О! Какая цитата!

[posic]

Господин Фурье придерживался, правда, мнения, будто главной целью математики является общественная польза и объяснение явлений природы; но как философ он должен был бы знать, что единственная цель науки — это служить доблести человеческого разума и что, таким образом, какой-нибудь вопрос теории чисел сто'ит не меньше, чем любой вопрос о системе мира.
http://flying-bear.livejournal.com/508323.html?thread=8746147

Comments

[chaource.livejournal.com]

Что-то рѣжетъ слухъ въ этой цитатѣ. "Наука для науки", "искусство для искусства" - что-то въ этомъ неправильное, нечестное, какъ будто человѣкъ занимается наукой для чего-то вполнѣ конкретнаго, но дѣлаетъ видъ, будто это "нужно лишь для самой науки".

Я думаю, что корень неправильности высказыванія "цѣль науки - служить доблести разума" - въ невѣрномъ предположеніи, что у науки самой по себѣ можетъ быть какая-то "цѣль". Цѣль - это психологическое понятіе; цѣль можетъ быть только у индивида, у человѣка, который что-то дѣлаетъ. Не можетъ быть никакихъ "цѣлей и задачъ" ни у листа бумаги съ доказательствомъ теоремы, ни у самой теоремы.

Цѣль можетъ быть у человѣка, который въ данное время занимается наукой. У него можетъ быть цѣль - увеличить "доблесть своего разума", напримѣръ, или добиться какихъ-то практически полезныхъ результатовъ, или же просто провести время въ интересной дѣятельности безотносительно къ "полезности".

[posic.livejournal.com]

В цитате вовсе не говорится про "науку для науки". Что касается цели -- ну, замени "цель" на "предназначение".

[chaource.livejournal.com]

Не вполнѣ понятно, чѣмъ отличается "цѣль науки" отъ "предназначенія науки". Всё равно - даже и "предназначеніе" означаетъ лишь то, что нѣкій конкретный человѣкъ предназначаетъ науку для чего-то опредѣлённаго. Не можетъ быть абстрактнаго "предназначенія" у основной теоремы алгебры.

[posic.livejournal.com]

Вот в цитате и говорится, что людям следует видеть предназначение науки в доказательстве доблести человеческого разума.

[chaource.livejournal.com]

"Как философ он должен был бы знать, что"

Всё же у меня присутствуетъ внутреннее непріятіе такого рода философіи.

Вотъ ты занимаешься математикой и доказываешь что-то про лѣвые или правые комодули, неважно что. У тебя есть собственныя цѣли, которыя ты преслѣдуешь въ такого рода занятіи (я предполагаю, что тебя никто не заставляетъ непосредственно этими комодулями заниматься). Почему Фурье, или Якоби, или какой-либо другой "философъ" можетъ тебѣ предписывать твои цѣли? Не можетъ "философъ" предписывать тебѣ или мнѣ наши личные цѣли и указывать, для чего мы занимаемся наукой. Хочу - для доблести, хочу - для пользы, хочу - отъ скуки буду заниматься наукой.

Есть и другая интерпретація утвержденія о "предназначеніи науки": а именно, какъ утвержденія, что математика какъ наука исторически складывалась и развивалась какъ результатъ занятій разныхъ людей, стремившихся доказать доблесть своего разума. Это очевидно невѣрно. Математика зародилась въ процессѣ рѣшенія практическихъ проблемъ (счётъ, геометрія, предсказаніе погоды, астрономія), и на протяженіи ея развитія прикладные аспекты и мотивація практической пользой имѣли иногда большое, а иногда рѣшающее значеніе. Были, конечно, и нѣкоторые математики, единственной цѣлью которыхъ было показать, что они умнѣе другихъ.

[posic.livejournal.com]

Ты не улавливаешь: речь идет не о том, чтобы показать, что кто-то умнее других -- это за редкими исключениями и не оправдано, все мы стоим на плечах гигантов -- а о том, что человечество в целом способно на выдающиеся интеллектуальные достижения. Кроме того, речь должна идти не только и не столько о целях ученого, которые в большинстве случаев приблизительно сводятся к тому, чтобы заработать себе на пропитание, сколько о целях тех, кто этого ученого финансирует.

