Предположение. Для кольца R, над которым счётные суммы инъективных имеют конечную размерность, следующие два свойства эквивалентны:
а) все комплексы проективных модулей гомотопически проективны;
б) любой ацикличный комплекс проективных модулей стягиваем?
Недавно Ларс Кристенсен доказал, что если R коммутативное нётерово, то эти два свойства эквивалентны друг другу, и следующим двум:
в) все комплексы компактных проективных модулей гомотопически проективны;
г) R регулярно.
Его доказательство, конечно, использует Ауслендера-Бухсбаума, и прочие приятные коммутативные теоремы; но было бы приятно узнать, насколько свойства а) и б) независимы в более общем случае.
(Некоторые довольно мутные рассуждения навели меня на мысль, что раз свойства такого сорта часто удобно доказывать, если пользоваться не всегда присутствующей точностью произведений в категории когерентных функторов Fun^+(mod-R, Ab),то, возможно, некоторые конструкции, требующие точности произведений, можно заменить на вычисления в Бекеровской контрапроизводной категории от когерентных функторов, но нужно что-то понимать про локализацию из гомотопической категории в Бекеровскую...)
![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
no subject
Date: 2024-08-23 10:28 am (UTC)Предположение. Для кольца R, над которым счётные суммы инъективных имеют конечную размерность, следующие два свойства эквивалентны:
а) все комплексы проективных модулей гомотопически проективны;
б) любой ацикличный комплекс проективных модулей стягиваем?
Недавно Ларс Кристенсен доказал, что если R коммутативное нётерово, то эти два свойства эквивалентны друг другу, и следующим двум:
в) все комплексы компактных проективных модулей гомотопически проективны;
г) R регулярно.
Его доказательство, конечно, использует Ауслендера-Бухсбаума, и прочие приятные коммутативные теоремы; но было бы приятно узнать, насколько свойства а) и б) независимы в более общем случае.
(Некоторые довольно мутные рассуждения навели меня на мысль, что раз свойства такого сорта часто удобно доказывать, если пользоваться не всегда присутствующей точностью произведений в категории когерентных функторов Fun^+(mod-R, Ab),то, возможно, некоторые конструкции, требующие точности произведений, можно заменить на вычисления в Бекеровской контрапроизводной категории от когерентных функторов, но нужно что-то понимать про локализацию из гомотопической категории в Бекеровскую...)