Вспоминая (не)вспоминаемое: t-структуры и кошулевость

[posic]

Пусть на триангулированной категории D имеется t-структура, в сердцевине E которой все объекты имеют конечную длину. Рассмотрим "градуированную алгебру со многими объектами" Ext-ов в D между неприводимыми объектами из E. Если эта алгебра кошулева, то Ext-ы в E изоморфны Ext-ам в D. Я анонсировал этот результат лет 12 назад, но не записал и с тех пор в основном забыл. По случаю, попробовал тут вспомнить.

Идеи доказательства такие: рассмотрим точную категорию F конечно-фильтрованных объектов из D, присоединенные факторы которых принадлежат полупростой части Е. Ext-ы в категории E можно получить предельным переходом по ослаблению условий, налагаемых фильтрацией, из Ext-ов в категории F. Рассмотрим функтор слоя, сопоставляющий объекту категории F его присоединенный фактор -- градуированный полупростой объект категории E. Градуированными эндоморфизмами этого функтора слоя является некоторая "градуированная алгебра со многими объектами" A. Пусть категория градуированных A-модулей конечной длины обозначается через G; тогда имеется функтор "присоединенного фактора" F -> G. Должна быть какая-то чуть более прямая конструкция этого функтора, позволяющая связать Ext-ы в категориях F и G длинной точной последовательностью. Это должно делаться прямо на уровне Ext-ов по Йонеде. С другой стороны, Ext-ы в категории G есть Ext-ы над "градуированной алгеброй со многими объектами" A, а такие Ext-ы могут быть не совсем какими угодно. Между Ext-ами в категориях E и D есть известная связь (первые совпадают, вторые вкладываются, третьи отображаются), пользуясь которой вместе с кошулевостью Ext-ов в D можно увязать в конце концов Ext-ы в D и Ext-ы над A, заключив, что A кошулева. После этого можно посчитать Ext-ы в F, а значит и в E. "Ext-ы" здесь по большей части, но может быть не всегда, обозначают Ext-ы между неприводимыми объектами из E.

Все это, конечно, такая категорная вариация на известную тему "если когомологии проконечной группы с Z/l-коэффициентами кошулевы, то они совпадают с когомологиями ее максимальной про-l-факторгруппы". При этом точная категория F из рассуждения выше есть аналог категории смешанных мотивов Тейта с Z/l-коэффициентами.

Comments

[piont.livejournal.com]

Простите, а "градуированная алгебра со многими обектами" -- это то же самое, что Z-алгебра, или нет?

[posic.livejournal.com]

Нет, тут произвольное множество объектов, и между градуировкой и объектами нет связи (множество объектов не градуировано). Скорее, так: алгебра со многими объектами -- это то же самое, что предаддитивная категория, а градуированная алгебра со многими объектами -- это градуированная предаддитивная категория. В данном случае у нас положительно градуированная алгебра со многими объектами -- это то же самое, что неотрицательно градуированная предаддитивная категория, категория морфизмов степени 0 в которой состоит из неприводимых объектов.

[piont.livejournal.com]

Спасибо! Про кошулевость таких алгебр непонятно, но увлекательно. Надеюсь когда-нибудь прочитать полный текст со всеми определениями...

[posic.livejournal.com]

Кстати, на другую, но похожую тему. У меня есть старый неоконченный отрывок текста про кошулевость алгебр и коалгебр над произвольным базовым кольцом. Он был частично инкорпорирован в длинный текст по полубесконечной гомологической алгебре, где в итоге были в большей общности доказаны результаты, которые изначально планировалось получить в рамках отрывка. Но отрывок, возможно, проще читать, чем полубесконечный текст. Не хотите ли, чтобы я прислал вам этот отрывок?

[piont.livejournal.com]

Да, было бы интересно!

[posic.livejournal.com]

Постскрипт-файл доступен на http://positselski.narod.ru/domega4.ps