![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Есть, или вернее сказать, должна бы быть (начинается, скоро будет) такая деятельность -- обобщение на контрамодули над топологическими кольцами результатов классической теории ассоциативных колец и модулей над ними.
Пример несложного результата классической теории ассоциативных колец: если R -- ассоциативное кольцо (с единицей), J ⊂ R -- его радикал Джекобсона, и P ≠ 0 -- проективный левый R-модуль, то JP ≠ P. Такая лемма Накаямы для бесконечно порожденных, зато проективных модулей. См. диссертацию Басса, H. Bass "Finitistic dimension and a homological generalization of semi-primary rings", Trans. AMS 95 (1960), Proposition 2.7.
Пусть теперь S -- полное отделимое топологическое ассоциативное кольцо (с единицей), в котором открытые правые идеалы образуют базу окрестностей нуля. Топологическим радикалом Джекобсона H топологического кольца S называется пересечение всех его открытых максимальных правых идеалов (упражнение: покажите, что H -- замкнутый двусторонний идеал в S, и что H ≠ S, если S ≠ 0).
Для любого левого S-контрамодуля C и замкнутой аддитивной подкруппы A ⊂ S, будем обозначать через A×C ⊂ C образ композиции отображдений A[[C]] → S[[C]] → C, где S[[C]] → C -- отображение контрадействия (задающее структуру S-контрамодуля на C) и A[[C]] → S[[C]] -- естественное вложение.
Пусть P -- ненулевой проективный левый S-контрамодуль. Можно ли утверждать, что H×P ≠ P?
Случай, когда у S есть база окрестностей нуля, состоящая из двусторонних идеалов, легко сводится к случаю дискретного кольца R (т.е., к теореме Басса). См. в этой связи препринт https://arxiv.org/abs/1807.10671v2 , Lemma 6.9. Но уже случай топологического кольца S со счетной базой, состоящей из открытых правых идеалов, является открытой проблемой. Хотя про такие топологические кольца довольно много известно уже, вообще-то -- но этот вопрос открыт.
Пример несложного результата классической теории ассоциативных колец: если R -- ассоциативное кольцо (с единицей), J ⊂ R -- его радикал Джекобсона, и P ≠ 0 -- проективный левый R-модуль, то JP ≠ P. Такая лемма Накаямы для бесконечно порожденных, зато проективных модулей. См. диссертацию Басса, H. Bass "Finitistic dimension and a homological generalization of semi-primary rings", Trans. AMS 95 (1960), Proposition 2.7.
Пусть теперь S -- полное отделимое топологическое ассоциативное кольцо (с единицей), в котором открытые правые идеалы образуют базу окрестностей нуля. Топологическим радикалом Джекобсона H топологического кольца S называется пересечение всех его открытых максимальных правых идеалов (упражнение: покажите, что H -- замкнутый двусторонний идеал в S, и что H ≠ S, если S ≠ 0).
Для любого левого S-контрамодуля C и замкнутой аддитивной подкруппы A ⊂ S, будем обозначать через A×C ⊂ C образ композиции отображдений A[[C]] → S[[C]] → C, где S[[C]] → C -- отображение контрадействия (задающее структуру S-контрамодуля на C) и A[[C]] → S[[C]] -- естественное вложение.
Пусть P -- ненулевой проективный левый S-контрамодуль. Можно ли утверждать, что H×P ≠ P?
Случай, когда у S есть база окрестностей нуля, состоящая из двусторонних идеалов, легко сводится к случаю дискретного кольца R (т.е., к теореме Басса). См. в этой связи препринт https://arxiv.org/abs/1807.10671v2 , Lemma 6.9. Но уже случай топологического кольца S со счетной базой, состоящей из открытых правых идеалов, является открытой проблемой. Хотя про такие топологические кольца довольно много известно уже, вообще-то -- но этот вопрос открыт.
