gr Y kommutativna.
Pust' K -- yadro morfizma X'\to X, kompoziciya K\to X'\to Y
faktorizovana kak K\to Y(-1)\to Y, i rasshirenie,
inducirovannoe s rasshireniya K\to X'\to X s pomosch'yu
morfizma K\to Y(-1), trivial'no. Togda morfizm K\to Y(-1)
faktorizuetsya cherez morfizm K\to X', tak chto imeetsya
morfizm X'\to Y(-1). Vychitaya i morfizma X'\to Y
kompoziciyu X'\to Y(-1)\to Y, poluchaem novyj morfizm
X'\to Y, annuliruyuschij K. Sootvetstvuyuschij morfizm
X\to Y yavlyaetsya elementom Hom_F(X,Y), podnimayuschim
iskhodnyj element Hom_G(\gr X,\gr Y).

Proverim tochnost' v chlene Ext^1_F(X,Y(-1)). Pust' imeetsya
rasshirenie Y(-1)\to Z\to X, takoe chto estestvennyj morfizm
Y(-1)\to Y faktorizuetsya cherez Z. Togda morfizm
\gr Z \to \gr Y annuliruet yadro dopustimogo epimorfizma
\gr Z \to \gr X, otkuda my poluchaem morfizm \gr X \to \gr Y.
Po opredeleniyu, on yavlyaetsya proobrazom nashego rasshireniya
Y(-1)\to Z\to X pri granichnom otobrazhenii. Nakonec, proverim
tochost' v chlene Ext^1_F(X,Y). Dopustim, rasshirenie
Y\to Z\to X perehodit v trivial'noe pri funktore \gr.
Togda suschestvuet rassheplyayuschij morfizm \gr X\to gr Z.
Sledovatel'no, suschestvuet morfizm X'\to Z, takoj chto
kompoziciya X'\to Z\to X yavlyaetsya summoj dopustimogo
epimorfizma i morfizma, annuliruemogo funktorom \gr, prichem
otobrazhenie iz yadra etogo dopustimogo epimorfizma v Z tozhe
annuliruetsya funktorom \gr. Togda takaya summa tozhe
yavlyaetsya dopustimym epimorfizmom i otobrazhenie iz ee
yadra K v Z tozhe annuliruetsya funktorom \gr. Teper' nasha
tochnaya trojka Y\to Z\to X inducirovana s tochnoj trojki
K\to X'\to X s pomosch'yu otobrazheniya K\to Y, annuliruemogo
funktorom \gr. Poskol'ku takoe otobrazhenie faktorizuetsya
cherez Y(-1), tochnost' ustanovlena.

Tochnost' za predelami nachal'nogo otrezka sleduet iz
tochnosti v nachal'nom otrezke i sleduyuschego utverzhdeniya
(poleznogo takzhe pri dokazatel'stve Lemmy v p.3 vyshe;
v oboih sluchayah nam nuzhno k=1).

Pust' \gamma: A\to B -- tochnyj funktor mezhdu tochnymi
kategoriyami, takoj chto dlya lyubogo dopustimogo epimorfizma
T\to \gamma(X) najdetsya dopustimyj epimorfizm Z\to X i morfizm
\gamma(Z)\to T, takie chto treugol'nik \gamma(Z)\to T\to\gamma(X)
kommutativen. Pust' \xi -- klass Ext^n_A(X,Y) i \eta --
klass Ext^k_B(\gamma(Y),T), takie chto \eta\gamma(\xi)=0 i k>0.
Togda najdetsya morfizm f: Y'\to Y v A i klass \xi' iz
Ext^n_A(X,Y') takie chto \xi=f\xi' i \eta\gamma(f)=0.


III. Diagonal'nye Ext'y

1. Kvadratichnost' diagonal'nyh Ext'ov

Pust' H -- tochnaya kategoriya, snabzhennaya posledovatel'nost'yu
polnyh podkategorij C_i, gde i probegaet celye chisla. My budem
predpolagat', chto kazhdaya iz C_i zamknuta otnositel'no
rasshirenij, inducirovannaya struktura tochnoj kategorii na C_i
trivial'na (t.e. vse tochnye trojki ob#ektov C_i rasschepimy),
i kazhdyj ob#ekt F poluchaetsya iterirovannym rasshireniem
ob#ektov iz raznyh C_i. Krome togo, predpolozhim, chto Hom(X,Y)
= 0 = Ext^1(X,Y) dlya vseh X iz C_i i Y iz C_j, esli i > j.
Nakonec, pust' na kategorii H zadan funktor X\mpsto X(1),
yavlyayuschijsya avtoekvivalentnost'yu tochnoj kategorii, takoj
chto C_{i+1} = C_i(1) dlya vseh i.

Utverzhdaetsya, chto v etom sluchae (1) Ext^n_H(X,Y) = 0 dlya
vseh X iz C_i i Y iz C_j, esli i+n > j; i (2) graduirovannoe
(Ob C_0)-kol'co (Ext^n(X,Y(n)))_{X,Y} kvadratichno.

Dokazatel'stvo: pust' X\in H_[j,\+infty) (oboznachenie iz I);
togda vsyakij klass Ext^1(X,Y) prihodit iz Ext^1(X,Y_{>=j+1}),
poskol'ku Ext^1(X,Y_{<=j})=0. Esli teper' imeetsya klass
Ext^n(X,Y), to razlagaya ego v kompoziciyu klassov Ext^1,
mozhno ubedit'sya po indukcii, chto on prihodit iz klassa
Ext^n(X,Y_{>=j+n}). Eto dokazyvaet utverzhdenie (1).
Primenyaya etot argument vmeste s ego kategorno-dvojstvennoj
versiej, mozhno ubedit'sya, chto vsyakij element Ext^n(X,Y(n))
razlagaetsya v kompoziciyu elementov Ext^1(Z_i(i),Z_{i+1}(i+1))
dlya X,Y,Z_i iz C_0. Eto dokazyvaet, chto nashe (Ob C_0)-kol'co
porozhdeno svoej pervoj komponentoj.

