![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Будем говорить, что абелева категория A с бесконечными произведениями (т.е., удовлетворяющая Ab3*) удовлетворяет Ab4.5*, если для любой проективной системы комплексов Cα над A, занумерованной элементами α вполне упорядоченного множества I, такой что для любого α ∈ I отображение Cα → limβ<α Cβ сюръективно, а ядро его является ацикличным комплексом, проективный предел limα∈I Cα тоже является ацикличным комплексом. Нетрудно убедиться, пользуясь индукцией по I, что достаточно проверять это условие для трехчленных комплексов (коротких точных последовательностей).
Легко видеть, что аксиома Ab4.5* сильнее Ab4* (точности бесконечных произведений), но слабее Ab5* (точности направленных проективных пределов). Категории абелевых групп/модулей над кольцом/диаграмм/функторов/аддитивных функторов в абелевы группы/в категории, удовлетворяющие Ab4.5*/... удовлетворяют Ab4.5*. Любая абелева категория с достаточным количеством проективных объектов удовлетворяет Ab4.5*. Соответственно, любая абелева категория с достаточным количеством инъективных объектов удовлетворяет двойственной аксиоме Ab4.5 (про индуктивные пределы).
Контрпример абелевой категории, удовлетворяющей Ab4*, но не Ab4.5*, предъявлялся в известной истории с "опровержением теоремы 61-го года в гомологической алгебре" (http://link.springer.com/article/10.1007%2Fs002220100197 ); потом выяснилось, что вопрос упирается в наличие множества образующих (http://jlms.oxfordjournals.org/content/73/1/65.short ), но при этом речь шла только о проективных пределах последовательностей (индексированных натуральными числами). Следует ли Ab4.5* из Ab4* при наличии множества образующих, я не знаю.
Более общим образом, пусть E -- точная категория. Будем называть проективную систему Xα в категории E, индексированную элементами вполне упорядоченного множества I, миттаг-леффлеровой, если для любого α ∈ I проективный предел limβ<α Xβ существует в категории E, а отображение Xα → limβ<α Xβ является допустимым эпиморфизмом.
Точная категория E называется точной категорией с точными миттаг-леффлеровыми проективными пределами, если любая миттаг-леффлерова проективная система в E имеет проективный предел, и функтор проективного предела переводит почленно точные короткие последовательности (или почленно точные/ацикличные комплексы) миттаг-леффлеровых проективных систем в, соответственно, короткие точные последовательности (или точные/ацикличные комплексы) объектов E. В такой точной категории, проективный предел limα∈I Xα (в обозначениях выше) называется трансфинитно-итерированным расширением объектов ker(Xα→limβ<αXβ) в смысле проективного предела.
Пусть теперь DG -- точная DG-категория, такая что точная категория DG# имеет точные миттаг-леффлеровы проективные пределы (или, что, видимо, эквивалентно, по крайней мере, в предположении идемпотентной замкнутости, точная категория Z0(DG) имеет точные миттаг-леффлеровы проективные пределы). Определим по-новому контрапроизводную категорию Dctr(DG) как факторкатегорию гомотопической категории H0(DG) по толстой (на самом деле, даже колокализующей) подкатегории объектов, гомотопически эквивалентных трансфинитно-итерированным расширениям в смысле проективного предела в точной категории Z0(DG) конусов тождественных отображений в DG-категории DG.
Например, тотализация точной тройки в Z0(DG) является расширением двух конусов тождественных отображений (крайних объектов в точной тройке, с точностью до сдвига); так что контраацикличные объекты в смысле моего старого определения являются также контраацикличными в смысле вышеприведенного нового. Вот еще один вариант определения, потенциально расширяющий класс контраацикличных объектов еще сильнее: контрапроизводная категория есть факторкатегория гомотопической категории по толстой/колокализующей подкатегории всех объектов, которые можно получить из нулевого объекта с помощью операций перехода к трансфинитно-итерированному расширению в смысле проективного предела в Z0(DG) и перехода к изоморфному объекту в H0(DG) (т.е., к гомотопически эквивалентному объекту в DG).
