![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПусть A -- абелева категория, С -- аддитивная категория, и C->A -- аддитивный функтор. (В интересующем нас примере C будет полной подкатегорией в A.) Будем предполагать, что C содержит образы своих идемпотентных эндоморфизмов, и рассматривать C как точную категорию с тривиальной точной структурой. Обозначим через F точную категорию, объекты которой суть тройки (фильтрованный объект A; градуированный объект С; изоморфизм между присоединенным градуированным объектом к первому и образом второго при функторе C->A). Точная структура на F индуцирована точными структурами на C и A; другими словами, короткая последовательность с нулевой композицией точна, если расщепимо точна соответствующая короткая последовательность объектов C.
Наша цель -- построить присоединенную градуированную категорию G к F. Основное свойство точной категории G должно состоять в том, что для любых объектов X и Y из F существует длинная точная последовательность
... -> ExtFn(X,Y(-1)) -> ExtFn(X,Y) -> ExtGn(gr X, gr Y) -> ExtFn+1(X,Y(-1)) -> ...
При этом, конечно, G должна содержать последовательность точных подкатегорий Gi, эквивалентных C, у G должна быть антиэквивалентность, сдвигающая Gi и согласованная со сдвигом на F, между разными Gi не должно быть Hom'ов, а Ext'ы должны идти в одну сторону.
Предлагается следующая конструкция категории G. Рассмотрим категорию, объектами которой являются объекты A с двумя фильтрациями
...⊃ Ui ⊃ Vi ⊃ Ui+1 ⊃ Vi+1 ⊃ ...
снабженные поднятиями факторобъектов Ui/Vi и Vi/Ui+1 до объектов C и точных троек, представляющих собой расширения пар таких соседних факторобъектов, до расщепимых точных троек в C. Из этой категории есть функтор в категорию градуированных объектов в C, сопоставляющий бифильтрованному объекту с поднятиями совокупность поднятий факторобъектов Ui/Vi. Профакторизуем нашу категорию бифильтрованных объектов с поднятиями по идеалу морфизмов, индуцирующих нулевые морфизмы градуированных объектов C, и рассмотрим в факторкатегории класс морфизмов, индуцирующих изоморфизмы градуированных объектов в C. Мне кажется, я умею проверять, что этот класс морфизмов локализующий. Соответствующую локализацию предлагается использовать в роли категории G. Остается еще проверить, что это точная категория, и что имеет место искомая длинная точная последовательность Ext'ов.
Пример, который нас интересует, это, конечно, когда A есть категория модулярных или целочисленных представлений (про)конечной группы, а C есть подкатегория перестановочных представлений. Саша Б. в 1996-97 годах говорил мне, что описанное выше обобщение этого примера (с которым я тогда носился, но ничего не мог сделать) является слишком и невозможно общим, поскольку в примере с перестановочными представлениями важно, что класс представлений замкнут относительно двойственности; может быть, он имел в виду также, что он замкнут относительно тензорных произведений. Теперь мы, может быть, увидим, кто был прав.
Update: не только в интересующем примере, но и вообще нужно требовать, чтобы функтор C->A был вполне строгим. А вот нужно ли требовать, чтобы точная структура на C была тривиальной, это мы еще посмотрим.
Наша цель -- построить присоединенную градуированную категорию G к F. Основное свойство точной категории G должно состоять в том, что для любых объектов X и Y из F существует длинная точная последовательность
... -> ExtFn(X,Y(-1)) -> ExtFn(X,Y) -> ExtGn(gr X, gr Y) -> ExtFn+1(X,Y(-1)) -> ...
При этом, конечно, G должна содержать последовательность точных подкатегорий Gi, эквивалентных C, у G должна быть антиэквивалентность, сдвигающая Gi и согласованная со сдвигом на F, между разными Gi не должно быть Hom'ов, а Ext'ы должны идти в одну сторону.
Предлагается следующая конструкция категории G. Рассмотрим категорию, объектами которой являются объекты A с двумя фильтрациями
...⊃ Ui ⊃ Vi ⊃ Ui+1 ⊃ Vi+1 ⊃ ...
снабженные поднятиями факторобъектов Ui/Vi и Vi/Ui+1 до объектов C и точных троек, представляющих собой расширения пар таких соседних факторобъектов, до расщепимых точных троек в C. Из этой категории есть функтор в категорию градуированных объектов в C, сопоставляющий бифильтрованному объекту с поднятиями совокупность поднятий факторобъектов Ui/Vi. Профакторизуем нашу категорию бифильтрованных объектов с поднятиями по идеалу морфизмов, индуцирующих нулевые морфизмы градуированных объектов C, и рассмотрим в факторкатегории класс морфизмов, индуцирующих изоморфизмы градуированных объектов в C. Мне кажется, я умею проверять, что этот класс морфизмов локализующий. Соответствующую локализацию предлагается использовать в роли категории G. Остается еще проверить, что это точная категория, и что имеет место искомая длинная точная последовательность Ext'ов.
Пример, который нас интересует, это, конечно, когда A есть категория модулярных или целочисленных представлений (про)конечной группы, а C есть подкатегория перестановочных представлений. Саша Б. в 1996-97 годах говорил мне, что описанное выше обобщение этого примера (с которым я тогда носился, но ничего не мог сделать) является слишком и невозможно общим, поскольку в примере с перестановочными представлениями важно, что класс представлений замкнут относительно двойственности; может быть, он имел в виду также, что он замкнут относительно тензорных произведений. Теперь мы, может быть, увидим, кто был прав.
Update: не только в интересующем примере, но и вообще нужно требовать, чтобы функтор C->A был вполне строгим. А вот нужно ли требовать, чтобы точная структура на C была тривиальной, это мы еще посмотрим.
