Тензорное и котензорное произведения над полупростой алгеброй

[posic]

Пусть K -- конечномерная полупростая алгебра над полем K; тогда K^* -- коалгебра над k. Для любого правого K-модуля N и левого K-модуля M есть естественное отображение из котензорного произведения N и M над K^* в тензорное произведение N и M над K (композиция через тензорное произведение над k). Вопрос: когда это изоморфизм? Ответ: когда алгебра K сепарабельна (т.е. центры ее простых прямых слагаемых -- сепарабельные расширения поля k). В самом деле, возьмем N=K^* и М=K; тогда котензорное произведение отождествляется с K, а тензорное с K^*. Получающееся отображение K->K^* есть форма следа (x,y) -> tr_{K/k}(xy).

Для произвольной полупростой алгебры K над k, чтобы построить изоморфизм между котензорным и тензорным произведениями (который будет изоморфизмом тензорных категорий бимодулей, и т.д.), нужно выбрать линейную функцию из центра K в k, ненулевую на каждой компоненте центра. Скомпоновать ее с отображениями следа из матриц над телами в их центры, и т.д. Получится изоморфизм между K-K-бимодулями K и K^*, который нужно использовать.