Chtoby proverit' kvadratichnost', predpolozhim, chto proizvedenie
klassov \xi\in Ext^{n-1}(Z(1),Y(n)) i \eta\in Ext^1(X,Z(1))
ravna nulyu, gde X,Y,Z \in C_0 i n>1. Togda najdutsya ob#ekt
T\in H, morfizm f:T\to Z(1) i klass \eta'\in Ext^1(X,T), takie
chto \eta=f\eta' i \xi f=0. Poskol'ku klass \eta' prihodit iz
klassa Ext^1(X,T_{>=1}), mozhno schitat', chto T prinadlezhit
H_[1,+\infty). Razlozhim morfizm f: T\to Z(1) v kompoziciyu
T\to U(1)\to Z(1), gde U\in C_0 i T\to U(1) -- dopustimyj
epimorfizm s yadrom W\in H_[2,+\infty). Oboznachim morfizm
U(1)\to Z(1) cherez g i morfizm T\to U(1) cherez h. Togda
\xi gh = 0, otkuda sleduet, chto klass \xi g razlagaetsya
v proizvedenie nekotorogo klassa iz Ext^{n-2}(W,Y(n)) i klassa
Ext^1, sootvetstvuyuschego rasshireniyu W\to T\to U(1).
Poskol'ku klass Ext^{n-2}(W,Y(n)) prihodit iz klassa
Ext^{n-2}(W_{<=2},Y(n)), mozhno schitat', chto W=V(2) dlya
V\in C_0 i \xi g = \dzeta\theta, gde \dzeta\in
Ext^{n-2}(V(2),Y(n)) i \theta\in Ext^1(Z(1),V(2)), prichem
\theta h =0. Polozhim \eta''=h\eta'; togda \eta=g\eta'',
\xi g = \dzeta\theta, i \theta\eta''=0. Eto dokazyvaet
kvadratichnost'.

2. Konstrukciya tochnoj kategorii po diagonal'nym Ext'am

Pust' A -- neotricatel'no graduirovannoe kol'co s komponentami
A_n, A_0 = R. Predpolozhim, chto kol'co A kvadratichno.
Pokazhem, chto suschestvuet edinstvennaya kategoriya G so
sleduyuschimi svojstvami.

G -- tochnaya kategoriya, snabzhennaya posledovatel'nost'yu
polnyh podkategorij C_i, gde i probegaet celye chisla. Kazhdaya
iz C_i zamknuta otnositel'no rasshirenij i kazhdyj ob#ekt G
poluchaetsya iterirovannym rasshireniem ob#ektov iz raznyh C_i.
Krome togo, Hom(X,Y) = 0 dlya vseh X iz C_i i Y iz C_j, esli
i\ne j, i Ext^1(X,Y) = 0 dlya vseh X iz C_i i Y iz C_j, esli
i >= j. Na tochnoj kategorii G zadana avtoekvivalentnost'
X\mpsto X(1), takaya chto C_{i+1} = C_i(1) dlya vseh i.
Kategoriya C_0 ekvivalentna kategorii konechno porozhdennyh
proektivnyh pravyh modulej nad kol'com R (s ee trivial'noj
tochnoj strukturoj); v chastnosti, v C_0 imeetsya ob#ekt R,
sootvetstvuyuschij svobodnomu pravomu R-modulyu s odnoj
obrazuyuschej R. Nakonec, Ext^n_G(R,R(i)) = 0 dlya vseh n = 1,2
i i > n i algebra "diagonal'nyh kogomologij" Ext^n_G(R,R(n))
izomorfna A.

My realizuem kategoriyu G kak kategoriyu graduirovannyh komodulej
nad podhodyaschim kvadratichnym graduirovannym kokol'com.

Pust' I = ker(A_1\ot_R A_1\to A_2). Nas interesuet kvadratichnoe
kokol'co nad R s nachal'nymi komponentami E_{-1} = A_1 i E_{-2}
= I, opredelyaemoe kak universal'nyj konechnyj ob#ekt v kategorii
vseh nepolozhitel'no graduirovannyh kokolec nad R s nulevoj
komponentoj R i pervoj-vtoroj komponentami, zadannymi vyshe.
Komponenty kokol'ca E stroyatsya po indukcii takim obrazom,
chtoby fragment kobar-kompleksa 0\to E_+ \to E_+\ot_R E_+ \to
E_+\ot_R E_+\ot_R E_+ byl tochen v graduirovkah nachinaya s -3
i nizhe. Opredelim G kak kategoriyu graduirovannyh pravyh
E-komodulej, konechno porozhdennyh i proektivnyh kak pravye
R-moduli. Legko videt', chto G udovletvoryaet perechislennym
vyshe usloviyam, i chto Ext^1_G(R,R(1)) = A_1 i Ext^2_G(R,R(n))
= A_2, tak chto Ext^n_G(R,R(n)) = A_n soglasno rezul'tatu III.
Legko videt' takzhe, chto Ext^1(R,R(i)) = 0 dlya i>1. Chtoby
proverit', chto Ext^2(R,R(i)) = 0 dlya i>2, predstavim
proizvol'nyj klass Ext^2(R,R(i)) v vide kompozicii klassov
Ext^1(R,X) i Ext^1(X,R(i)), gde X\in G_[2,i-1]. Pol'zuyas'
kvadratichnost'yu E, legko proverit', chto struktury E-komodulya
na graduirovannyh R-modulyah R\oplus X i X\oplus R(i)
prodolzhayutsya do struktury E-komodulya na R\oplus X\oplus R(i).

Obratno, pust' H -- kategoriya so svojstvami iz p.1 i s kol'com
diagonal'nyh kogomologij A; togda legko postroit' tochnyj funktor
H\to comod-E. Esli kategoriya H udovletvoyaet usloviyam,
nalozhennym na kategoriyu G vyshe, to dlya dokazatel'stva togo,
chto etot funktor yavlyaetsya ekvivalentnost'yu tochnyh kategorij
ostaetsya vospol'zovat'sya Lemmoj iz I.


IV. Koshulevost' dlya graduirovannoj kategorii

Pust' G -- tochnaya kategoriya, snabzhennaya posledovatel'nost'yu
polnyh podkategorij C_i, gde i probegaet celye chisla. Kazhdaya
iz C_i zamknuta otnositel'no rasshirenij i kazhdyj ob#ekt G
poluchaetsya iterirovannym rasshireniem ob#ektov iz raznyh C_i.
Krome togo, Hom(X,Y) = 0 dlya vseh X iz C_i i Y iz C_j, esli
i\ne j, i Ext^1(X,Y) = 0 dlya vseh X iz C_i i Y iz C_j, esli
i >= j. Na tochnoj kategorii G zadana avtoekvivalentnost'
X\mpsto X(1), takaya chto C_{i+1} = C_i(1) dlya vseh i.
Kategoriya C_0 ekvivalentna kategorii konechno porozhdennyh
proektivnyh pravyh modulej nad kol'com R (s ee trivial'noj
tochnoj strukturoj).

