Мне кажется, свойства а) и б) очевидным образом эквивалентны для любого кольца.
а) => б) Рассмотрим ацикличный комплекс проективных модулей P. По предположению, все комплексы проективных модулей над нашим кольцом R гомотопически проективны. Значит, мы имеем дело с ацикличным гомотопически проективным комплексом Р. По определению, все морфизмы комплексов из гомотопически проективного комплекса в ацикличный комплекс гомотопны нулю. Значит, тождественный эндоморфизм нашего комплекса P гомотопен нулю, т.е., комплекс P стягиваем.
б) => а) Пусть Р -- комплекс проективных модулей над кольцом R. Для всякого комплекса R-модулей M существует гомотопически проективный комплекс проективных R-модулей F вместе с квазиизоморфизмом комплексов R-модулей F --> M (это стандартный базовый факт про гомотопически проективные комплексы модулей, восходящий к классической статье Спалтенштейна). В частности, мы имеем квазиизоморфизм комплексов R-модулей F --> P, где F -- подходящий гомотопически проективный комплекс проективных R-модулей. Теперь конус C морфизма комплексов R-модулей F --> P является ацикличным (т.к. F --> P квазиизоморфизм) комплексом проективных R-модулей (т.к. F и P -- оба комплексы проективных R-модулей). По предположению, отсюда следует, что комплекс R-модулей C стягиваем.
Теперь мы знаем, что F --> P -- морфизм комплексов R-модулей со стягиваемым конусом, т.е., гомотопическая эквивалентность комплексов R-модулей. Наконец, любой комплекс, гомотопически эквивалентный гомотопически проективному комплексу R-модулей, гомотопически проективен (как следует сразу из определения). Поскольку F -- гомотопически проективный комплекс, а комплекс P гомотопически эквивалентен F, то комплекс P тоже гомотопически проективен.
![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
no subject
Date: 2024-08-23 10:48 am (UTC)а) => б) Рассмотрим ацикличный комплекс проективных модулей P. По предположению, все комплексы проективных модулей над нашим кольцом R гомотопически проективны. Значит, мы имеем дело с ацикличным гомотопически проективным комплексом Р. По определению, все морфизмы комплексов из гомотопически проективного комплекса в ацикличный комплекс гомотопны нулю. Значит, тождественный эндоморфизм нашего комплекса P гомотопен нулю, т.е., комплекс P стягиваем.
б) => а) Пусть Р -- комплекс проективных модулей над кольцом R. Для всякого комплекса R-модулей M существует гомотопически проективный комплекс проективных R-модулей F вместе с квазиизоморфизмом комплексов R-модулей F --> M (это стандартный базовый факт про гомотопически проективные комплексы модулей, восходящий к классической статье Спалтенштейна). В частности, мы имеем квазиизоморфизм комплексов R-модулей F --> P, где F -- подходящий гомотопически проективный комплекс проективных R-модулей. Теперь конус C морфизма комплексов R-модулей F --> P является ацикличным (т.к. F --> P квазиизоморфизм) комплексом проективных R-модулей (т.к. F и P -- оба комплексы проективных R-модулей). По предположению, отсюда следует, что комплекс R-модулей C стягиваем.
Теперь мы знаем, что F --> P -- морфизм комплексов R-модулей со стягиваемым конусом, т.е., гомотопическая эквивалентность комплексов R-модулей. Наконец, любой комплекс, гомотопически эквивалентный гомотопически проективному комплексу R-модулей, гомотопически проективен (как следует сразу из определения). Поскольку F -- гомотопически проективный комплекс, а комплекс P гомотопически эквивалентен F, то комплекс P тоже гомотопически проективен.