![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicВвиду результатов предыдущих двух постингов (которые по-прежнему представляются правильными), вопрос о неплоской кошулевости можно интерпретировать как вопрос о (заведомо плоской по определению) кошулевости над абсолютным базовым кольцом, оно же поле из одного элемента, F1. Последняя идея как раз удачно по духу соответствует идее матричных умножений Масси, бимодули над F1 можно представлять себе как множества матриц.
Исходя из этих соображений, попробуем дать более удачную формулировку ответа из постинга про неплоский комплекс Кошуля. (Хотелось бы еще иметь аналогичную абсолютную бар-конструкцию и дистрибутивность абсолютной решетки.) Прежде всего отметим, что в описанной по ссылке ситуации кольцо диагональных когомологий An=Extn(R,R(n)) всегда квадратично. Наоборот, любое квадратичное кольцо может быть кольцом диагональных Ext'ов в такой категории; при этом можно добиться, чтобы Ext1 и Ext2 вне диагонали отсутствовали. В последнем случае, категория G однозначно восстанавливается по кольцу A, а именно, она есть категория конечно порожденных и проективных над R градуированных комодулей над градуированным кокольцом C над R, квадратично двойственным к A. Поэтому, если предполагать кольцо A квадратичным, то ответы на два вопроса, сформулированные по ссылке, совпадают.
Этот ответ формулируется ниже в терминах некого "матричного комплекса Кошуля" для A. Он не должен зависеть от R=A0, т.е., должен заменяться на эквивалентный при замене R на кольцо целых чисел. Кроме того, он должен быть лево-право симметричен. Условие квадратичности кольца A этот ответ в себя включает как условие "точности" в двух крайних членах "комплекса" (при m=0 и 1; см. далее).
Итак, пусть M1, ..., Mm -- прямоугольные матрицы, составленные из элементов A1, причем линейные размеры этих матриц соответствуют одни другим, так что их можно компоновать в выписанном порядке, т.е. произведения MiMi+1 имеют смысл как матрицы с компонентами из A2. Предположим к тому же, что все эти произведения равны нулю. Пусть N -- прямоугольная матрица, составленная из элементов An, причем линейный размер ее таков, что произведение MmN имеет смысл как матрица с компонентами из An+1; предположим, что и это произведение тоже равно нулю. Тогда должны существовать прямоугольные матрицы Ki с компонентами из R, матрицы M'i с компонентами из A1, матрица P с компонентами из A1, и матрица Q с компонентами из An-1, такие что
M1 = M'1K1, K1M2 = M'2K2, ..., Km-1Mm = M'mKm, KmN = PQ,
и M'iM'i+1 = 0 для всех i, M'mP = 0.
Исходя из этих соображений, попробуем дать более удачную формулировку ответа из постинга про неплоский комплекс Кошуля. (Хотелось бы еще иметь аналогичную абсолютную бар-конструкцию и дистрибутивность абсолютной решетки.) Прежде всего отметим, что в описанной по ссылке ситуации кольцо диагональных когомологий An=Extn(R,R(n)) всегда квадратично. Наоборот, любое квадратичное кольцо может быть кольцом диагональных Ext'ов в такой категории; при этом можно добиться, чтобы Ext1 и Ext2 вне диагонали отсутствовали. В последнем случае, категория G однозначно восстанавливается по кольцу A, а именно, она есть категория конечно порожденных и проективных над R градуированных комодулей над градуированным кокольцом C над R, квадратично двойственным к A. Поэтому, если предполагать кольцо A квадратичным, то ответы на два вопроса, сформулированные по ссылке, совпадают.
Этот ответ формулируется ниже в терминах некого "матричного комплекса Кошуля" для A. Он не должен зависеть от R=A0, т.е., должен заменяться на эквивалентный при замене R на кольцо целых чисел. Кроме того, он должен быть лево-право симметричен. Условие квадратичности кольца A этот ответ в себя включает как условие "точности" в двух крайних членах "комплекса" (при m=0 и 1; см. далее).
Итак, пусть M1, ..., Mm -- прямоугольные матрицы, составленные из элементов A1, причем линейные размеры этих матриц соответствуют одни другим, так что их можно компоновать в выписанном порядке, т.е. произведения MiMi+1 имеют смысл как матрицы с компонентами из A2. Предположим к тому же, что все эти произведения равны нулю. Пусть N -- прямоугольная матрица, составленная из элементов An, причем линейный размер ее таков, что произведение MmN имеет смысл как матрица с компонентами из An+1; предположим, что и это произведение тоже равно нулю. Тогда должны существовать прямоугольные матрицы Ki с компонентами из R, матрицы M'i с компонентами из A1, матрица P с компонентами из A1, и матрица Q с компонентами из An-1, такие что
M1 = M'1K1, K1M2 = M'2K2, ..., Km-1Mm = M'mKm, KmN = PQ,
и M'iM'i+1 = 0 для всех i, M'mP = 0.