Rassmotrim graduirovannoe kol'co "diagonal'nyh kogomologij" A
s komponentami A_n = Ext^n_G(R,R(n)). Zametim, chto kol'co A
kvadratichno, soglasno rezul'tatu iz III.1. Nas interesuyut
dva voprosa: (1) pri kakih minimal'nyh usloviyah na A iz togo,
chto Ext^n_G(R,R(i)) = 0 dlya vseh n = 1,2 i i > n sleduet, chto
Ext^n_G(R,R(i)) = 0 dlya vseh i > n; i (2) kakie kol'ca A mozhno
realizovat' kak kol'ca diagonal'nyh kogomologij kategorij G
s vysheperechislennymi svojstvami, dlya kotoryh Ext^n_G(R,R(i))
= 0 dlya vseh i > n. Iz rezul'tata III.2 sleduet, chto eti dva
voprosa ekvivalentny i mogut byt' pereformulirovany tak.

Dlya dannogo kvadratichnogo kol'ca A, rassmotrim graduirovannuyu
kategoriyu G s vysheperechislennymi svojstvami, takuyu chto
Ext^n(R,R(n)) = A_n, Ext^1(R,R(i)) = 0 dlya i > 1, Ext^2(R,R(n))
= 0 dlya i > 2. My znaem, chto takaya kategoriya suschestvuet
i edinstvenna. Dlya kakih A eta kategoriya budet obladat' tem
svojstvom, chto Ext^n(R,R(i)) = 0 dlya vseh n < i ? Budem
nazyvat' takie algebry A koshulevymi.

1. Konstrukciya suzheniya bazy

Pust' G -- tochnaya kategoriya, snabzhennaya posledovatel'nost'yu
polnyh podkategorij C_i, gde i probegaet celye chisla. Kazhdaya
iz C_i zamknuta otnositel'no rasshirenij, inducirovannaya
struktura tochnoj kategorii na C_i trivial'na, i kazhdyj ob#ekt G
poluchaetsya iterirovannym rasshireniem ob#ektov iz raznyh C_i.
Krome togo, Hom(X,Y) = 0 dlya vseh X iz C_i i Y iz C_j, esli
i\ne j, i Ext^1(X,Y) = 0 dlya vseh X iz C_i i Y iz C_j, esli
i >= j. Nakonec, na tochnoj kategorii G zadana
avtoekvivalentnost' X\mpsto X(1), takaya chto C_{i+1} = C_i(1)
dlya vseh i.

Pust' B -- additivnaya kategoriya i \phi: B -> C_0 -- additivnyj
funktor, syur#ektivnyj na klassah izomorfizma ob#ektov.
Oboznachim cherez H kategoriyu, ob#ekty kotoroj sut' trojki
(ob#ekt G; graduirovannyj ob#ekt B; izomorfizm mezhdu
prisoedinennym graduirovannym ob#ektom k pervomu i obrazom
vtorogo pri \phi). Pust' B_i -- polnaya podkategoriya H,
sostoyaschaya iz troek, v kotoryh graduirovannyj ob#ekt B
sostredotochen v graduirovke i. Vvedem na H strukturu tochnoj
kategorii, v kotoroj trojka tochna, esli sootvetstvuyuschaya
trojka graduirovannyh ob#ektov B tochna. Tochnaya kategoriya H
s polnymi podkategoriyami B_i udovletvoryaet tem zhe usloviyam,
kotorye nalozheny vyshe na tochnuyu kategoriyu G s polnymi
podkategoriyami C_i.

Imeetsya zabyvayuschij funktor \Phi: H\to G. Utverzhdaetsya,
chto otobrazheniya Ext^n_H(X,Y) \to Ext^n_G(\Phi(X),\Phi(Y))
(1) syur#ektivny dlya vseh n>=1; (2) yavlyayutsya izomorfizmami
dlya n=1, esli graduirovochnye nositeli gr X i gr Y v kategorii
graduirovannyh ob#ektov B ne peresekayutsya; (3) yavlyayutsya
izomorfizmami dlya n>=2 i vseh X, Y.

Dokazatel'stvo (1) sovsem neslozhno. Otmetim, chto funktor \Phi
syur#ektiven na klassah izomorfizma ob#ektov. Poetomu
dostatochno proverit' syur#ektivnost' otobrazheniya mezhdu Ext^1.
Pust' imeetsya rasshirenie \Phi(Y)\to T\to \Phi(X), rassmotrim
sootvetstvuyuschuyu rasschepimuyu tochnuyu trojku
gr\Phi(Y) \to gr T \to gr\Phi(X) ob#ektov iz dekartova
proizvedeniya kategorij C_i. Vybrav rasscheplenie, otozhdestvim
gr T s gr\Phi(X)\oplus gr\Phi(Y) = \phi(gr X\oplus gr Y).
Etim opreden pod#em ob#ekta T iz G do ob#ekta Z iz H i tochnoj
trojki \Phi(Y)\to T\to\Phi(X) do tochnoj trojki Y\to Z\to X.
Punkt (2) ocheviden, poskol'ku vsyakoe rasscheplenie
rasshireniya \Phi(Y)\to \Phi(Z)\to \Phi(X) yavlyaetsya v to zhe
vremya i rasschepleniem rasshireniya Y\to Z\to X.

