![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Сегодня мне кажется, что, может быть, можно доказать такую теорему:
Пусть B -- категория моделей аддитивной κ-арной алгебраической теории (т.е., категория модулей над аддитивной κ-достижимой монадой T на категории множеств), и пусть P -- ее каноническая проективная образующая (cвободный T-модуль с одной образующей). Выберем множество X достаточно большой мощности (такой, что кардинал, следующий за мощностью X, не меньше κ), обозначим через Q прямую сумму X копий объекта P в категории B (свободный T-модуль с X образующими), и обозначим через S кольцо HomB(Q,Q)op.
Тогда функтор Ψ = HomB(Q,−) отождествляет B с полной подкатегорией в категории левых S-модулей, обладающей следующими свойствами:
1. Функтор вложения Ψ: B → S-mod -- (вполне строгий), точный и имеет левый сопряженный функтор Δ: S-mod → B;
2. Полная подкатегория Ψ(B) ⊂ S-mod замкнута относительно (не только ядер, коядер и бесконечных произведений, но также и) расширений;
3. Триангулированный функтор Ψ: D−(B) → D−(S-mod), индуцированный точным функтором вложения Ψ: B → S-mod, является вполне строгим;
4. Для каждого множества Y рассмотрим инъективный морфизм левых S-модулей S(Y) → HomB(Q,Q(Y)), где прямая сумма Y копий слева берется в категории левых S-модулей, а справа -- в категории B. Обозначим через LY коядро этого морфизма. Тогда полная подкатегория Ψ(B) ⊂ S-mod состоит в точности из всех таких левых S-модулей С, для которых HomS(LY,C) = 0 = ExtS1(LY,C) для всех множеств Y -- или, что оказывается в данном случае эквивалентным, из всех таких левых S-модулей C, для которых ExtSn(LY,C) = 0 для всех множеств Y и всех n ≥ 0.
Пункт 1 мы знали и раньше, пункт 2 выводится из пункта 3, и пункт 4 выводится из пункта 2. Идея доказательства пункта 3 состоит в том, что функтор Δ переводит проективные S-модули в "λ-плоские S-модули" (λ-фильтрованные индуктивные пределы проективных S-модулей с меньше, чем λ образующими, где λ -- следующий кардинал после мощности множества X), а короткие точные последовательности λ-плоских S-модулей -- в короткие точные последовательности.
Для этого доказательства необходимо развить теорию λ-плоских модулей над кольцом, где λ -- регулярный кардинал. В частности, как минимум, такая теория должна доказывать, что ядро сюръективного морфизма λ-плоских модулей является λ-плоским модулем (также, расширение, и т.д.) Далее, важно, что функтор Δ сохраняет точность "λ-чистых" (λ-фильтрованных индуктивных пределов расщепимых) точных троек, и в частности, таких точных троек, в которых фактормодуль λ-плоский.
Пусть B -- категория моделей аддитивной κ-арной алгебраической теории (т.е., категория модулей над аддитивной κ-достижимой монадой T на категории множеств), и пусть P -- ее каноническая проективная образующая (cвободный T-модуль с одной образующей). Выберем множество X достаточно большой мощности (такой, что кардинал, следующий за мощностью X, не меньше κ), обозначим через Q прямую сумму X копий объекта P в категории B (свободный T-модуль с X образующими), и обозначим через S кольцо HomB(Q,Q)op.
Тогда функтор Ψ = HomB(Q,−) отождествляет B с полной подкатегорией в категории левых S-модулей, обладающей следующими свойствами:
1. Функтор вложения Ψ: B → S-mod -- (вполне строгий), точный и имеет левый сопряженный функтор Δ: S-mod → B;
2. Полная подкатегория Ψ(B) ⊂ S-mod замкнута относительно (не только ядер, коядер и бесконечных произведений, но также и) расширений;
3. Триангулированный функтор Ψ: D−(B) → D−(S-mod), индуцированный точным функтором вложения Ψ: B → S-mod, является вполне строгим;
4. Для каждого множества Y рассмотрим инъективный морфизм левых S-модулей S(Y) → HomB(Q,Q(Y)), где прямая сумма Y копий слева берется в категории левых S-модулей, а справа -- в категории B. Обозначим через LY коядро этого морфизма. Тогда полная подкатегория Ψ(B) ⊂ S-mod состоит в точности из всех таких левых S-модулей С, для которых HomS(LY,C) = 0 = ExtS1(LY,C) для всех множеств Y -- или, что оказывается в данном случае эквивалентным, из всех таких левых S-модулей C, для которых ExtSn(LY,C) = 0 для всех множеств Y и всех n ≥ 0.
Пункт 1 мы знали и раньше, пункт 2 выводится из пункта 3, и пункт 4 выводится из пункта 2. Идея доказательства пункта 3 состоит в том, что функтор Δ переводит проективные S-модули в "λ-плоские S-модули" (λ-фильтрованные индуктивные пределы проективных S-модулей с меньше, чем λ образующими, где λ -- следующий кардинал после мощности множества X), а короткие точные последовательности λ-плоских S-модулей -- в короткие точные последовательности.
Для этого доказательства необходимо развить теорию λ-плоских модулей над кольцом, где λ -- регулярный кардинал. В частности, как минимум, такая теория должна доказывать, что ядро сюръективного морфизма λ-плоских модулей является λ-плоским модулем (также, расширение, и т.д.) Далее, важно, что функтор Δ сохраняет точность "λ-чистых" (λ-фильтрованных индуктивных пределов расщепимых) точных троек, и в частности, таких точных троек, в которых фактормодуль λ-плоский.
