![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Терминологию, связанную со стэками, надо изучить. Но в первом приближении, будем называть стэк X квазикомпактным, если он допускает плоское покрытие аффинной схемой U, и полуотделимым, если декартово произведение U×XU -- аффинная схема. Такие стэки описываются кокольцами -- категория квазикогерентных пучков на X эквивалентна категории комодулей над кокольцом C = O(U×XU) над кольцом A = O(U).
Кокольца (коалгебры над алгебрами) -- это такой объект полубесконечной гомологической алгебры, но не очень хорошо себя ведущий. Хорошо себя ведущий объект полубесконечной гомологической алгебры -- это полуалгебры (алгебры над коалгебрами). В результате у меня получается, что для того, чтобы работать с кокольцом, надо делать дополнительные предположения, так или иначе связанные с конечностью гомологической размерности в одном из двух направлений -- или кольцо A имеет конечную гомологическую размерность, или кокольцо C имеет, в подходящем смысле слова, конечную гомологическую размерность "относительно A".
Этот постинг про такой конкретный вопрос: при каких предположениях можно утверждать, что на стэке X есть достаточно много плоских квазикогерентных пучков (т.е., любой квазикогерентный пучок является факторпучком плоского)? Я умею это доказывать, с помощью явных конструкций, в двух случаях:
1. X -- квазикомпактная полуотделимая схема (а не стэк); или
2. Х -- гладкий квазикомпактный полуотделимый стэк.
Здесь в случае 2. слово "гладкий" означает "регулярный нетеров конечной размерности Крулля". Попросту, мне нужно, чтобы кольцо A = O(U) имело конечную глобальную размерность, или хотя бы "конечную слабую размерность" -- чтобы у всякого A-модуля была конечная плоская резольвента. Тогда применима конструкция накрывающего A-плоского C-комодуля из книжки "Homological algebra of semimodules..."
В случае 1., применима другая известная конструкция, о которой писали Мурфет и мы с Сашей Е. В этом контексте, можно утверждать даже больше -- на квазикомпактной полуотделимой схеме достаточно много очень плоских квазикогерентных пучков (о чем написано в моем препринте про контрагерентные копучки).
Можно ли в общем случае доказать, что на квазикомпактном полуотделимом стэке достаточно много плоских квазикогерентных пучков?
Кокольца (коалгебры над алгебрами) -- это такой объект полубесконечной гомологической алгебры, но не очень хорошо себя ведущий. Хорошо себя ведущий объект полубесконечной гомологической алгебры -- это полуалгебры (алгебры над коалгебрами). В результате у меня получается, что для того, чтобы работать с кокольцом, надо делать дополнительные предположения, так или иначе связанные с конечностью гомологической размерности в одном из двух направлений -- или кольцо A имеет конечную гомологическую размерность, или кокольцо C имеет, в подходящем смысле слова, конечную гомологическую размерность "относительно A".
Этот постинг про такой конкретный вопрос: при каких предположениях можно утверждать, что на стэке X есть достаточно много плоских квазикогерентных пучков (т.е., любой квазикогерентный пучок является факторпучком плоского)? Я умею это доказывать, с помощью явных конструкций, в двух случаях:
1. X -- квазикомпактная полуотделимая схема (а не стэк); или
2. Х -- гладкий квазикомпактный полуотделимый стэк.
Здесь в случае 2. слово "гладкий" означает "регулярный нетеров конечной размерности Крулля". Попросту, мне нужно, чтобы кольцо A = O(U) имело конечную глобальную размерность, или хотя бы "конечную слабую размерность" -- чтобы у всякого A-модуля была конечная плоская резольвента. Тогда применима конструкция накрывающего A-плоского C-комодуля из книжки "Homological algebra of semimodules..."
В случае 1., применима другая известная конструкция, о которой писали Мурфет и мы с Сашей Е. В этом контексте, можно утверждать даже больше -- на квазикомпактной полуотделимой схеме достаточно много очень плоских квазикогерентных пучков (о чем написано в моем препринте про контрагерентные копучки).
Можно ли в общем случае доказать, что на квазикомпактном полуотделимом стэке достаточно много плоских квазикогерентных пучков?