Iz syur#ektivnosti na Ext^1 sleduet, chto in#ektivnost' na Ext^2
dostatochno proveryat' v sluchae, kogda X\in B_i i Y\in B_j
dlya nekotoryh i i j. Razlozhim nash klass iz Ext^2(X,Y)
v kompoziciyu klassov iz Ext^1(X,Z) i Ext^1(Z,Y). My mozhem
vybrat' Z prinadlezhaschim H_[i+1,j-1]. Pust' eti klassy Ext^1
zadayutsya rasshireniyami Y\to V\to Z i Z\to W\to X. Klass
Ext^2_G(\Phi(X),\Phi(Y)), zadavaemyj posledovatel'nost'yu
\Phi(Y)\to \Phi(V)\to \Phi(W)\to \Phi(X), trivialen togda i
tol'ko togda, kogda morfizm \Phi(V)\to \Phi(W) mozhno razlozhit'
v kompoziciyu \Phi(V)\to T\to\Phi(W), tak chto trojki
\Phi(Y)\to T \to \Phi(W) i \Phi(V)\to T\to \Phi(X) tochny.
V etom sluchae ob#ekt T iz G imeet takuyu zhe graduirovannuyu
komponentu v C_i, kak \Phi(X), takuyu zhe graduirovannuyu
komponentu v C_j, kak \Phi(Y), i takie zhe graduirovannye
komponenty v C_k pri i < j < k, kak \Phi(V), \Phi(W), i \Phi(Z).
Takim obrazom, ob#ekt T mozhno podnyat' v H s sohraneniem
kommutativnosti diagrammy i tochnosti troek.

Nakonec, proverim in#ektivnost' na Ext^n pri n>=3, pol'zuyas'
in#ektivnost'yu na Ext^{n-1}. Razlozhim klass Ext^n(X,Y)
v proizvedenie klassov Ext^1(X,Z) i Ext^{n-1}(Z,Y). Dopustim,
chto proizvedenie obrazov etih klassov v Ext^1(\Phi(X),\Phi(Z))
i Ext^{n-1}(\Phi(Z),\Phi(Y)) ravno nulyu. Togda suschestvuet
takoj morfizm F\to\Phi(Z), chto nash klass
v Ext^1(\Phi(X),\Phi(Z)) prihodit iz nekotorogo klassa
v Ext^1(\Phi(X),F), a kompoziciya morfizma F\to \Phi(Z)
s klassom v Ext^{n-1}(\Phi(Z),\Phi(Y)) ravna nulyu.
Predstavim klass v Ext^{n-1}(\Phi(Z),\Phi(Y))
tochnoj posledovatel'nost'yu \Phi(Y)\to U\to ...\to V\to\Phi(Z).
Togda kompoziciya morfizma V\oplus F\to\Phi(Z) s nashim klassom
v Ext^{n-1}(\Phi(Z),\Phi(Y)) po-prezhnemu ravna nulyu, i nash
klass v Ext^1(\Phi(X),\Phi(Z)) po-prezhemu prihodit iz
nekotogoro klassa Ext^1(\Phi(X), V\oplus F). Krome togo,
otobrazhenie V\oplus F \to Z yavlyaetsya dopustimym
epimorfizmom. Takim obrazom, my mozhem schitat', chto morfizm
F\to\Phi(Z) yavlyaetsya dopustimym epimorfizmom. Predstavim
klass v Ext^1(X,Z) tochnoj trojkoj Z\to W\to X, a klass
v Ext^1(\Phi(X),F) tochnoj trojkoj F \to T\to \Phi(X).
Togda imeetsya dopustimyj epimorfizm tochnyh troek
(F\to T\to \Phi(X)) \to (\Phi(Z) \to \Phi(W)\to \Phi(X)).
Ochevidno, ob#ekt T mozhno podnyat' iz G do ob#ekta K v H tak,
chtoby suschestvoval dopustimyj epimorfizm K\to W,
podnimayuschij dopustimyj epimorfizm T\to\Phi(W). Togda
nash dopustimyj epimorfizm tochnyh troek v G podnimetsya do
dopustimogo epimorfizma tochnyh troek (L\to K\to X)\to
(Z\to W\to X). Takim obrazom, nash klass Ext^1(X,Z) prihodit
iz nekotorogo klassa Ext^1(X,L) pri morfizme L\to Z. Rassmotrim
kompoziciyu klassa v Ext^{n-1}(Z,Y) i morfizma L\to Z. Obraz
etoj kompozicii v G raven nulyu, tak kak obraz morfizma L\to Z
raven nashemu morfizmu F\to \Phi(Z). Poskol'ku otobrazhenie
na Ext^{n-1} in#ektivno, etot klass v Ext^{n-1}(L,Y) raven
nulyu, otkuda i iskhodnyj klass v Ext^n(X,Y) raven nulyu.

2. Koshulevost': obschij sluchaj

Iz rezul'tata p.1 sleduet, chto koshulevost' neotricatel'no
graduirovannogo kol'ca A ne zavisit ot komponenty R=A_0, t.e.
esli dlya lyubogo morfizma koles S\to R rassmotret'
graduirovannoe kol'co B = S\oplus A_1\oplus A_2 \oplus ...,
to kol'ca A i B obladayut svojstvom koshulevosti odnovremenno.

Utverzhdaetsya, chto kol'co A koshulevo togda i togda, kogda
vypolneno sleduyuschee uslovie "tochnosti matrichnogo kompleksa
Koshulya", voznikayuschee pri rassmotrenii matrichnyh operacij
Massi na Ext'ah v G. Pust' M_1, ..., M_m -- pryamougol'nye
matricy, sostavlennye iz elementov A_1, prichem linejnye razmery
etih matric sootvetstvuyut odni drugim takim obrazom, chto
proizvedeniya M_{i+1}M_i imeyut smysl kak matricy s komponentami
iz A_2. Predpolozhim k tomu zhe, chto vse eti proizvedeniya
ravny nulyu. Pust' N -- pryamougol'naya matrica, sostavlennaya
iz elementov A_n, prichem linejnyj razmer ee takov, chto
proizvedenie N M_m imeet smysl kak matrica s komponentami iz
A_{n+1}; predpolozhim, chto i eto proizvedenie tozhe ravno nulyu.
Togda dolzhny suschestvovat' pryamougol'nye matricy K_i
s komponentami iz R, matricy M'_i s komponentami iz A_1, matrica
P s komponentami iz A_1, i matrica Q s komponentami iz A_{n-1},
takie chto M_1 = K_1M'_1, M_2K_1 = K_2M'_2, ..., M_mK_{m-1} =
K_mM'_m, NK_m = QP, i M'_{i+1}M'_i = 0 dlya vseh i, PM'_m = 0.

V chastnosti, iz utverzhdaemogo sleduet, chto eto uslovie
ne menyaetsya pri zamene kol'ca R na ego podkol'co S.
Krome togo, eto uslovie pravo-levo simmetrichno, t.e. ostaetsya
neizmennym pri zamene A na protivopolozhnoe graduirovannoe
kol'co. Nakonec, pri m = 0,1 eto uslovie predstavlyaet soboj
uslovie kvadratichnosti kol'ca A.

