Некоммутативная линейная двойственность
Sep. 21st, 2007 06:33 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПусть K — конечномерная полупростая алгебра над полем k и N — конечномерная алгебра над k, содержащая K. Тогда N∨ = HomKop(N,K) — кокольцо над K и N# = HomKop(N∨,K) — новая алгебра над k, содержащая K. Категория правых N∨-комодулей эквивалентна категории правых N-модулей, а категория левых N∨-комодулей эквивалентна категории левых N#-модулей. В частности, N∨ является N#-N-бимодулем.
Теперь предположим, что N — фробениусова алгебра над k. Заметим, что K — тоже фробениусова алгебра; более того, фробениусову линейную функцию fK:K→k можно выбрать так, чтобы соответствующий фробениусов автоморфизм K был тождественным, другими словами, fK можно сделать следовой линейной функцией, для чего достаточно выбрать линейную функцию из центра K в k, нетривиальную на каждой компоненте центра (хотя нам это вроде бы не понадобится). Отождествив таким образом правые K-модули K и Hom_k(K,k), можно поднять фробениусову линейную функцию fN:N→k до отображения правых K-модулей N → Hom_k(K,k)=K, композиция которого с fK равна fN.
Отображение N⊗KN → N → K индуцирует отображение правых K-модулей N → HomKop(N,K), являющееся изоморфизмом, поскольку HomKop(N,K) = Homk(N,k). Таким образом, имеется изоморфизм правых N-модулей N и N∨, откуда следует изоморфизм их алгебр эндоморфизмов N и N#. Заметим, что этот изоморфизм переводит вложение К→N во вложение K→N# только в том случае, когда отображение N→K, которое мы использовали, было морфизмом не только правых, но и левых K-модулей.
Теперь предположим, что N — фробениусова алгебра над k. Заметим, что K — тоже фробениусова алгебра; более того, фробениусову линейную функцию fK:K→k можно выбрать так, чтобы соответствующий фробениусов автоморфизм K был тождественным, другими словами, fK можно сделать следовой линейной функцией, для чего достаточно выбрать линейную функцию из центра K в k, нетривиальную на каждой компоненте центра (хотя нам это вроде бы не понадобится). Отождествив таким образом правые K-модули K и Hom_k(K,k), можно поднять фробениусову линейную функцию fN:N→k до отображения правых K-модулей N → Hom_k(K,k)=K, композиция которого с fK равна fN.
Отображение N⊗KN → N → K индуцирует отображение правых K-модулей N → HomKop(N,K), являющееся изоморфизмом, поскольку HomKop(N,K) = Homk(N,k). Таким образом, имеется изоморфизм правых N-модулей N и N∨, откуда следует изоморфизм их алгебр эндоморфизмов N и N#. Заметим, что этот изоморфизм переводит вложение К→N во вложение K→N# только в том случае, когда отображение N→K, которое мы использовали, было морфизмом не только правых, но и левых K-модулей.
