Средние НОДов
Feb. 8th, 2010 10:21 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicВ связи с предыдущим постингом/комментом про Батуми вспомнилось, что первым моим очень-условно-новым математическим результатом (совместным с А.П. и под руководством А.В.) было решение такой задачи, которое мы придумали в поезде и кто-то из нас -- забыл уже, кто, кажется, я -- в Батуми рассказывал. Подробности аргумента я напрочь не помню, помню только ответ. Задача такая: составили таблицу NxN, и на пересечении i-й строки и j-го столбца вписали число -- наибольший общий делитель i и j. Получилось N2 чисел, у которых взяли
а) среднее арифметическое;
б) среднее геометрическое.
Как ведет себя эта величина при стремлении N к бесконечности? Ответ состоит в том, что в случае а) среднее стремится к бесконечности, возрастая с асимптотикой (6/π2)ln N; в случае же б) среднее имеет конечный предел, равный, если мне не изменяет память, сумме ряда (ln k)/k2 (или какому-то простому выражению от этой суммы).
Позже Саша С., прослышав про это дело, приставал ко мне, тогда уже студенту, в коридорах 57-й школы с ответами для всевозможных степенных средних в той же задаче, там возникали, натурально, какие-то значения дзета-функции, а каким был основной множитель, я опять же не помню (N, наверно). Сумма ряда в случае б) имеет несложное отношение к производной дзета-функции, ну а 6/π2 -- понятно. К сожалению, я не стал вникать в то, что мне говорил тогда Саша, а сам он вскоре погиб, и история не имела продолжения.
а) среднее арифметическое;
б) среднее геометрическое.
Как ведет себя эта величина при стремлении N к бесконечности? Ответ состоит в том, что в случае а) среднее стремится к бесконечности, возрастая с асимптотикой (6/π2)ln N; в случае же б) среднее имеет конечный предел, равный, если мне не изменяет память, сумме ряда (ln k)/k2 (или какому-то простому выражению от этой суммы).
Позже Саша С., прослышав про это дело, приставал ко мне, тогда уже студенту, в коридорах 57-й школы с ответами для всевозможных степенных средних в той же задаче, там возникали, натурально, какие-то значения дзета-функции, а каким был основной множитель, я опять же не помню (N, наверно). Сумма ряда в случае б) имеет несложное отношение к производной дзета-функции, ну а 6/π2 -- понятно. К сожалению, я не стал вникать в то, что мне говорил тогда Саша, а сам он вскоре погиб, и история не имела продолжения.