Dokazatel'stvo. "Togda": my budem dokazyvat', chto
Ext_G^{n+1}(R,R(n+m)) = 0 pri m >= 2 s pomosch'yu vozrastayuschej
indukcii po n. Sluchaj n = 1 nam izvesten po usloviyu zadachi;
pust' n >= 2. Pust' imeetsya klass Ext_G^{n+1}(R,R(n+m));
razlozhim ego v proizvedenie klassov iz Ext_G^1(R,X) i
Ext_G^n(X,R(n+m)). Kak ob#yasnyaetsya v III.1, mozhno schitat',
chto X\in G_[1,m]. Ochevidno, mozhno takzhe schitat', chto vse
prisoedinennye faktory X yavlyayutsya svobodnymi R-modulyami.
Oboznachim ih cherez X_1(1), ..., X_m(m). Posledovatel'nost'
klassov Ext_G^1(R,X_1(1)), Ext_G^1(X_1(1),X_2(2)), ...,
Ext_G^1(X_{m-1}(m-1),X_m(m)), svyazannyh s klassom Ext_G^1(R,X)
i ob#ektom X, opredelyaet matricy M_1, ..., M_m. Klass
Ext_G^n(X_m(m),R(n+m)), svyazannyj s klassom Ext_G^n(X,R(n+m)),
opredelyaet matricu N. Iz suschestvovaniya ob#ekta X i dvuh
klassov Ext, iduschih cherez nego, sleduet zanulenie vseh
proizvedenij par sosednih matric M_i i N. Po predpolozheniyu,
otsyuda sleduet suschestvovanie matric K_i, M'_i, P i Q,
udovletvoryayuschih uravneniyam vyshe.

Poskol'ku vnediagonal'nyj Ext^2 v kategorii G otsutstvuet, po
matricam M'_i mozhno postroit' ob#ekt X' i klass Ext^1(R,X'),
nahodyaschiesya v takoj zhe svyazi s etimi matricami, kak
ob#ekt X i klass Ext^1(R,X) s matricami M_i (sr. V.S.Retakh,
"Operations de Massey, la construction S et extensions de
Yoneda", Comptes Rendus Acad. Sci. Paris 299 Ser.I #11, 1984).
Poskol'ku vnediagonal'nyj Ext^1 v G takzhe zanulyaetsya,
po matricam K_i mozhno postroit' morfizm X'\to X, takoj chto
iskhodnyj klass Ext^1(R,X) proiskhodit iz nashego novogo klassa
Ext^1(R,X'). Rassmotrim klass Ext^n(X',R(n+m)), inducirovannyj
iskhodnym klassom Ext^n(X,R(n+m)) i morfizmom X'\to X. Pust'
X'_1(1), ..., X'_m(m) -- prisoedinennye faktory ob#ekta X'.
Togda sootvetstvuyuschij klass Ext^n(X'_m(m),R(n+m)) mozhno
razlozhit' v kompoziciyu klassov Ext^1(X'_m(m),Y(m+1)) i
Ext^{n-1}(Y(m+1),R(n+m)), sootvetstvuyuschih matricam P i Q,
gde Y -- svobodnyj R-modul', rassmatrivaemyj kak ob#ekt C_0.
V silu uravneniya P M'_m=0, klass Ext^1(X'_m(m),Y(m+1))
mozhno podnyat' do klassa Ext^1(X',Y(m+1)); pust' T oboznachaet
srednij chlen sootvetstvuyuschego rasshireniya. Klass
Ext^1(R,X') mozhno podnyat' do klassa Ext^1(R,T). Pokazhem,
chto klass Ext^n(T,R(n+m)), inducirovannyj s klassa
Ext^n(X',R(n+m)) s pomosch'yu morfizma T\to X', raven nulyu.
Ogranichenie etogo klassa na podob#ekt T_{>=m} est' klass,
inducirovannyj s klassa Ext^n(X'_m(m),R(n+m)) s pomosch'yu
morfizma T_{>=m}\to X'_m(m); etot inducirovannyj klass raven
nulyu po postroeniyu. Takim obrazom, nash klass Ext^n(T,R(n+m))
prihodit iz klassa Ext^n(T_{<=m-1},R(n+m)). Poslednyuyu gruppu
Ext my schitaem ravnoj nulyu po predpolozheniyu indukcii.

"Tol'ko togda": pust' imeyutsya matricy M_i, N, takie chto
parnye proizvedeniya sosednih iz nih zanulyayutsya. Togda
s matricami M_i mozhno svyazat' ob#ekt X\in G_[1,n] i klass
rasshireniya Ext^1_G(R^s,X), kak vyshe, a s matricej N --
klass Ext^n_G(X_m(m),R^t(n+m)). Uravnenie N M_m = 0 i
predpolozhenie otsutstviya (vnediagonal'nyh) Ext^{n+1}_G mezhdu
R(k) i R^t(n+m) pri 1 <= k <= m-2 pozvolyayut zaklyuchit',
chto poslednij klass podnimaetsya do klassa Ext^n(X,R^t(n+m)).
Po predpolozheniyu, proizvedenie dvuh poluchennyh klassov
yavlyaetsya nulevym klassom v Ext^{n+1}(R^s,R^t(n+m)).
Poetomu suschestvuet morfizm X'\to X v G takoj, chto klass
Ext^1_G(R^s,X) proiskhodit iz klassa Ext^1_G(R^s,X'), a klass
Ext^n_G(X',R^t(n+m)), inducirovannyj s klassa Ext^n_G(X,R^t(n+m))
s pomosch'yu etogo morfizma, zanulyaetsya. Kak ob#yasneno
v III.1, mozhno predpolagat', chto X'\in G_[1,+\infty).
Razlozhim X v tochnuyu trojku X'_{>=m+1} \to X' \to X'_{<=m}.
My znaem, chto klass Ext^n(X'_{<=m},R^t(n+m)), inducirovannyj
s klassa Ext^n(X,R^t(n+m)), zanulyaetsya v kompozicii
s morfizmom X'\to X'_{<=m}. Otsyuda sleduet, chto etot klass
Ext^n(X'_{<=m},R^t(n+m)) razlagaetsya v kompoziciyu nekotorogo
klassa Ext^{n-1}(X'_{>=m+1},R^t(n+m)) i klassa
Ext^1(X'_{<=m},X'_{>=m+1}), sootvetstvuyuschego X. V silu togo
zhe argumenta iz III.1, mozhno schitat', chto X'_{>=m+1}\in
C_{m+1}, X'_{>=m+1} = X'_{m+1}(m+1), i X'\in G_[1,m+1].
Ochevidno, mozhno takzhe schitat', chto X'_{m+1} sootvetstvuet
svobodnomu R-modulyu. Teper' s ob#ektom X'_{<=m} my svyazyvaem
matricy M'_i, s morfizmom X'_{<=m}\to X -- matricy K_i,
s klassom Ext^1(X'_m(m),X'_{m+1}(m+1)) -- matricu P, a s klassom
Ext^{n-1}(X'_{m+1}(m+1),R^t(n+m)) -- matricu Q.

