![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Левые контрамодули над топологическим ассоциативным кольцом R, открытые правые идеалы J в котором образуют базу окрестностей нуля, определяются как модули над монадой X → R[[X]] = limJ R/J[X] на категории множеств. В случае топологической ассоциативной алгебры A над полем k, удовлетворяющей тому же условию на топологию и правые идеалы, имеется более простое альтернативное определение, согласно которому левые A-контрамодули суть модули над монадой V → A⊗^V = limJ A/J⊗kV на категории k-векторных пространств.
По случаю сегодняшего (в смысле, прошедшего дня) семинара, было придумано доказательство эквивалентности этих двух определений, менее индексно-вычислительное и более концептуальное, чем то, что сейчас написано в разделе 1.10 препринта Weakly curved ... (1202.2697). По существу, речь идет о следующем вопросе: одна пара сопряженных функторов (между категориями k-vect и Sets) прикомпоновывается к другой (между категориями левых A-контрамодулей в смысле второго определения, через пополненное тензорное произведение, и k-vect). Обе эти пары сопряженных функторов монадичны (т.е., верхняя категория эквивалентна модулям над возникающей монадой на нижней) по определению; будет ли монадичной композиция.
Доказательство сформулированного утверждения о контрамодулях: у любого k-векторного пространства V имеется "неаддитивная бар-резольвента" с (интересующим нас) начальным фрагментом k[k[V]] → k[V] → V → 0. Левая стрелка, как обычно, строится как разность естественных двух; попросту, любой модуль над монадой можно так выразить в виде коуравнителя пары стрелок между свободными модулями.
Применяя к этой точной последовательности векторных пространств аддитивный функтор A⊗^− и имея в виду естественный изоморфизм A⊗^k[X] = A[[X]] для любого множества X, получаем точную последовательность A[[k[V]]] → A[[V]] → A⊗^V → 0. Теперь ясно, что любому отображению A⊗^P → P для k-векторного пространства P можно сопоставить отображение A[[P]] → P; и наоборот, всякое отображение A[[P]] → P для множества P, удовлетворяющее аксиоме контраассоциативности, после введения структуры k-векторного пространства на P путем рассмотрения композиции k[P] → A[[P]] → P однозначно факторизуется через сюръекцию A[[P]] → A⊗^P.
Применительно к вышеизложенной задаче про композиции пар сопряженных функторов и монады, ответ состоит в том, что эндофунктор "верхней" монады должен переводить стандартные коуравнители, выражающие объекты средней категории через свободные относительно "нижней" монады, в коуравнители. Это достаточное условие; я не проверял, насколько оно может быть необходимым, но, вообще говоря, монадичность пар сопряженных функторов не сохраняется при их композициях, как показывает приводившийся контрпример с тройкой категорий множеств, абелевых групп, и p-полных абелевых групп (с монадами X → Z[X] и H → limn H/pnH на категориях Sets и Ab; монада, связанная с композицией соответствующих двух пар сопряженных функторов, определяет категорию Zp-контрамодулей).
***
Изложенный аргумент предполагает, помимо (контра)ассоциативности, что A является алгеброй с единицей, и на контрамодули в обоих определениях накладывается требование унитальности. Без этого вообще не видно, как определить на модуле над неунитальной монадой X → R[[X]] или A[[X]] структуру абелевой группы или векторного пространства. В этом смысле вопрос, который мне задавали на семинаре, является, видимо, правильным указанием на некорректность моего изложения в связи с леммой Накаямы для контрамодулей над топологически нильпотентными топологическими кольцами без единицы в разделе 1.3 вышепроцитированного препринта.
Всякому топологическому ассоциативному кольцу без единицы T сопоставляется его унитализация -- кольцо T0 = Z ⊕ T, снабженное умножением, в котором T ⊂ T0 является идеалом (со старым умножением на T), а 1 ∈ Z ⊂ T0 -- единичным элементом. Базу окрестностей нуля в T0 составляют открытые подмножества T, рассматриваемые как подмножества в T0. Гомоморфизм колец T → T0 универсален в классе непрерывных гомоморфизмов из T в унитальные топологические кольца.
