![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicОкончание этого -- http://posic.livejournal.com/291713.html
Разгадка обнаруживается, если присмотреться к этим модельным категориям без пределов поближе. Назовем их A и C. Категория A -- это категория ненулевых (ассоциативных) DG-алгебр, т.е., DG-алгебр с ненулевой единицей. Категория всех DG-алгебр, включая нулевую -- модельная категория, с пределами и копределами, а нулевая DG-алгебра в ней -- конечный объект. (Некоторые) пределы и копределы в категории A исчезли оттого, что мы выкинули этот конечный объект. Конечно, нулевая алгебра -- странная вещь, но нулевая DG-алгебра -- вещь уже несколько менее странная, если учесть, что существует много DG-алгебр, квазиизоморфных нулевой, но ненулевых. Все эти DG-алгебры с нулевыми когомологиями остались в категории A, выкинута только целиком нулевая DG-алгебра. Зачем же мы ее выкинули? Затем, что на ней не определена версия бар-конструкции, сопоставляющая DG-алгебре CDG-коалгебру.
Категория C -- это категория конильпотентных (коаугментированных) CDG-коалгебр. Она не получена выкидыванием чего-либо из чего-либо, в ней просто конечного объекта нет как нет. Так же, как нет начального объекта в категории CDG-алгебр. Но следуя интуиции тесной связи между категориями C и A, можно попробовать "улучшить" категорию C, добавив к ней конечный объект грубой силой. Пусть C_f обозначает категорию, объекты которой суть объекты C, а также объект *, в который из каждого объекта бьет по одному морфизму, а из которого никаких морфизмов нет, кроме тождественного морфизма в себя. Тогда в категории C_f есть все пределы и копределы.
Более того, категорию C_f можно сделать модельной категорией. Для этого нужно объявить все морфизмы в объект * одновременно расслоениями и корасслоениями, но не слабыми эквивалентностями (за исключением, конечно, тождественного эндоморфизма объекта *, который, как изоморфизм, принадлежит ко всем трем выделенным классам). Таким образом, объект * фибрантен и кофибрантен. Более того, такую же процедуру можно проделать с категорией A, получив модельную категорию A_f. Тогда модельные категории A_f и C_f эквивалентны по Квиллену.
Модельная категория A_f связана с модельной категорией DG-алгебр парой сопряженных функторов Квиллена, но это не эквивалентность. В самом деле, при образовании категории A_f произошло некое удвоение сущностей. В гомотопической категории A_f имеется класс изоморфизма ненулевых DG-алгебр с нулевыми когомологиями, и отдельно от него класс изоморфизма объекта *. В гомотопической категории DG-алгебр ненулевые DG-алгебры с нулевыми когомологиями образуют, конечно, один класс изоморфизма с нулевой DG-алгеброй.
Категория C_f совсем странная, конечно. Взяли конильпотентные CDG-коалгебры и добавили к ним какую-то бессмысленную звездочку. Ее нельзя представлять себе ни как нулевую коалгебру, ни как коалгебру, равную основному полю. Нулевая коалгебра была бы не конечным, а начальным объектом, если бы у нас были некоаугментирванные коалгебры, а в категории коаугментированных коалгебр ее нет. Коалгебра-основное поле имеется в категории C. В категории коаугментированных градуированных или DG-коалгебр она является как начальным, так и конечным объектом, но в категории коаугментированных CDG-коалгебр она только начальный объект.
Не противоречит ли чему-либо вышесказанное? Допускает ли наука о модельных категориях существование морфизмов, являющихся одновременно расслоениями и корасслоениями, но не слабыми эквивалентностями? Может ли быть таким морфизмом морфизм из начального объекта в конечный?
Update: текст выше, написанный на горячую голову, содержит ошибки. Разумеется, не все объекты C_f должны быть фибрантны, это только в A_f все объекты фибрантны. Общая идея мне все же кажется верной пока еще, и сформулированные в конце вопросы остаются.
