The tilting-cotilting correspondence

Третья версия, существенно переработанная -- https://arxiv.org/abs/1710.02230

Математическая география

Мир математических идей, по моему опыту, устроен так: имеются долины, и имеются разделяющие их горные хребты. Более-менее все долины кем-то населены -- всякую достаточно простую мысль кто-нибудь да подумал уже, кто-то ее разрабатывает. Но на хребет редко кто поднимется, так что коммуникаций между долинами мало. Потому так высоко ценятся нетривиальные связи между разными на вид сюжетами -- их известно гораздо меньше, чем нужно.

Мой способ заниматься математикой исторически состоял в том, чтобы время от времени переваливать из долины в долину, прокладывая коммуникации. Снизу мало что видно -- нужно подняться на вершину, чтобы увидеть, что там дальше. На уровне текстов, это значит, что нужно решить задачу размером с книгу -- т.е., написанное решение которой занимает книгу -- чтобы научиться ставить или решать новый ряд задач более обычного размера.

Начинал я с алгебр с образующими и соотношениями, и в частности, кошулевых алгебр. Гипотезу рациональности рядов Гильберта кошулевых алгебр я не доказал -- но обнаружил связь с теорией вероятностей, конструкцию случайной последовательности нулей и единиц по кошулевой алгебре. Гипотезу Милнора-Блоха-Като своим способом я не доказал тоже -- но про роль кошулевости в теории мотивов что-то там выяснил.

Задачу про производную неоднородную кошулеву двойственность мне удалось решить, однако. С этой вершины открылись виды на 1. экзотические производные категории и 2. контрамодули.

С другой стороны, это оказалась даже и не вершина, а ступенька на пути к более высокой точке -- полубесконечной гомологической алгебре. Чтобы подняться туда, мне пришлось, помимо многого прочего, разработать технику доказательства утверждений про производные категории второго рода, открывшую дорогу к приложениям к матричным факторизациям. Попутно появилось понятие контрамодуля над топологическим кольцом, и начал открываться вид на долину по ту сторону хребта -- ту, где специалисты по теоретико-множественной теории колец и модулей изучают и используют пары кокручения.

Осознание важности контрамодулей привело к постановке задачи про глобализацию их над схемами. Но потребовалось написать еще один книжного размера текст (про слабо искривленные алгебры) и потом приложение к нему про контрамодули над адическими пополнениями нетеровых колец, чтобы убедить себя, что такая глобализация действительно необходима и возможна.

В результате на свет появилось понятие контрагерентного копучка и забрезжила перспектива полубесконечной алгебраической геометрии. Последовал период осознания и преодоления технических препятствий на этом пути. Так был поставлен вопрос о парах кокручения в категориях контрамодулей, и были разработаны первые подходы к нему. Кроме того, была сформулирована гипотеза об очень плоскости плоских морфизмов схем. С этим надо было уже ехать в Брно и в Прагу, что я и сделал.

Кроме того, в контексте теории контрагерентных копучков была осознана идея "наивного ко-контра соответствия", за которой открывался вид на MGM-двойственность. С этим надо было ехать в Израиль, что я сделал тоже.

В Брно было придумано правильное решение задачи о парах кокручения в категориях контрамодулей, использующее современные теоретико-множественные средства. Заодно нам открылось, что есть такой важный класс абелевых категорий -- локально представимые абелевы категории с проективной образующей.

Так, начав свой путь почти тридцать лет назад в долине комбинаторной или компьютерной алгебры, я перевалил в долину алгебры теоретико-множественной, где теперь и нахожусь. Тут совсем неплохо, и весьма содержательные, подчас так и вполне нетривиальные, тексты пишутся и выходят из печати один за другим.

Возраст и силы уже далеко не те, но я думаю, что надо бы, пока я не состарился окончательно, успеть как-нибудь разгрести дела и написать или дописать еще один или два тяжелых текста размером с книгу. Может, еще на какую долинку вид откроется.