![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Add(M) и проективные контрамодули
Jan. 10th, 2016 10:54 pmПусть A -- абелева категория с произвольными прямыми суммами и κ -- регулярный кардинал. Объект B из A называется слабо κ-порожденным, если всякий морфизм из B в прямую сумму семейства объектов в A факторизуется через вложение прямой суммы подсемейства мощности, меньшей κ. Всякий факторобъект слабо κ-порожденного объекта слабо κ-порожден.
Категория A называется локально слабо κ-порожденной, если она имеет множество образующих, состоящее из слабо κ-порожденных объектов. Слабо ω-порожденный объект называется слабо конечно-порожденным, и локально слабо ω-порожденная категория называется локально слабо конечно-порожденной.
В локально слабо конечно-порожденной абелевой категории A, для любого семейства объектов Mi, естественное отображение ∐i Mi → ∏i Mi инъективно. В самом деле, никакое ненулевое отображение B → ∐i Mi из слабо конечно-порожденного объекта B не может аннулироваться композицией с ∐i Mi → ∏i Mi.
Пусть A -- локально слабо конечно-порожденная абелева категория и M -- произвольный объект в A. Введем на кольце R = HomA(M,M)op следующую топологию: базу окрестностей нуля образуют (правые в R, или левые в Hom) идеалы, состоящие из всех эндоморфизмов, зануляющихся в ограничении на какой-нибудь выбранный слабо конечно-порожденный подобъект в M. Утверждается, что с этой топологией R является полным, отделимым топологическим кольцом.
В самом деле, чтобы проверить, что умножение в R непрерывно в этой топологии, достаточно убедиться, что для любого идеала правого идеала I = Ann(E) ⊂ R, где E ⊂ M -- слабо конечно-порожденный подобъект, и любого элемента r ∈ R, найдется аналогичный открытый идеал J = Ann(F), для которого rJ ⊂ I. Для этого достаточно взять F = Er.
Топология отделима, поскольку всякий эндоморфизм, аннулирующий все слабо конечно-порожденные подобъекты, зануляется. Чтобы показать, что она полна, рассмотрим элемент проективного предела факторгрупп R/Ann(E) по всем слабо конечно-порожденным подобъектам E ⊂ M. Ввиду точной последовательности 0 → Ann(E) = A(M/E,M) → R = A(M,M) → A(E,M), группа R/Ann(E) является подгруппой в A(E,M). Таким образом, элемент проективного предела limE R/Ann(E) задает согласованную систему морфизмов fE: E → M, определенных на всех слабо конечно-порожденных подобъектах в M. Остается показать, что такая система морфизмов продолжается до морфизма h: M → M.
В самом деле, рассмотрим естественный эпиморфизм p: ⊕E E → M. Согласованная система морфизмов E → M определяет морфизм f: ⊕E E → M. Требуется показать, что морфизм f аннулирует ядро эпиморфизма p. Пусть b: B → ⊕E E -- морфизм из слабо конечно-порожденного объекта, аннулирующий эпиморфизм p. Достаточно проверить, что b аннулирует f, т.е. fb = 0.
Морфизм b пропускается через прямую сумму конечного числа объектов E1, …, En. Обозначим через b' соответствующий морфизм B → ⊕i=1n E_i. Пусть F -- сумма подобъектов Ei в M; тогда F -- тоже слабо конечно-порожденный подобъект в M. Пусть q обозначает естественный эпиморфизм ⊕i=1n E_i → F. Тогда qb' = 0, поскольку pb = 0. Пусть g: ⊕i=1n E_i → M обозначает морфизм с компонентами fEi. Тогда g = fFq, так как система морфизмов (fE) согласованная. Следовательно, gb' = 0, откуда fb = 0.
Категория A называется локально слабо κ-порожденной, если она имеет множество образующих, состоящее из слабо κ-порожденных объектов. Слабо ω-порожденный объект называется слабо конечно-порожденным, и локально слабо ω-порожденная категория называется локально слабо конечно-порожденной.
В локально слабо конечно-порожденной абелевой категории A, для любого семейства объектов Mi, естественное отображение ∐i Mi → ∏i Mi инъективно. В самом деле, никакое ненулевое отображение B → ∐i Mi из слабо конечно-порожденного объекта B не может аннулироваться композицией с ∐i Mi → ∏i Mi.
Пусть A -- локально слабо конечно-порожденная абелева категория и M -- произвольный объект в A. Введем на кольце R = HomA(M,M)op следующую топологию: базу окрестностей нуля образуют (правые в R, или левые в Hom) идеалы, состоящие из всех эндоморфизмов, зануляющихся в ограничении на какой-нибудь выбранный слабо конечно-порожденный подобъект в M. Утверждается, что с этой топологией R является полным, отделимым топологическим кольцом.
В самом деле, чтобы проверить, что умножение в R непрерывно в этой топологии, достаточно убедиться, что для любого идеала правого идеала I = Ann(E) ⊂ R, где E ⊂ M -- слабо конечно-порожденный подобъект, и любого элемента r ∈ R, найдется аналогичный открытый идеал J = Ann(F), для которого rJ ⊂ I. Для этого достаточно взять F = Er.
Топология отделима, поскольку всякий эндоморфизм, аннулирующий все слабо конечно-порожденные подобъекты, зануляется. Чтобы показать, что она полна, рассмотрим элемент проективного предела факторгрупп R/Ann(E) по всем слабо конечно-порожденным подобъектам E ⊂ M. Ввиду точной последовательности 0 → Ann(E) = A(M/E,M) → R = A(M,M) → A(E,M), группа R/Ann(E) является подгруппой в A(E,M). Таким образом, элемент проективного предела limE R/Ann(E) задает согласованную систему морфизмов fE: E → M, определенных на всех слабо конечно-порожденных подобъектах в M. Остается показать, что такая система морфизмов продолжается до морфизма h: M → M.
В самом деле, рассмотрим естественный эпиморфизм p: ⊕E E → M. Согласованная система морфизмов E → M определяет морфизм f: ⊕E E → M. Требуется показать, что морфизм f аннулирует ядро эпиморфизма p. Пусть b: B → ⊕E E -- морфизм из слабо конечно-порожденного объекта, аннулирующий эпиморфизм p. Достаточно проверить, что b аннулирует f, т.е. fb = 0.
Морфизм b пропускается через прямую сумму конечного числа объектов E1, …, En. Обозначим через b' соответствующий морфизм B → ⊕i=1n E_i. Пусть F -- сумма подобъектов Ei в M; тогда F -- тоже слабо конечно-порожденный подобъект в M. Пусть q обозначает естественный эпиморфизм ⊕i=1n E_i → F. Тогда qb' = 0, поскольку pb = 0. Пусть g: ⊕i=1n E_i → M обозначает морфизм с компонентами fEi. Тогда g = fFq, так как система морфизмов (fE) согласованная. Следовательно, gb' = 0, откуда fb = 0.
