Достаточное условие ко/контраацикличности

[posic]

Пусть M -- CDG-модуль над CDG-кольцом B. Предположим, что M как градуированный B-модуль разложен в прямую сумму (произведение) градуированных модулей M_i, так что дифференциал на M отображает M_i в сумму M_j по всем j, не меньшим i-1 (отображает в M_j произведение M_i по всем i, не превосходящим j+1). Пусть ∂ обозначает компоненту дифференциала на M, отображающую каждое M_i в M_{i-1} только. Тогда (M_i,∂) -- комплекс градуированных В-модулей. Предположим, что этот комплекс точен. Тогда CDG-модуль M над B коацикличен, если M_i=0 для i>>0 (контраацикличен, если M_i=0 для i<<0). Доказательство: рассмотреть каноническую фильтрацию M как комплекса градуированных модулей относительно ∂. Это будет фильтрация CDG-подмодулями, и ее присоединенные факторы суть стягиваемые CDG-модули.

Эта лемма полезна для построения резольвент, доказательства кошулевой двойственности и т.д.