3. Koshulevost': ploskij sluchaj

Pust' A = A_0\oplus A_1\oplus A_2\oplus ... -- neotricatel'no
graduirovannoe kol'co, A_0 = R. Predpolozhim, chto vse A_i
yavlyayutsya ploskimi levymi R-modulyami ili vse A_i yavlyayutsya
ploskimi pravymi R-modulyami. Togda sleduyuschie usloviya
ekvivalentny:
(a) Kol'co A koshulevo v smysle opredeleniya, dannogo vyshe
v nachale razdela IV.
(b) Tor^A_{ij}(R,R) = 0 dlya i\ne j.
(v) Kol'co A kvadratichno i esli I = ker(A_1\ot_R A_1\to A_2), to
reshetka podbimodulej R-R-bimodulya A_1^{\ot_R m}, porozhdennaya
podbimodulyami A_1^{\ot_R s-1}\ot_R I\ot_R A_1^{\ot_R m-s-1},
distributivna dlya vseh m.
(g) Esli E -- kvadratichnoe kokol'co nad R s E_0 = R,
E_{-1} = A_1, i E_{-2} = I (sm. III.2), to kompleksy Koshulya
E\ot_R A i A\ot_R E imeyut kogomologii, izomorfnye R.
(d) Kol'co A kvadratichno i kobar-kompleks
R \to E_+ \to E_+\ot_R E_+ \to E_+\ot_R E_+\ot_R E_+ \to ...
imeet kogomologii tol'ko na diagonali, gde vnutrennyaya
graduirovka ravna gomologicheskoj.

Dokazatel'stvo: ekvivalentnost' uslovij (b-d) est' izvestnyj fakt
(sm. "Homological algebra of semimodules and semicontramodules",
razdely 0.4 i 11); nizhe my pokazhem, chto (a) ekvivalentno (d).

Pokazhem prezhde vsego, chto dostatochno rassmotret' sluchaj,
kogda vse A_i yavlyayutsya ploskimi pravymi R-modulyami.

Lemma 1. Neotricatel'no graduirovannye kol'ca A i A^op koshulevy
odnovremenno.

Dokazatel'stvo Lemmy 1: mozhno vospol'zovat'sya rezul'tatom
iz p.2 i ego protivopolozhnoj versiej, kotoraya dokazyvaetsya
analogichnym (dvojstvennym) obrazom. Vot bolee prostoj pryamoj
argument. Yasno, chto algebry A i A^op odnovremenno
kvadratichny; predpolozhim, chto oni takovy. Pust' G -- tochnaya
kategoriya, sootvetstvuyuschaya algebre A, kak ob#yasneno
v III.2. Rassmotrim protivopolozhnuyu kategoriyu G' = G^op
s podkategoriyami C'_i = C_{-i}^op i funktorom sdviga X^op(1)
= X(-1)^op. Otozhdestvim C'_i s kategoriyami konechno
porozhdennyh proektivnyh pravyh modulej nad R^op,
vospol'zovavshis' dvojstvennost'yu mezhdu konechno porozhdennymi
proektivnymi pravymi i levymi R-modulyami. Togda kategoriya G'
sootvetstvuet algebre A^op pri sootvetstvii iz III.2.
Sootvetstvuyuschee kokol'co E' nad R^op takzhe izomorfno E^op.

Lemma 2. Pust' E -- nepolozhitel'no graduirovannoe kokol'co
nad R s E_0 = R, takoe chto E_i yavlyayutsya ploskimi pravymi
R-modulyami. Togda gruppy Ext^n(R,R(m)) v tochnoj kategorii
graduirovannyh pravyh E-komodulej, konechno porozhdennyh
i proektivnyh nad R, vychislyaet kobar-kompleks
R \to E_+ \to E_+\ot_R E_+ \to ...

Dokazatel'stvo Lemmy 2. Pokazhem prezhde vsego, chto vypisannyj
kobar-kompleks vychislyaet gruppy Ext^n(R,R(m)) v tochnoj
kategorii graduirovannyh pravyh E-komodulej, ploskih nad R.
Kompleks R \to E \to E_+\ot_R E \to E_+\ot_R E_+\ot_R E \to ...
yavlyaetsya rezol'ventoj pravogo E-komodulya R v tochnoj
kategorii R-ploskih pravyh E-komodulej, sostavlennoj iz
E-komodulej, koinduciruvannyh s ploskih pravyh R-modulej.
Nuzhno tol'ko proverit', chto takie koinducirovannye E-komoduli
prisposobleny k fuktoru Hom_E(R,-) na kategorii R-ploskih pravyh
E-komodulej. Etot fakt ne zavisit ot togo, chto kokol'co E
nepolozhitel'no graduirovannoe. V samom dele, pust' V\ot_R E
\to N -- dopustimyj monomorfizm iz E-komodulya, koinducirovannogo
s ploskogo R-modulya V, v R-ploskij E-komodul' N. Rassmotrim
morfizm R-modulej V\ot_R E \to V, inducirovannyj koedinicej E.
Pust' K -- rassloennoe koproizvedenie N i V nad V\ot_R E; togda
K -- ploskij R-modul' i V\to K -- dopustimyj monomorfizm ploskih
R-modulej. Morfizm ploskih R-modulej N\to K induciruet morfizm
E-komodulej N \to K\ot_R E, obrazuyuschij kommutativnyj
treugol'nik s dopustimym monomorfizmom V\ot_R E \to N i
morfizmom V\ot_R E \to K\ot_R E, koinducirovannym s dopustimogo
monomorfizma V\to K. Takim obrazom, rasshirenie V\ot_R E \to N
\to N/(V\ot_R E) inducirovano s pomosch'yu morfizma N/(V\ot_R E)
\to (K/V)\ot_R E s rasshireniya V\ot_R E \to K\ot_R E\to
K/V\ot_R E. Poslednee rasshirenie sohranyaet tochnost' pri
primenenii funktora Hom_E(P,-) dlya lyubogo R-proektivnogo
pravogo E-komodulya P, chto pozvolyaet dokazat' po indukcii,
chto Ext^n_E(P, V\ot_R E) = 0 pri n > 0.

