Ацикличные комплексы
Oct. 28th, 2009 07:34 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicРезольвентой чего является ацикличный комплекс? Кажется, философия гомологической алгебры знает два возможных ответа на этот вопрос.
1. Ацикличный комплекс как резольвента своего модуля циклов в степени 0. На этой идее основана теория когомологий Тейта, где ключевую роль играет категория бесконечных в обе стороны ацикличных комплексов с какими-то там свойствами приспособленности. Типичный пример -- внешняя алгебра с одной образующей Λ и известный бесконечный в обе стороны, нестягиваемый, ацикличный комплекс проективно-инъективных Λ-модулей (с одной (ко)образующей).
2. Ацикличный комплекс как резольвента не вполне понятно, чего, помещенного в степень плюс или минус бесконечность. На эту тему рассуждает А.В. в своей известной статье, (преувеличенно громко, на мой взгляд) озаглавленной "Полубесконечная гомологическая алгебра".
Типичным примером может служить симметрическая коалгебра C с бесконечным числом кообразующих. Если рассмотреть тривиальный C-комодуль k, написать ему правую инъективную резольвенту в категории С-комодулей, и применить функтор комодульно-контрамодульного соответствия &PsiC = Hom_C(C,-), получится ацикличный комплекс свободных C-контрамодулей, который можно представлять себе, как проективную резольвенту тривиального контрамодуля k, помещенного в когомологическую степень +∞. На самом деле в плюс бесконечности сидит, конечно, не k, а некое условное одномерное векторное пространство, не вполне существующее, поскольку бесконечно подкрученное. Чтобы понять, что происходит, можно заменить C на симметрическую коалгебру с конечным числом n кообразующих; тогда RΨC(k) будет одномерным контрамодулем, сидящим в когомологической градуировке n. На более привычном языке алгебр, речь здесь идет о вычислении Ext*A(k,A) для кольца многочленов A от конечного или бесконечного числа переменных.
А.В. рассказывает некую смутную мечту о том, как можно было бы вычислять полубесконечные гомологии алгебр Ли с помощью а) бесконечной в обе стороны резольвенты модуля, помещенного в степень 0, составленной из полурегулярных (полуективных) модулей, или б) бесконечной резольвенты модуля, помещенного в степень +∞, составленной из проективных модулей. В самом деле, рассмотрим полуалгебру S, связанную с тейтовской алгеброй Ли с пронильпотентной компактной открытой подалгеброй. У тривиального S-полумодуля k есть бесконечная в обе стороны резольвента R, которая есть тензорное произведение (над k) полумодуля S на пространство полубесконечных внешних форм. Когомологии R в степени 0 равны k, а в остальных степенях -- нулю. Подействуем на R функтором комодульно-контрамодульного соответствия ΨS = HomS(S,-). Получится комплекс проективных полуконтрамодулей над S, как объяснено (до какой-то степени) выше, ацикличный. Полубесконечные гомологии какого-нибудь модуля N можно вычислить, применив к N и ΨS(R) точный справа функтор контратензорного произведения над S (по сути, обычное тензорное произведение, только с поправкой на контрамодульность). Их же можно получить, применив к N и R не точный ни слева, ни справа функтор полутензорного произведения над S.
Я долго пытался думать о том, резольвентами чего, живущего на бесконечности, следует считать ацикличные комплексы, какую категорию эти неизвестно кто образуют, в каком смысле они живут именно на бесконечности, и т.д. Но похоже, что это все лишнее. Рассмотрим какой-нибудь S-полумодуль M и помножим его тензорно (над k) на комплекс R; получится двустворонняя резольвента M, составленная из полу(про)ективных полумодулей. Если применить к R⊗kM функтор ΨS, получится, вообще говоря, отнюдь не ацикличный комплекс. Только когда M=k, этот комплекс ацикличен. Тем не менее, это все равно комплекс проективных полуконтрамодулей, и применение к нему функтора контратензорного произведения выдает комплекс, вычисляющий полубесконечные гомологии.
Мораль: с точки зрения пункта 2, не следует ограничиваться одними только ацикличными комплексами. Просто любой объект контрапроизводной категории имеет, наряду с когомологиями в конечных степенях, некие очень условные "когомологии на плюс бесконечности". А объект копроизводной категории -- имеет "когомологии на минус бесконечности". В отдельных случаях объекты контрапроизводной категории могут мыслиться как (проективные) резольвенты чего-то там, живущего на плюс бесконечности. Что это за отдельные случаи -- трудно сказать, но вопрос не обязательно сводится к рассмотрению подкатегории в контрапроизводной категории, состоящей из ацикличных комплексов.
