Я думаю такъ: математика - это абстрактное естествознанiе.
Гдѣ физикъ рѣшаетъ конкретное уравненiе, причёмъ приближённо, математикъ находитъ нѣкое свойство всѣхъ такихъ рѣшенiй похожихъ уравненiй, причёмъ точно. Гдѣ химiя изслѣдуетъ свойства колебанiй конкретной молекулы или кристалла, математика находитъ описанiе и свойства всѣхъ группъ симметрiи всѣхъ возможныхъ молекулъ и всѣхъ кристалловъ въ любомъ многомѣрномъ пространствѣ.
Цѣль физика: найти уравненiе, достаточно точно описывающее какое-то явленiе, и рѣши это уравненiе приближённо. Цѣль математика: найти какую-то рѣшаемую задачу и понять, почему она рѣшается и какъ обобщить эту структуру дальше, какiя ещё задачи можно ставить.
Для физика не нужно "знать математику лучше, чѣмъ сами математики." Это и невозможно. Это такой былъ пунктикъ у физиковъ школы Ландау - мы молъ и безъ математиковъ сами всё можемъ придумать. Въ результатѣ у Ландау-Лифшица провалы (недоучили математику). Трудно оказалось всю нужную для физики математику самимъ придумать, криво получилось.
Для теорфизика нужно знать немного математики и всегда быть готовымъ узнать немного больше и сдѣлать микро-продвиженiе въ сторону математики. Для физика-прикладника или химика - нужно знать только содержимое учебника Фихтенгольца плюсъ умѣть пользоваться таблицами интеграловъ и рядовъ Градштейна-Рыжика. (Кстати, думаю, что сегодня на свѣтѣ есть не болѣе 10 человѣкъ, которые знаютъ, какъ выводятся всѣ эти интегралы.)
Кстати, недавно я узналъ, почему такъ трудно получать на компьютерѣ правильные численные результаты. Дѣло въ томъ, что вычисленiя съ плавающей точкой (основа работы всѣхъ численныхъ методовъ) - не являются ассоцiативными операцiями, т.е. нарушены аксiомы поля R. Напримѣръ, x=(1-1)+x, а вотъ 1+(-1+x)=0, для всѣхъ достаточно малыхъ x, изъ-за округленiя. Поэтому получается 1-x=1 хотя x не равно нулю, и (1-1)+x не равно 1+(-1+x). А считать безъ округленiя или со строгимъ контролемъ округленiя - медленно получается, ну и тяжело разрабатывать нужныя (и работающiя!) формулы.
Нас этому учили на численных методах. Например, если нужно сложить много положительных чисел, то надо складывать их, начиная с самых маленьких. Как следует действовать, если много чисел разного знака, я уж и не знаю. С другой стороны, наверно, можно пользоваться числами с фиксированной точкой. Тогда будут проблемы не со сложением, а с умножением.
Считать со строгим контролем округления можно научиться, наверно. Будет медленнее в несколько раз, но это не беда, мне кажется. Так или иначе, в предел возможностей компьютеров по скорости и памяти когда-нибудь мы все (кто ими пользуется) упремся.
Когда много чиселъ разного знака и нельзя предсказать знакъ, то нѣтъ никакого выхода, кромѣ какъ терять точность. Сейчасъ есть возможность назначить всѣмъ числамъ, скажемъ, точность въ 1000 знаковъ и всё такъ считать. Это гораздо медленнѣе, но результатъ гарантированъ. Я когда-то интересовался, какъ можно наиболѣе оптимально вычислить разныя функцiи съ точностью въ N знаковъ, когда N очень велико. Оказывается, что функцiи дѣлятся на классы по этому признаку, и напримѣръ вычислить квадратный корень, синусъ, и функцiю Бесселя - одинаково быстро, а дзета-функцiю Римана или гамма-функцiю - гораздо медленнѣе (причина - эти функцiи не являются рѣшенiями дифф. ур. съ полиномiальными коэффицiентами).
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png)
timeasmymeasure
no subject
Date: 2009-10-07 07:58 pm (UTC)Гдѣ физикъ рѣшаетъ конкретное уравненiе, причёмъ приближённо, математикъ находитъ нѣкое свойство всѣхъ такихъ рѣшенiй похожихъ уравненiй, причёмъ точно. Гдѣ химiя изслѣдуетъ свойства колебанiй конкретной молекулы или кристалла, математика находитъ описанiе и свойства всѣхъ группъ симметрiи всѣхъ возможныхъ молекулъ и всѣхъ кристалловъ въ любомъ многомѣрномъ пространствѣ.
Цѣль физика: найти уравненiе, достаточно точно описывающее какое-то явленiе, и рѣши это уравненiе приближённо. Цѣль математика: найти какую-то рѣшаемую задачу и понять, почему она рѣшается и какъ обобщить эту структуру дальше, какiя ещё задачи можно ставить.
Для физика не нужно "знать математику лучше, чѣмъ сами математики." Это и невозможно. Это такой былъ пунктикъ у физиковъ школы Ландау - мы молъ и безъ математиковъ сами всё можемъ придумать. Въ результатѣ у Ландау-Лифшица провалы (недоучили математику). Трудно оказалось всю нужную для физики математику самимъ придумать, криво получилось.
Для теорфизика нужно знать немного математики и всегда быть готовымъ узнать немного больше и сдѣлать микро-продвиженiе въ сторону математики. Для физика-прикладника или химика - нужно знать только содержимое учебника Фихтенгольца плюсъ умѣть пользоваться таблицами интеграловъ и рядовъ Градштейна-Рыжика. (Кстати, думаю, что сегодня на свѣтѣ есть не болѣе 10 человѣкъ, которые знаютъ, какъ выводятся всѣ эти интегралы.)
no subject
Date: 2009-10-07 08:30 pm (UTC)no subject
Date: 2009-10-07 08:49 pm (UTC)Считать со строгим контролем округления можно научиться, наверно. Будет медленнее в несколько раз, но это не беда, мне кажется. Так или иначе, в предел возможностей компьютеров по скорости и памяти когда-нибудь мы все (кто ими пользуется) упремся.
no subject
Date: 2009-10-08 09:03 am (UTC)