Ostalos' pokazat', chto gruppy Ext^n(R,R(m)) v tochnoj kategorii
graduirovannyh pravyh E-komodulej, ploskih nad R,
i v tochnoj kategorii graduirovannyh pravyh E-komodulej, konechno
porozhdennyh i proektivnyh nad R, sovpadayut. Ochevidno,
v oboih sluchayah mozhno ogranichit'sya rassmotreniem kategorij
graduirovannyh komodulej, sosredotochennyh v graduirovkah [0,m].
Dostatochno proverit', chto dlya lyubogo graduirovannogo pravogo
E-komodulya P, konechno porozhdennogo i proektivnogo nad R,
i lyubogo dopustimogo epimorfizma na P iz R-ploskogo
graduirovannogo pravogo E-komodulya N, sosredotochennogo
v graduirovkah [0,m] najdetsya morfizm Q\to N v N iz
graduirovannogo pravogo E-komodulya Q, konechno porozhdennogo
i proektivnogo nad R, takoj chto kompoziciya Q\to N\to P
yavlyaetsya dopustimym epimorfizmom. Dlya etogo my
vospol'zuemsya teoremoj Govorova-Lazara, soglasno kotoroj vsyakij
ploskij R-modul' yavlyaetsya napravlennym induktivnym predelom
konechno porozhdennyh proektivnyh R-modulej.

Pust' Q_0\to N_0 -- morfizm v N_0 iz konechno-porozhdennogo
proektivnogo pravogo R-modulya Q_0, takoj chto kompoziciya
Q_0\to N_0\to P_0 syur#ektivna. Eto dostavlyaet bazu
vozrastayuschej indukcii po graduirovke. Predpolozhim, chto
postroen morfizm Q_{<=k}\to N_{<=k}, 0 <= k < m, iz
graduirovannogo pravogo E-komodulya Q_{<=k}, konechno
porozhdennogo i proektivnogo nad R, v graduirovannyj pravyj
E-komodul' N_{<=k}, takoj chto kompoziciya Q_{<=k} \to N_{<=k}
\to P_{<=k} syur#ektivna. Pust' Q'_{k+1} \to N_{k+1} -- takoj
morfizm v N_{k+1} iz konechno predstavimogo pravogo R-modulya
Q''_{k+1}, chto kompoziciya Q''_{k+1} \to N_{k+1} \to P_{k+1}
syur#ektivna i kompozicii Q_{k+1-l} \to N_{k+1-l} \to
N_{k+1}\ot_R E_{-l} komponent otobrazhenij komodulej
Q_{<=k}\to N_{<=k} i otobrazhenij kodejstviya na N
faktorizuyutsya cherez Q''_{k+1}\ot_R E_{-l} dlya vseh l.
Togda morfizm Q''_{k+1} \to N_{k+1} faktorizuetsya cherez
morfizm Q'_{k+1}\to N_{k+1} iz konechno predstavimogo
pravogo R-modulya Q'_{k+1} v N_{k+1} takim obrazom, chto
uravneniya koassociativnosti na otobrazheniya kodejstviya
na Q_j, 0 <= j <= i, i imeyuschiesya u nas otobrazheniya
Q_{k+1-l}\to Q''_{k+1}\ot_R E_{-l} vypolnyayutsya so znacheniyami
v tenzornyh proizvedeniyah Q'_{k+1} na komponenty E. Nakonec,
morfizm Q'_{k+1}\to N_{k+1} faktorizuetsya cherez morfizm
Q_{k+1}\to N_{k+1} dlya nekotorogo konechno porozhdennogo
proektivnogo R-modulya Q_{k+1}. My postroili komodul' Q_{<=k+1},
i Lemma 2 dokazana.

Lemma 3. Pust' E \to E' -- morfizm nepolozhitel'no
graduirovannyh kokolec nad kol'com R, E_0 = R = E'_0, takoj chto
otobrazhenie E_{-l}\to E'_{-l} yavlyaetsya izomorfizmom
dlya l < m. Togda otobrazheniya Ext^n_E(R,R(m)) \to
Ext^n_{E'}(R,R(m)) mezhdu gruppami Ext v kategoriyah
graduirovannyh pravyh E-komodulej, konechno porozhdennyh i
proektivnyh nad R, yavlyayutsya izomorfizmami pri n >= 3.

Dokazatel'stvo. Utverzhdaetsya, chto gruppy Ext^n_G(R,R(m))
zavisyat tol'ko ot podkategorij G_[0,m-1] i G_[1,m] v kategorii
graduirovannyh pravyh E-komodulej G, konechno porozhdennyh i
proektivnyh nad R. V samom dele, vsyakij klass Ext^n_G(R,R(m))
razlagaetsya v proizvedenie klassov Ext^1_G(R,X) i
Ext^{n-1}_G(X,R(m)), gde X\in G_[1,m-n+1]. Proizvedenie takih
dvuh klassov ravno nulyu togda i tol'ko togda, kogda klass
Ext^1_G(R,X) inducirovan s klassa Ext^1_G(R,Y) s pomosch'yu
morfizma Y\to X i klass Ext^{n-1}(Y,R(m)), inducirovannyj
s klassa Ext^{n-1}(X,R(m)) s pomosch'yu togo zhe morfizma,
raven nulyu. Pri etom mozhno schitat', chto Y\in G_[1,m-n+2]
(sm. dokazatel'stvo v p.2).

