Слабые A_\infty-алгебры
Nov. 9th, 2008 06:00 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicОни же, так сказать, СА_\infty-алгебры (c кривизной) -- как убедили меня разные люди, и в частности А.Е., действительно можно определить производную категорию второго рода слабых A_\infty-модулей над ними. По крайней мере, для аугментированной/без единицы слабой A_\infty-алгебры -- просто потому, что у такой алгебры есть бар-конструкция, которая является DG-коалгеброй (косвободной конильпотентой, но с дифференциалом, не сохраняющим коаугментацию). Так что у этой DG-коалгебры есть копроизводная категория DG-комодулей, она же контрапроизводная категория DG-контрамодулей, она же гомотопическая категория слабых A_\infty-модулей. Однако, бросаются в глаза по крайней мере три проблемы:
1) бар-конструкция CA_\infty-алгебры с ненулевым элементом кривизны -- DG-коалгебра с нулевыми когомологиями (совсем нулевыми, коединица на когомологиях равна нулю);
2)бар-конструкция не является функтором на категории слабых A_\infty-алгебр со слабыми A_\infty-морфизмами между ними; в частности, бар-конструкции слабо A_\infty-изоморфных слабых A_\infty-алгебр вовсе не являются изоморфными DG-коалгебрами; судя по всему, и обсуждаемая производная категория модулей не сохраняется при слабых A_\infty-изоморфизмах; см. Update;
3) по крайней мере, для слабых L_\infty-алгебр с ненулевыми кривизнами обсуждаемая производная категория модулей всегда тривиальна -- просто потому, что стандартный комплекс Шевалле суперкокоммутативен, так что элемент топологической DG-алгебры, двойственной к комплексу Шевалле, который стягивает в этой DG-алгебре единицу, стягивает также и все комплексы морфизмов между DG-модулями над ней.
Про неаугментированные слабые A_\infty-алгебры я пока не думал.
Update: я перемудрил в п.2); понятия слабого A_\infty-морфизма как такового вообще не существует! Там, при одновременном наличии бесконечного числа высших умножений и ненулевого элемента замены связности в морфизме, расходящаяся сумма появляется в уравнениях. (Хотя понятие слабой A_\infty-алгебры еще корректно вполне.) Но можно утверждать, что бар-конструкция не является функтором на категории CDG-алгебр.
Ранее на ту же тему -- http://posic.livejournal.com/238151.html
1) бар-конструкция CA_\infty-алгебры с ненулевым элементом кривизны -- DG-коалгебра с нулевыми когомологиями (совсем нулевыми, коединица на когомологиях равна нулю);
2)
3) по крайней мере, для слабых L_\infty-алгебр с ненулевыми кривизнами обсуждаемая производная категория модулей всегда тривиальна -- просто потому, что стандартный комплекс Шевалле суперкокоммутативен, так что элемент топологической DG-алгебры, двойственной к комплексу Шевалле, который стягивает в этой DG-алгебре единицу, стягивает также и все комплексы морфизмов между DG-модулями над ней.
Про неаугментированные слабые A_\infty-алгебры я пока не думал.
Update: я перемудрил в п.2); понятия слабого A_\infty-морфизма как такового вообще не существует! Там, при одновременном наличии бесконечного числа высших умножений и ненулевого элемента замены связности в морфизме, расходящаяся сумма появляется в уравнениях. (Хотя понятие слабой A_\infty-алгебры еще корректно вполне.) Но можно утверждать, что бар-конструкция не является функтором на категории CDG-алгебр.
Ранее на ту же тему -- http://posic.livejournal.com/238151.html