Что касается роли практических задач в зарождении математики и ее развитии, то я, признаться, никогда не понимал, на каком конкретном историческом материале эти утверждения основываются. Я плохо разбираюсь в истории, но в меру моего понимания, все это просто неверно. Древние греки не ради практической пользы пытались удвоить куб циркулем и линейкой. Эйлер не ради практической пользы вычислял сумму обратных квадратов натуральных чисел. Лобачевский не ради практической пользы строил геометрию без постулата о параллельных. Примеры открытий, мотивированных потребностями других наук (физики, астрономии) тоже можно привести, конечно, но, как мне кажется, в абсолютном большинстве случаев это будут задачи других наук, не имевшие на соответствующий момент времени никакого практического значения.

[brshk.livejournal.com]

Согласен до слов "таким образом", а потом не понял логический переход.

Разные бывают вопросы: и про числа, и про систему мира. Иногда важнее первые, иногда вторые.

[posic.livejournal.com]

Как я понимаю, имеется в виду, что теория чисел была в то время (во времена Якоби, да и во времена Клейна тоже) особенно далекой от приложений областью математики.

[chaource.livejournal.com]

Значитъ, если я теперь правильно понимаю, то утвержденіе Якоби такое:

Если кто-то работаетъ надъ доказательствомъ математической теоремы, то и онъ, и всѣ остальные - включая парламентъ и правительство, а также частныхъ лицъ, финансирующихъ математику - должны вѣрить, что теорему эту желательно доказать главнымъ образомъ для демонстраціи наличія выдающіхся интеллектуальныхъ достиженій у человѣчества въ цѣломъ.

Остаётся непонятнымъ, кому мы хотимъ демонстрировать достиженія, а также - почему всѣ должны во что-то такое вѣрить. Какой такой "философъ" и съ какого перепоя вздумалъ намъ всѣмъ указывать, что въ математикѣ сутью является именно "демонстрація достиженій", а не что-то другое? Это какая-то чушь. Ясно, что каждый воленъ изучать математику и находить въ ней и азартное интеллектуальное соревнованіе, и эстетическую красоту, и вѣчную истину, и сіюминутную практическую пользу, и даже просто игру - средство отъ скуки, и что угодно другое. Было много людей, которые находили всё это въ математикѣ. Финансировали математику тоже по разнымъ причинамъ. Въ основномъ - изъ соображеній практической пользы финансировались чисто прикладные аспекты. Вспомнимъ, что до 17-18 вѣка - кажется почти всѣ великіе математики были на службѣ не по спеціальности. Потомъ - финансировали какъ базу для обученія естественнымъ наукамъ. Есть и прямые источники финансированія типа "а вотъ кто умнѣе всехъ" - это Clay Institute Award, Fields Medal, стипендіи способнымъ математикамъ и прочее.

Теперь объ исторіи. Какой историческій матеріалъ о практическихъ задачахъ? Историческій материалъ по школьной программѣ: математика зародилась какъ обобщеніе физики. Удвоеніе куба, трисекція угла, сумма обратныхъ квадратовъ и т.д. - это задачи, которые пережили вѣка, а основная масса результатовъ и Эйлера, и грековъ, и всѣхъ другихъ старинныхъ математиковъ - была совершенно элементарной (мы это изучаемъ въ школѣ) и чисто практической: рѣшить какія-то задачи на построеніе, или рѣшить дифф. уравненія.

Въ томъ, что исторически математика была получена какъ обобщеніе и абстракція практической дѣятельности, меня совершенно убѣждаетъ именно исторія съ греками. Грекамъ надо было измѣрять длины, площади и объёмы. То и дѣло какіе-то цари этого требовали. Люди, которые этимъ занимались, назывались геометры, т.е. землемѣры. Они измѣряли также радіусъ Земли, разстояніе до Луны и т.д. Въ нашемъ пониманіи это были математики, потому что они занимались и абстрактными вопросами тоже, доказывали теоремы о треугольникахъ и другихъ идеальныхъ фигурахъ. Они задали себѣ такой вопросъ: достаточно ли раціональныхъ чиселъ для измѣренія какихъ-либо отрезковъ прямыхъ, начерченныхъ на землѣ. Вопросъ не совсѣмъ праздный: онъ касается практическихъ измѣреній. Отвѣтъ получили математически правильный (раціональныхъ чиселъ недостаточно), но практически неправильный (раціональными числами можно приблизить вещественныя числа сколь угодно точно). Отвѣтъ пришлось засекретить отъ страха, что всѣхъ математиковъ уволятъ.

Изъ этой исторіи совершенно очевидно, какова роль практической дѣятельности въ зарожденіи и развитіи математики. Я бы сформулировалъ такъ: математика занимается абстрактными и по большей частью праздными вопросами, которые возникаютъ у слишкомъ развитаго интеллекта при соприкосновеніи съ практической дѣятельностью.