Разгадка обнаруживается, если присмотреться к этим модельным категориям без пределов поближе. Назовем их A и C. Категория A -- это категория ненулевых (ассоциативных) DG-алгебр, т.е., DG-алгебр с ненулевой единицей. Категория всех DG-алгебр, включая нулевую -- модельная категория, с пределами и копределами, а нулевая DG-алгебра в ней -- конечный объект. (Некоторые) пределы и копределы в категории A исчезли оттого, что мы выкинули этот конечный объект. Конечно, нулевая алгебра -- странная вещь, но нулевая DG-алгебра -- вещь уже несколько менее странная, если учесть, что существует много DG-алгебр, квазиизоморфных нулевой, но ненулевых. Все эти DG-алгебры с нулевыми когомологиями остались в категории A, выкинута только целиком нулевая DG-алгебра. Зачем же мы ее выкинули? Затем, что на ней не определена версия бар-конструкции, сопоставляющая DG-алгебре CDG-коалгебру.
Категория C -- это категория конильпотентных (коаугментированных) CDG-коалгебр. Она не получена выкидыванием чего-либо из чего-либо, в ней просто конечного объекта нет как нет. Так же, как нет начального объекта в категории CDG-алгебр. Но следуя интуиции тесной связи между категориями C и A, можно попробовать "улучшить" категорию C, добавив к ней конечный объект грубой силой. Пусть C_f обозначает категорию, объекты которой суть объекты C, а также объект *, в который из каждого объекта бьет по одному морфизму, а из которого никаких морфизмов нет, кроме тождественного морфизма в себя. Тогда в категории C_f есть все пределы и копределы.
Более того, категорию C_f можно сделать модельной категорией. Для этого нужно объявить все морфизмы в объект * одновременно расслоениями и корасслоениями, но не слабыми эквивалентностями (за исключением, конечно, тождественного эндоморфизма объекта *, который, как изоморфизм, принадлежит ко всем трем выделенным классам). Таким образом, объект * фибрантен и кофибрантен. Более того, такую же процедуру можно проделать с категорией A, получив модельную категорию A_f. Тогда модельные категории A_f и C_f эквивалентны по Квиллену.
Модельная категория A_f связана с модельной категорией DG-алгебр парой сопряженных функторов Квиллена, но это не эквивалентность. В самом деле, при образовании категории A_f произошло некое удвоение сущностей. В гомотопической категории A_f имеется класс изоморфизма ненулевых DG-алгебр с нулевыми когомологиями, и отдельно от него класс изоморфизма объекта *. В гомотопической категории DG-алгебр ненулевые DG-алгебры с нулевыми когомологиями образуют, конечно, один класс изоморфизма с нулевой DG-алгеброй.
Категория C_f совсем странная, конечно. Взяли конильпотентные CDG-коалгебры и добавили к ним какую-то бессмысленную звездочку. Ее нельзя представлять себе ни как нулевую коалгебру, ни как коалгебру, равную основному полю. Нулевая коалгебра была бы не конечным, а начальным объектом, если бы у нас были некоаугментирванные коалгебры, а в категории коаугментированных коалгебр ее нет. Коалгебра-основное поле имеется в категории C. В категории коаугментированных градуированных или DG-коалгебр она является как начальным, так и конечным объектом, но в категории коаугментированных CDG-коалгебр она только начальный объект.
Не противоречит ли чему-либо вышесказанное? Допускает ли наука о модельных категориях существование морфизмов, являющихся одновременно расслоениями и корасслоениями, но не слабыми эквивалентностями? Может ли быть таким морфизмом морфизм из начального объекта в конечный?
Update: текст выше, написанный на горячую голову, содержит ошибки. Разумеется, не все объекты C_f должны быть фибрантны, это только в A_f все объекты фибрантны. Общая идея мне все же кажется верной пока еще, и сформулированные в конце вопросы остаются.