Неунитальными контрамодулями над T следует называть обычные (т.е., унитальные) контрамодули над T0. Это позволяет иметь на T-контрамодулях P структуру абелевой группы таким образом, чтобы отображение контрадействия T[[P]] → P было гомоморфизмом абелевых групп -- что придает смысл операциям сложения и вычитания, производимым в финальной части доказательства леммы Накаямы в разделе 1.3.
По случаю сегодняшего (в смысле, прошедшего дня) семинара, было придумано доказательство эквивалентности этих двух определений, менее индексно-вычислительное и более концептуальное, чем то, что сейчас написано в разделе 1.10 препринта Weakly curved ... (1202.2697). По существу, речь идет о следующем вопросе: одна пара сопряженных функторов (между категориями k-vect и Sets) прикомпоновывается к другой (между категориями левых A-контрамодулей в смысле второго определения, через пополненное тензорное произведение, и k-vect). Обе эти пары сопряженных функторов монадичны (т.е., верхняя категория эквивалентна модулям над возникающей монадой на нижней) по определению; будет ли монадичной композиция.
Доказательство сформулированного утверждения о контрамодулях: у любого k-векторного пространства V имеется "неаддитивная бар-резольвента" с (интересующим нас) начальным фрагментом k[k[V]] → k[V] → V → 0. Левая стрелка, как обычно, строится как разность естественных двух; попросту, любой модуль над монадой можно так выразить в виде коуравнителя пары стрелок между свободными модулями.
Применяя к этой точной последовательности векторных пространств аддитивный функтор A⊗^− и имея в виду естественный изоморфизм A⊗^k[X] = A[[X]] для любого множества X, получаем точную последовательность A[[k[V]]] → A[[V]] → A⊗^V → 0. Теперь ясно, что любому отображению A⊗^P → P для k-векторного пространства P можно сопоставить отображение A[[P]] → P; и наоборот, всякое отображение A[[P]] → P для множества P, удовлетворяющее аксиоме контраассоциативности, после введения структуры k-векторного пространства на P путем рассмотрения композиции k[P] → A[[P]] → P однозначно факторизуется через сюръекцию A[[P]] → A⊗^P.
Применительно к вышеизложенной задаче про композиции пар сопряженных функторов и монады, ответ состоит в том, что эндофунктор "верхней" монады должен переводить стандартные коуравнители, выражающие объекты средней категории через свободные относительно "нижней" монады, в коуравнители. Это достаточное условие; я не проверял, насколько оно может быть необходимым, но, вообще говоря, монадичность пар сопряженных функторов не сохраняется при их композициях, как показывает приводившийся контрпример с тройкой категорий множеств, абелевых групп, и p-полных абелевых групп (с монадами X → Z[X] и H → limn H/pnH на категориях Sets и Ab; монада, связанная с композицией соответствующих двух пар сопряженных функторов, определяет категорию Zp-контрамодулей).
***
Изложенный аргумент предполагает, помимо (контра)ассоциативности, что A является алгеброй с единицей, и на контрамодули в обоих определениях накладывается требование унитальности. Без этого вообще не видно, как определить на модуле над неунитальной монадой X → R[[X]] или A[[X]] структуру абелевой группы или векторного пространства. В этом смысле вопрос, который мне задавали на семинаре, является, видимо, правильным указанием на некорректность моего изложения в связи с леммой Накаямы для контрамодулей над топологически нильпотентными топологическими кольцами без единицы в разделе 1.3 вышепроцитированного препринта.
Всякому топологическому ассоциативному кольцу без единицы T сопоставляется его унитализация -- кольцо T0 = Z ⊕ T, снабженное умножением, в котором T ⊂ T0 является идеалом (со старым умножением на T), а 1 ∈ Z ⊂ T0 -- единичным элементом. Базу окрестностей нуля в T0 составляют открытые подмножества T, рассматриваемые как подмножества в T0. Гомоморфизм колец T → T0 универсален в классе непрерывных гомоморфизмов из T в унитальные топологические кольца.
Неунитальными контрамодулями над T следует называть обычные (т.е., унитальные) контрамодули над T0. Это позволяет иметь на T-контрамодулях P структуру абелевой группы таким образом, чтобы отображение контрадействия T[[P]] → P было гомоморфизмом абелевых групп -- что придает смысл операциям сложения и вычитания, производимым в финальной части доказательства леммы Накаямы в разделе 1.3.