Напримѣръ, математикъ Эйлеръ можетъ изобрести гамма-функцію какъ удобную запись нѣкоторыхъ интеграловъ, получившихся въ практическихъ вычисленіяхъ. После этого слишкомъ развитый интеллектъ Эйлера не можетъ остановиться - онъ продолжаетъ думать о свойствахъ этой функціи, обобщать её, находить тождества, которымъ она удовлетворяетъ, разложенія въ ряды и т.д. А ещё есть асимптотики при большихъ значеніяхъ параметровъ въ разныхъ частяхъ комплексной плоскости... а у асимптотикъ есть факторы сходимости... а у факторовъ сходимости свои асимптотики... и т.д. (Я говорю о томъ только, что я самъ изучалъ про гамма-функцію - а сколько ещё другого, чего я не изучалъ!) Поскольку дѣятельность такого рода безконечна (строго говоря, счётно-безконечна), а человѣческая жизнь конечна, то математикъ никогда не сможетъ остановиться, сказавъ, что какая-либо теорія окончена.

[chaource.livejournal.com]

Здѣсь не позволяютъ дѣлать слишкомъ длинные комментаріи.

Но я уже заканчиваю. Главная причина, по которой я не согласенъ съ Якоби - это тавтологичность и логическая безсмысленность декларируемой имъ "философіи". Декларируется, что цѣль интеллектуальной дѣятельности математиковъ лишь въ томъ, чтобы продемонстрировать самимъ себѣ, что человѣчество способно (или "мы способны") заниматься такой дѣятельностью. Вотъ тутъ я вижу безсмыслицу. Не можетъ быть цѣлью какой-либо дѣятельности лишь только демонстрація самимъ себѣ того факта, что эта дѣятельность происходитъ. Не можетъ быть цѣлью математики (т.е. цѣлью людей, занимающихся математикой или финансирующихъ математику) продемонстрировать самъ фактъ того, что эта математика существуетъ и развивается.

Въ жизни много примѣровъ, что люди что-то дѣлаютъ напоказъ, и вродѣ бы лишь для того, чтобы продемонстрировать, что они это дѣлаютъ или даже хотятъ дѣлать. Но ни въ одномъ рѣальномъ случаѣ сама демонстрація не является цѣлью дѣятельности. Цѣлью всегда являются реальныя послѣдствія, которыя, по замыслу этихъ людей, должны произойти вслѣдствіе демонстраціи. Напримѣръ, люди идутъ на Пушкинскую площадь 25 декабря, ихъ тамъ арестовываютъ. Они демонстрируютъ не фактъ сборища на Пушкинской площади, - это безсмыслица, - они демонстрируютъ фактъ инакомыслія и несогласія съ совѣтскимъ режимомъ.

Я думаю, что всѣ аргументы сторонниковъ утвержденія, что цѣль математики - сама математика, сводятся к тому, что они хотятъ сдѣлать нѣкое категорическое заявленіе ("если бы господинъ Фурье хорошо учился въ школѣ, онъ бы зналъ, что...") и отвергнуть упрёкъ въ практической безполезности математики, заявляя, что спрашивающій не разбирается въ предмѣтѣ. При этомъ хотятъ создать впечатленіе, что математика - это что-то цѣнное, но цѣнность ея понимаютъ только посвящённые, - вродѣ абстрактного искусства или игры въ крикетъ ("математика тѣмъ лучше, чѣмъ безполезнѣе" и т.д.)

Есть среди математиковъ такіе, кто тоже отвергаетъ упрёкъ въ безполезности математики и утверждаетъ обратное: математика есть наиболѣе практически полезная наука изъ всѣхъ видовъ интеллектуальной дѣятельности. Далѣе приводятъ множество примѣровъ приложеній математики, даже самыхъ на первый взглядъ абстрактныхъ областей - неевклидовой геометріи, безконечномѣрныхъ пространствъ, и даже теоріи чиселъ и теоріи категорій. Но, однако же, замѣчаютъ, что математика очень сложна и абстрактна, и поэтому не всегда ясно, какіе ея области будутъ полезны и въ какихъ наукахъ въ будущемъ они потребуются. Поэтому имѣетъ прямой практический смыслъ развивать, на всякій случай, всѣ области математики, предоставляя спеціалистамъ-математикамъ рѣшать вопросы о пріоритетахъ развитія. Я согласенъ съ такой позиціей.