DG-модули над пополненным комплексом Амицура - 4

Продолжение постинга http://posic.livejournal.com/1188238.html и всей предшествующей серии.

Для любого целого n ≥ 0 обозначим через N_n ⊂ N градуированный подмодуль дискретного C_Y-модуля N ⊂ M, состоящий из всех элементов m ∈ M, на которых действуют нулем все элементы кольца C_Y, представимые в виде произведения 2n+3 элементов C_Y, в котором на n+1 четных местах стоят элементы f либо df. Очевидно, в частности, что в случае n = 0 это новое определение подмодуля N₀ эквивалентно определению из предыдущего постинга.

Очевидно, что N_n является DG-подмодулем DG-модулей N и M над DG-алгеброй C_Y. Далее, объединение всех DG-подмодулей N_n равно DG-модулю N ⊂ M. Чтобы показать это, достаточно вспомнить, что всякий элемент m ∈ N, по определению, аннулируется идеалом G^pC_Y (см. постинг http://posic.livejournal.com/1187439.html ) и элементом f^q для достаточно больших p и q, что идеал G^pC_Y содержит все компоненты алгебры C_Y градуировки большей или равной p, и дополнительно заметить, что для любого элемента c ∈ G^pC_Y элемент fc − cf алгебры C_Y принадлежит G^p+1C_Y (слабая форма последнего наблюдения использовалась уже в предыдущем постинге, когда мы говорили, что комплекс M[f⁻¹] является DG-модулем над алгеброй C_Y∖Z).

Идея в том, чтобы показать, что DG-модули N_n/N_n−1 над DG-алгеброй C_Y стягиваемы при n ≥ 1 ; тогда коацикличность DG-модуля N/N₀ будет немедленно следовать. Стягивающая гомотопия s: N_n/N_n−1 → N_n/N_n−1 должна, по замыслу, задаваться следующим правилом. Пусть m ∈ N_n -- некоторый элемент; тогда элемент s(m) ∈ M должен быть решением следующей системы уравнений.

Пусть c_2n+1*…*c₁ -- формальное произведение 2n+1 элементов в алгебре C_Y, где на четных местах стоят элементы c_2i = f или df, а на нечетных местах -- произвольные однородные элементы c_2i+1 ∈ C. Сопоставим выражению c_2n+1*…*c₁ следующую знакопеременную сумму h(c_2n+1*…*c₁) элементов из C_Y. Число слагаемых в ней равно числу вхождений множителя df в формальное произведение c_2n+1*…*c₁, а само такое слагаемое получается заменой этого множителя df на множитель f и выставлением знака, равного минус единице в степени сумма четностей формальных сомножителей, стоящих справа от заменяемого сомножителя df.

Потребуем, чтобы для любого формального произведения c_2n+1*…*c₁ указанного вида в C_Y-модуле M выполнялось уравнение

c_2n+1…c₁ s(m) = h(c_2n+1*…*c₁) m.

Прежде всего, из определений очевидно, что элемент s(m), если он существует, принадлежит N_n и определен однозначно с точностью до элементов из N_n−1. Далее, прямым вычислением должно проверяться, что если s(m) существует, то для любого c ∈ C_Y элемент (−1)^|c|cs(m) годится на роль s(cm), а элемент nm + ds(m) годится на роль s(−dm). Таким образом, отображение s, если оно всюду определено на N_n, является стягивающей гомотопией для эндоморфизма умножения на −n на DG-модуле N_n/N_n−1 над C_Y.

Для доказательства существования элемента s(m) имеется в виду использовать предположение инъективности градуированного C_Y-модуля M. Выберем достаточно большое p, и обозначим через J_n^p идеал в кольце C_Y/G^pC_Y, состоящий из всех конечных сумм элементов вида c_2n+1…c₁, где c_2i = f или df, а c_2i+1 ∈ C.

Нужно как-то проверить, что (для достаточно большого p) правило c_2n+1…c₁ → h(c_2n+1*…*c₁) m задает корректно определенный гомоморфизм дискретных градуированных C_Y-модулей J_n^p → M. Ввиду инъективности M, этот гомоморфизм тогда будет продолжаться до гомоморфизма градуированных C_Y-модулей C_Y/G^pC_Y → M, и образ единицы будет искомым элементом s(m).