Неплоская кошулевость

[posic]

Развитие http://posic.livejournal.com/379662.html

Во-первых, вопрос по ссылке, кажется, не самый удачный из возможных. Самое интересное не то, при каких условиях на Extⁿ(R,R(n)) отсутствие внедиагональных Ext¹ и Ext² влечет отсутствие внедиагональных высших Ext'ов. Самое интересное, что можно сказать о градуированном кольце Extⁿ(R,R(n)) при условии, что внедиагональных Ext'ов нет. Какие градуированные кольца можно так получить? В отличие от вопроса по ссылке, к этому более интересному вопросу не очень понятно, как подступиться. Если тут и могут помочь операции Масси, то только при какой-то более возвышенной точке зрения.

Что касается вопроса по ссылке, то детали надо проверять, но предположительный ответ такой. Во-первых, почему Extⁿ(R,R(m)) порождаются операциями Масси из Ext¹? Вот почему: всякий такой Extⁿ есть композиция Ext^n-1(R,X) и Ext¹(X,R(m)), для некоторого объекта X из G. На объекте X есть фильтрация с присоединенными факторами из G_i; с этой фильтрацией связана последовательность классов Ext¹ между присоединенными факторами. Вот наш класс Extⁿ и является произведением Масси всех этих классов Ext¹ между присоединенными факторами (стоящих посередине), класса Ext¹ из того присоединенного фактора, который является подобъектом X, в R(m) (c одного из краев), и класса Ext^n-1 из R в тот присоединенный фактор, который является факторобъектом X (с другого края).

Если стартовать отсюда и рассуждать по индукции по n и m, то на вид очень похоже, что ответ на вопрос по ссылке будет такой. Нужное условие кошулевости на алгебру диагональных Ext'oв -- это условие точности комплекса Кошуля, построенного как тензорное произведение (над R) алгебры диагональных Ext'ов на квадратично двойственную к ее квадратичной части (которая совпадает с ней самой, если это условие выполнено) квадратичную коалгебру (или, лучше сказать, кокольцо). Здесь определение квадратичного кокольца в неплоском случае не вполне тривиально; его отображение в тензорное кокольцо может не быть вложением. По этому поводу см. старый недописанный текст, раздел 3.2. При таком определении ниоткуда вроде не следует, что левая кошулевость совпадает с правой кошулевостью; для положительного ответа на наш вопрос достаточно любого одного из этих двух свойств. [Вряд ли это правильный ответ, см. последующие постинги.]

А еще, например, кошулевость неотрицательно градуированной алгебры A с нулевой компонентой R можно определить условием зануления Tor^A(R,R) вне диагонали. Это условие лево-право симметрично, но не видно, чтобы оно было эквивалентно тому, что выше. Обычное доказательство с минимальными резольвентами не проходит, кажется.

Comments

[potap.livejournal.com]

Это ладно. А вы можете описать явно ad-инвариантную подалгебру тензорной степени S(gl_N)^\otimes{ n} ?

[posic.livejournal.com]

Это кому как. Я об эту задачу еще в 1996 году лоб расшиб, теперь вот вернулся к ней, так хоть какой ни есть прогресс, и то дело.

А вы сколько лет уже пытаетесь вычислить свою ad-инвариантную подалгебру? Я бы заглянул для начала в книжку Винберга-Онищика, там в упражнениях были, смутно помнится мне, какие-то сведения о тензорных операциях с неприводимыми представлениями gl, включая, может быть даже, и присоединенное. А дальше -- не знаю, должна же быть на свете какая-то литература по теории инвариантов и алгебраической комбинаторике, типа представлений gl с симметрической группой напополам.

[etre-moral.livejournal.com]

А не то что про это давным-давно была гипотеза Прочези, которую (помимо прочего) в начале 90х доказал Стив Донкин? В Инвенционес должна быть статья, и за его же авторством подробная книга.

[potap.livejournal.com]

Не могу через опера-мини ответить на комнент, только на исходную запись.
Я ответ знаю. Фейгин в личной беседе одобрил. Но нет аккуратного доказательства. И нет ссылок на тексты, где это доказано.

[etre-moral.livejournal.com]

Так посмотрите тексты Донкина, серьёзно. Или можно у него лично даже спросить: http://maths.york.ac.uk/www/sd510/

[potap.livejournal.com]

Текстов -- ни на домашней странице, ни на архиве -- я не нашел, а Донкину написал.

[potap.livejournal.com]

Донкин ответил, что требуемое мне утверждение (что при N\to\infty ad-инвариантная часть n-й тензорной степени S(gl_N) естественно отождествляется со свободной полиномиальной алгеброй, порожденной ожерельями) доказано в его статье "Invariant functions on matrices", Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 113, (1993), 23-43. Статью в виде pdf я раздобыл, но не смог понять, что этот факт в ней доказан (в явном виде он не упоминается, а разобраться в соответствии терминов сил не хватает -- соображаю медленно). Вы не могли бы заглянуть в этот текст (сейчас вышлю) и сказать, где там что?

[etre-moral.livejournal.com]

Я ответил вкратце на е-майл.

[potap.livejournal.com]

Это написано в статье Steve Donkin, "Invariant functions on matrices", Math. Proc, Camb. Phil. Soc. 113, (1993), 23-43. Лично усмотрел ответ непосредственно, не располагая полным доказательством. Фейгину этобыло очевидно.

[potap.livejournal.com]

В инвенционес и в книге этого нет. См. ссылку выше.