Теория Галуа для коалгебр и коколец
Feb. 3rd, 2010 05:16 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПочитал, что пишут.
1. Изначальной идеей было заменить группу Галуа G расширения полей E/F на алгебру Хопфа (обобщающую групповую алгебру H=F[G] или групповую коалгебру C=F(G)). (В другом варианте, можно сделать Н или C обобщением k[G] или k(G), где k -- "базовое" поле, содержащееся в F.) Отсюда получается теория Галуа несепарабельных расширений. В частности, для чисто несепарабельного расширения алгебра Хопфа H типичным образом оказывается конильпотентной, как коалгебра. Когда H или С бесконечномерна (случай бесконечного алгебраического расширения), лучше рассматривать C, чем H, конечно.
2. Следующий шаг состоит в том, чтобы рассмотреть полупрямое произведение E#H; типичным образом это будет алгебра матриц над F. В бесконечномерном случае вместо алгебры E#H появляется кокольцо D -- сплетенное (entwined) произведение E и C над F (или над k). В хороших случаях категория D-комодулей эквивалентна категории F-модулей.
3. Далее, поля заменяют на некоммутативные кольца, про структуры сплетения забывают, и рассматривают класс коколец, похожих на кокольца D выше. Реально кокольцами Галуа называют (не все, но достаточно приличные) кокольца вида D = B⊗AB над B. Например, достаточно, чтобы В было строго плоским A-модулем с одной из сторон. (В ситуации с коалгеброй С свойство Галуа, собственно, в том и состоит, что B⊗AB ≅ B⊗kC, если C определена над базовым полем k.)
4. Наконец, морфизм колец A->B выше можно заменить на морфизм Мориты, т.е., А-В-бимодуль E, проективный и конечно порожденный над B. Про соответствующее кокольцо D = E*⊗AE, где E*=HomBop(E,B), говорят (если оно достаточно приличное), что E является правым комодулем Галуа над ним. Примерно в этом состоит определение комодулей Галуа.
Короче: ничего интересного (кроме отчасти п.1).
1. Изначальной идеей было заменить группу Галуа G расширения полей E/F на алгебру Хопфа (обобщающую групповую алгебру H=F[G] или групповую коалгебру C=F(G)). (В другом варианте, можно сделать Н или C обобщением k[G] или k(G), где k -- "базовое" поле, содержащееся в F.) Отсюда получается теория Галуа несепарабельных расширений. В частности, для чисто несепарабельного расширения алгебра Хопфа H типичным образом оказывается конильпотентной, как коалгебра. Когда H или С бесконечномерна (случай бесконечного алгебраического расширения), лучше рассматривать C, чем H, конечно.
2. Следующий шаг состоит в том, чтобы рассмотреть полупрямое произведение E#H; типичным образом это будет алгебра матриц над F. В бесконечномерном случае вместо алгебры E#H появляется кокольцо D -- сплетенное (entwined) произведение E и C над F (или над k). В хороших случаях категория D-комодулей эквивалентна категории F-модулей.
3. Далее, поля заменяют на некоммутативные кольца, про структуры сплетения забывают, и рассматривают класс коколец, похожих на кокольца D выше. Реально кокольцами Галуа называют (не все, но достаточно приличные) кокольца вида D = B⊗AB над B. Например, достаточно, чтобы В было строго плоским A-модулем с одной из сторон. (В ситуации с коалгеброй С свойство Галуа, собственно, в том и состоит, что B⊗AB ≅ B⊗kC, если C определена над базовым полем k.)
4. Наконец, морфизм колец A->B выше можно заменить на морфизм Мориты, т.е., А-В-бимодуль E, проективный и конечно порожденный над B. Про соответствующее кокольцо D = E*⊗AE, где E*=HomBop(E,B), говорят (если оно достаточно приличное), что E является правым комодулем Галуа над ним. Примерно в этом состоит определение комодулей Галуа.
Короче: ничего интересного (кроме отчасти п.1).