Как было, по существу, объяснено в предыдущем постинге http://posic.livejournal.com/1023730.html , контраацикличные объекты (даже в смысле самого расширительного, последнего определения) ортогональны справа в H0(DG) всем объектам DG, проективным в DG# (здесь важно, что трансфинитно-итерированные расширения в Z0(DG) остаются таковыми в DG#). Образуют ли эти две триангулированные подкатегории, H0(DGproj) и Acyclctr(DG), полуортогональное разложение гомотопической категории H0(DG) ?
Легко видеть, что аксиома Ab4.5* сильнее Ab4* (точности бесконечных произведений), но слабее Ab5* (точности направленных проективных пределов). Категории абелевых групп/модулей над кольцом/диаграмм/функторов/аддитивных функторов в абелевы группы/в категории, удовлетворяющие Ab4.5*/... удовлетворяют Ab4.5*. Любая абелева категория с достаточным количеством проективных объектов удовлетворяет Ab4.5*. Соответственно, любая абелева категория с достаточным количеством инъективных объектов удовлетворяет двойственной аксиоме Ab4.5 (про индуктивные пределы).
Контрпример абелевой категории, удовлетворяющей Ab4*, но не Ab4.5*, предъявлялся в известной истории с "опровержением теоремы 61-го года в гомологической алгебре" (http://link.springer.com/article/10.1007%2Fs002220100197 ); потом выяснилось, что вопрос упирается в наличие множества образующих (http://jlms.oxfordjournals.org/content/73/1/65.short ), но при этом речь шла только о проективных пределах последовательностей (индексированных натуральными числами). Следует ли Ab4.5* из Ab4* при наличии множества образующих, я не знаю.
Более общим образом, пусть E -- точная категория. Будем называть проективную систему Xα в категории E, индексированную элементами вполне упорядоченного множества I, миттаг-леффлеровой, если для любого α ∈ I проективный предел limβ<α Xβ существует в категории E, а отображение Xα → limβ<α Xβ является допустимым эпиморфизмом.
Точная категория E называется точной категорией с точными миттаг-леффлеровыми проективными пределами, если любая миттаг-леффлерова проективная система в E имеет проективный предел, и функтор проективного предела переводит почленно точные короткие последовательности (или почленно точные/ацикличные комплексы) миттаг-леффлеровых проективных систем в, соответственно, короткие точные последовательности (или точные/ацикличные комплексы) объектов E. В такой точной категории, проективный предел limα∈I Xα (в обозначениях выше) называется трансфинитно-итерированным расширением объектов ker(Xα→limβ<αXβ) в смысле проективного предела.
Пусть теперь DG -- точная DG-категория, такая что точная категория DG# имеет точные миттаг-леффлеровы проективные пределы (или, что, видимо, эквивалентно, по крайней мере, в предположении идемпотентной замкнутости, точная категория Z0(DG) имеет точные миттаг-леффлеровы проективные пределы). Определим по-новому контрапроизводную категорию Dctr(DG) как факторкатегорию гомотопической категории H0(DG) по толстой (на самом деле, даже колокализующей) подкатегории объектов, гомотопически эквивалентных трансфинитно-итерированным расширениям в смысле проективного предела в точной категории Z0(DG) конусов тождественных отображений в DG-категории DG.
Например, тотализация точной тройки в Z0(DG) является расширением двух конусов тождественных отображений (крайних объектов в точной тройке, с точностью до сдвига); так что контраацикличные объекты в смысле моего старого определения являются также контраацикличными в смысле вышеприведенного нового. Вот еще один вариант определения, потенциально расширяющий класс контраацикличных объектов еще сильнее: контрапроизводная категория есть факторкатегория гомотопической категории по толстой/колокализующей подкатегории всех объектов, которые можно получить из нулевого объекта с помощью операций перехода к трансфинитно-итерированному расширению в смысле проективного предела в Z0(DG) и перехода к изоморфному объекту в H0(DG) (т.е., к гомотопически эквивалентному объекту в DG).
Как было, по существу, объяснено в предыдущем постинге http://posic.livejournal.com/1023730.html , контраацикличные объекты (даже в смысле самого расширительного, последнего определения) ортогональны справа в H0(DG) всем объектам DG, проективным в DG# (здесь важно, что трансфинитно-итерированные расширения в Z0(DG) остаются таковыми в DG#). Образуют ли эти две триангулированные подкатегории, H0(DGproj) и Acyclctr(DG), полуортогональное разложение гомотопической категории H0(DG) ?