Vernemsya k dokazatel'stvu osnovnogo utverzhdeniya.
Implikaciya (d) => (a) nemedlenno sleduet iz Lemmy 2. Chtoby
dokazat', (a) => (d), vospol'zuemsya indukciej po vnutrennej
graduirovke m. Esli kogomologii kobar-kompleksa kokol'ca E
v (otricatel'noj) vnutrennej graduirovke vyshe -m
sosredotocheny na diagonali, to komponenty E_{-l} yavlyayutsya
ploskimi pravymi R-modulyami pri l < m, poskol'ku diagonal'nye
kogomologii kobar-kompleksa sut' komponenty kol'ca A, pro
kotorye my predpolagaem, chto oni ploskie pravye R-moduli.
Togda iz Lemm 2 i 3 sleduet, chto komponenta kobar-kompleksa
vnutrennej graduirovki -m vychislyaet Ext^n_G(R,R(m)) dlya
n >= 3. Poskol'ku my predpolagaem, chto eti gruppy Ext
zanulyayutsya pri n \ne m, otsyuda sleduet, chto
kobar-kompleks ne imeet kogomologij vne diagonali
vo vnutrennej graduirovke -m.

V. Zaklyuchenie i vyvody

Pust' D -- triangulirovannaya kategoriya s triangulirovannoj
avtoekvivalentnost'yu X\mpsto X(1) i tochnoj podkategoriej C
s trivial'noj inducirovannoj tochnoj strukturoj; predpolozhim
dopolnitel'no, chto additivnaya kategoriya C ekvivalentna
kategorii konechno porozhdennyh proektivnyh pravyh modulej nad
kol'com R. Pust' P: D\to D(E) -- tochnyj funktor, takoj chto
imeetsya estestvennyj isomorfizm P(X(1)) = P(X) dlya X\in D.
Predpolozhim dalee, chto P otobrazhaet C vnutr' E kak vpolne
strogij funktor, i chto funktor P induciruet izomorfizmy
Hom_D(R,R(i)[n]) = Ext_E^n(P(R),P(R)) pri i >= n, v to vremya
kak Hom_D(R,R(i)[n]) = 0 pri i < n. Togda:

(1) Tochnyaya podkategoriya F, porozhdennaya vsemi C(i) v D,
ekvivalentna tochnoj kategorii troek (konechno fil'trovannyj
ob#ekt E, konechno graduirovannyj ob#ekt v C, izomorfizm
mezhdu prisoedinennym faktorom k pervomu i obrazom vtorogo
pri P). Korotkaya posledovatel'nost' s nulevoj kompoziciej
v kategorii troek tochna, esli sootvetstvuyuschaya korotkaya
posledovatel'nost' graduirovannyh ob#ektov C rasschepimo tochna.

(2) Estestvennye otobrazheniya Ext^n_F(X,Y)\to Hom_D(X,Y[n])
yavlyayutsya izomorfizmami dlya vseh n togda i tol'ko togda,
kogda graduirovannoe kol'co A_n = Ext_E^n(P(R),P(R)) koshulevo.

(3) Pri etom koshulevost' neotricatel'no graduirovannogo
kol'ca ne zavisit ot ego komponenty graduirovki nol', mozhet
byt' opredelena v terminah "matrichnogo kompleksa Koshulya",
kak izlozheno v IV.2, a esli udaetsya podobrat' takuyu
nulevuyu komponentu, chto kol'co stanovitsya nad nej ploskim
s toj ili inoj storony, koshulevost' takogo kol'ca, ploskogo
nad svoej nulevoj komponentoj, interpretiruetsya obychnym
obrazom v terminah Tor^A(R,R), bar-konstrukcii, kompleksa
Koshulya, i distributivnosti reshetok.

Dokazatel'stvo: (1) dokazano v I, (3) ob#yasneno v IV;
ostaetsya prokommentirovat' (2). "Togda": iz kvadratichnosti
diagonal'nyh Ext'ov v F, biektivnosti otobrazhenij
Ext^n_F(X,Y) \to \Hom_D(X,Y[n]) dlya n = 0,1 i in#ektivnosti
ih dlya n = 2 sleduet, chto Ext^n_F(R,R(n)) = A_n i
Ext^n_F(R,R(m)) = A_n pri n = 1,2 i m >= n. Rassmotrim
kategoriyu G, postroennuyu po kategorii F, kak ob#yasneno v II.
Iz dlinnoj tochnoj posledovatel'nosti, svyazyvayuschej
Ext^n_F(R,R(m)) i Ext^n_G(R,R(m)) srazu sleduet, chto
Ext^n_G(R,R(n)) = A_n, Ext^1_G(R,R(m)) = 0 pri m >= 2, i
Ext^2_G(R,R(3)) = 0. Dokazhem indukciej po m, chto
Ext^2_G(R,R(m)) = 0 dlya m >= 4. Pust' Ext^2_G(R,R(k)) = 0
dlya 2 < k < m; togda iz koshulevosti A sleduet, chto
Ext^n_G(R,R(k)) = 0 dlya vseh n < k < m, i v chastnosti,
dlya n = 3. Poetomu cepochka otobrazhenij Ext^3_F(R,R(3))
\to Ext^3_F(R,R(4)) \to ... \to Ext^3_F(R,R(m-1)) sostoit iz
izomorfizmov. Otobrazhenie Ext^3_F(R,R(3)) \to
Ext^3_E(P(R),P(R)) yavlyaetsya izomorfizmom; etot izomorfizm
razlozhen v kompoziciyu izomorfizma Ext^3_F(R,R(3)) \to
Ext^3_F(R,R(m-1)), otobrazheniya Ext^3_F(R,R(m-1)) \to
Ext^3_F(R,R(m)), i otobrazheniya Ext^3_F(R,R(m)) \to
Ext^3_E(P(R),P(R)). Otsyuda sleduet, chto srednee otobrazhenie
yavlyaetsya vlozheniem, tak chto Ext^2_G(R,R(m)) = 0.
Teper' iz koshulevosti A sleduet, chto Ext^n_G(R,R(m)) = 0
pri n\ne m, otkuda Ext^n_F(R,R(m)) = A_n dlya n <= m.

"Tol'ko togda": rassmotrim tu zhe samuyu kategoriyu G.
Iz dlinnoj tochnoj posledovatel'nosti, svyazyvayuschej
Ext^n_F(R,R(m)) i Ext^n_G(R,R(m)) sleduet, chto Ext^n_G(R,R(m))
= A_n pri n = m i 0 pri n\ne m. Poetomu kol'co A koshulevo.