Группы p-адических петель - окончание
Aug. 4th, 2007 11:12 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posichttp://posic.livejournal.com/213313.html
Г.-К. рассматривают линейную алгебраическую группу G над неархимедовым локальным полем K и групповую инд-схему петель G((t)), которую предполагают снабженной центральным расширением G^, расщепленным над G[[t]], с ядром Gm, которое предполагают снабженным мультипликативным характером Gm(K) → C*. С этими данными связывается ключевой объект — про-векторное пространство Mc(G) про-полумер на G((t))(K) — штуковин, являющихся про-гладкими про-компактно несомыми про-мерами в направлении G[[t]] и про-гладкими про-компактно несомыми функциями в направлении G((t))/G[[t]].
Сразу скажу, что, как мне показалось из текста, G[[t]] в этой конструкции можно заменить на ее ивахорическую подгруппу — прообраз борелевской подгруппы G при приведении по модулю t — но нельзя, например, на группу K-точек G[[t]], попадающих при приведении по модулю t в компактную подгруппу группы G(K). Там важно, чтобы для рассматриваемой подгруппы точек H факторпространство G((t))(K)/H лежало в категории Ind Pro(Setfin), вложенной в Ind Pro Ind Pro(Setfin) как самое внешнее Ind и самое внутреннее Pro.
Обсудим сначала про-алгебру про-мер на G[[t]](K). Она определяется как проективный предел (в категории Pro(Vect)) алгебр гладких мер на локально-компактных группах G(K[[t]])/G(tiK[[t]]) относительно отображений прямого образа (интегрирования) мер. Это алгебра без единицы в категории Pro(Vect), или просто топологическая алгебра без единицы, в которой открытые двусторонние идеалы образуют базу окрестностей нуля. Представления группы точек G[[t]](K) в категории Pro(Vect) — это просто про-объекты категории представлений группы G[[t]](K) в Vect, а каждое представление G[[t]](K) в Vect есть гладкое представление одной из локально-компактных групп G(K[[t]])/G(tiK[[t]]). Отсюда видно, что про-алгебра про-мер на G[[t]](K) является единичным объектом тензорной категории G[[t]](K)×G[[t]](K)-модулей в Pro(Vect) относительно функтора коинвариантов тензорного произведения, он же тензорное произведение над про-алгеброй про-мер.
Про-векторное пространство Mc(G) является объектом-коалгеброй с коединицей в тензорной категории G[[t]](K)×G[[t]](K)-модулей в Pro(Vect). Представления G^(K) в Pro(Vect) с центральным характером c являются над Mc(G) левыми комодулями, а представления группы точек подправленного центрального расширения G^'(K) с центральным характером c' являются правыми комодулями над Mc(G). Отсюда функтор полутензорного произведения над Mc(G), относительно которого сама коалгебра с коединицей Mc(G) является, как всегда, единичным объектом. Авторы не обсуждают вопрос, является ли всякий объект-комодуль над Mc(G) в тензорной категории представлений G[[t]](K) в Pro(Vect) представлением G^(K) в Pro(Vect).
Напоследок отметим, что коалгебра над алгеброй в Pro(Vect) является как раз правильным аналогом алгебры над коалгеброй в Vect, поскольку при переходе от Ind(Vectfd) к Pro Ind(Vectfd) должна происходить перемена направлений стрелок. Ключевым моментом тут является даже не точность функторов пределов, а их согласованность с тензорным произведением: в Vect с тензорным произведением коммутирует прямой предел, в Pro(Vect) обратный.
Г.-К. рассматривают линейную алгебраическую группу G над неархимедовым локальным полем K и групповую инд-схему петель G((t)), которую предполагают снабженной центральным расширением G^, расщепленным над G[[t]], с ядром Gm, которое предполагают снабженным мультипликативным характером Gm(K) → C*. С этими данными связывается ключевой объект — про-векторное пространство Mc(G) про-полумер на G((t))(K) — штуковин, являющихся про-гладкими про-компактно несомыми про-мерами в направлении G[[t]] и про-гладкими про-компактно несомыми функциями в направлении G((t))/G[[t]].
Сразу скажу, что, как мне показалось из текста, G[[t]] в этой конструкции можно заменить на ее ивахорическую подгруппу — прообраз борелевской подгруппы G при приведении по модулю t — но нельзя, например, на группу K-точек G[[t]], попадающих при приведении по модулю t в компактную подгруппу группы G(K). Там важно, чтобы для рассматриваемой подгруппы точек H факторпространство G((t))(K)/H лежало в категории Ind Pro(Setfin), вложенной в Ind Pro Ind Pro(Setfin) как самое внешнее Ind и самое внутреннее Pro.
Обсудим сначала про-алгебру про-мер на G[[t]](K). Она определяется как проективный предел (в категории Pro(Vect)) алгебр гладких мер на локально-компактных группах G(K[[t]])/G(tiK[[t]]) относительно отображений прямого образа (интегрирования) мер. Это алгебра без единицы в категории Pro(Vect), или просто топологическая алгебра без единицы, в которой открытые двусторонние идеалы образуют базу окрестностей нуля. Представления группы точек G[[t]](K) в категории Pro(Vect) — это просто про-объекты категории представлений группы G[[t]](K) в Vect, а каждое представление G[[t]](K) в Vect есть гладкое представление одной из локально-компактных групп G(K[[t]])/G(tiK[[t]]). Отсюда видно, что про-алгебра про-мер на G[[t]](K) является единичным объектом тензорной категории G[[t]](K)×G[[t]](K)-модулей в Pro(Vect) относительно функтора коинвариантов тензорного произведения, он же тензорное произведение над про-алгеброй про-мер.
Про-векторное пространство Mc(G) является объектом-коалгеброй с коединицей в тензорной категории G[[t]](K)×G[[t]](K)-модулей в Pro(Vect). Представления G^(K) в Pro(Vect) с центральным характером c являются над Mc(G) левыми комодулями, а представления группы точек подправленного центрального расширения G^'(K) с центральным характером c' являются правыми комодулями над Mc(G). Отсюда функтор полутензорного произведения над Mc(G), относительно которого сама коалгебра с коединицей Mc(G) является, как всегда, единичным объектом. Авторы не обсуждают вопрос, является ли всякий объект-комодуль над Mc(G) в тензорной категории представлений G[[t]](K) в Pro(Vect) представлением G^(K) в Pro(Vect).
Напоследок отметим, что коалгебра над алгеброй в Pro(Vect) является как раз правильным аналогом алгебры над коалгеброй в Vect, поскольку при переходе от Ind(Vectfd) к Pro Ind(Vectfd) должна происходить перемена направлений стрелок. Ключевым моментом тут является даже не точность функторов пределов, а их согласованность с тензорным произведением: в Vect с тензорным произведением коммутирует прямой предел, в Pro(Vect) обратный.