1. Ацикличный комплекс как резольвента своего модуля циклов в степени 0. На этой идее основана теория когомологий Тейта, где ключевую роль играет категория бесконечных в обе стороны ацикличных комплексов с какими-то там свойствами приспособленности. Типичный пример -- внешняя алгебра с одной образующей Λ и известный бесконечный в обе стороны, нестягиваемый, ацикличный комплекс проективно-инъективных Λ-модулей (с одной (ко)образующей).
2. Ацикличный комплекс как резольвента не вполне понятно, чего, помещенного в степень плюс или минус бесконечность. На эту тему рассуждает А.В. в своей известной статье, (преувеличенно громко, на мой взгляд) озаглавленной "Полубесконечная гомологическая алгебра".
Типичным примером может служить симметрическая коалгебра C с бесконечным числом кообразующих. Если рассмотреть тривиальный C-комодуль k, написать ему правую инъективную резольвенту в категории С-комодулей, и применить функтор комодульно-контрамодульного соответствия &PsiC = Hom_C(C,-), получится ацикличный комплекс свободных C-контрамодулей, который можно представлять себе, как проективную резольвенту тривиального контрамодуля k, помещенного в когомологическую степень +∞. На самом деле в плюс бесконечности сидит, конечно, не k, а некое условное одномерное векторное пространство, не вполне существующее, поскольку бесконечно подкрученное. Чтобы понять, что происходит, можно заменить C на симметрическую коалгебру с конечным числом n кообразующих; тогда RΨC(k) будет одномерным контрамодулем, сидящим в когомологической градуировке n. На более привычном языке алгебр, речь здесь идет о вычислении Ext*A(k,A) для кольца многочленов A от конечного или бесконечного числа переменных.
А.В. рассказывает некую смутную мечту о том, как можно было бы вычислять полубесконечные гомологии алгебр Ли с помощью а) бесконечной в обе стороны резольвенты модуля, помещенного в степень 0, составленной из полурегулярных (полуективных) модулей, или б) бесконечной резольвенты модуля, помещенного в степень +∞, составленной из проективных модулей. В самом деле, рассмотрим полуалгебру S, связанную с тейтовской алгеброй Ли с пронильпотентной компактной открытой подалгеброй. У тривиального S-полумодуля k есть бесконечная в обе стороны резольвента R, которая есть тензорное произведение (над k) полумодуля S на пространство полубесконечных внешних форм. Когомологии R в степени 0 равны k, а в остальных степенях -- нулю. Подействуем на R функтором комодульно-контрамодульного соответствия ΨS = HomS(S,-). Получится комплекс проективных полуконтрамодулей над S, как объяснено (до какой-то степени) выше, ацикличный. Полубесконечные гомологии какого-нибудь модуля N можно вычислить, применив к N и ΨS(R) точный справа функтор контратензорного произведения над S (по сути, обычное тензорное произведение, только с поправкой на контрамодульность). Их же можно получить, применив к N и R не точный ни слева, ни справа функтор полутензорного произведения над S.
Я долго пытался думать о том, резольвентами чего, живущего на бесконечности, следует считать ацикличные комплексы, какую категорию эти неизвестно кто образуют, в каком смысле они живут именно на бесконечности, и т.д. Но похоже, что это все лишнее. Рассмотрим какой-нибудь S-полумодуль M и помножим его тензорно (над k) на комплекс R; получится двустворонняя резольвента M, составленная из полу(про)ективных полумодулей. Если применить к R⊗kM функтор ΨS, получится, вообще говоря, отнюдь не ацикличный комплекс. Только когда M=k, этот комплекс ацикличен. Тем не менее, это все равно комплекс проективных полуконтрамодулей, и применение к нему функтора контратензорного произведения выдает комплекс, вычисляющий полубесконечные гомологии.
Мораль: с точки зрения пункта 2, не следует ограничиваться одними только ацикличными комплексами. Просто любой объект контрапроизводной категории имеет, наряду с когомологиями в конечных степенях, некие очень условные "когомологии на плюс бесконечности". А объект копроизводной категории -- имеет "когомологии на минус бесконечности". В отдельных случаях объекты контрапроизводной категории могут мыслиться как (проективные) резольвенты чего-то там, живущего на плюс бесконечности. Что это за отдельные случаи -- трудно сказать, но вопрос не обязательно сводится к рассмотрению подкатегории в контрапроизводной категории, состоящей из ацикличных комплексов.
