Контрамодули над некоммутативными нетеровыми кольцами

Пусть R -- нетерово слева слабо нетерово ассоциативное кольцо, m -- идеал в R, порожденный центральными элементами. Пусть R_m^ обозначает пополнение R в m-адической топологии, рассматриваемое как топологическое кольцо.

Теорема. Забывающий функтор из категории левых контрамодулей над R_m^ в категорию левых R-модулей -- вполне строгий. Если s₁, ..., s_n -- центральные образующие идеала m в R, то образом этого функтора является полная подкатегория в R-mod, состоящая из всех модулей, являющихся s_j-контрамодулями для всех j.

Следствие. Пусть К -- коммутативное нетерово кольцо, полное в адической топологии своего идеала k, пусть R -- нетерово слева ассоциативное нетерово кольцо, и K → R -- гомоморфизм колец, такой что кольцо R полно в k-адической топологии (как K-модуль). Будем рассматривать K и R как топологические кольца в их k-адических топологиях. Тогда категория левых R-контрамодулей эквивалентна категории левых R-модулей, подлежащая структура K-модуля в которых продолжается до структуры K-контрамодуля.

Набросок доказательства теоремы: рассмотрим кольцо формальных степенных рядов R[[t₁,...,t_n]] и наделим его (t₁,...,t_n)-адической топологией. Имеется сюръективный открытый гомоморфизм колец R[[t₁,...,t_n]] → R_m^, образующий коммутативную диаграмму с естественными отображениями из кольца R и переводящий t_j в s_j.

Лемма 1. Ядро J гомоморфизма колец R[[t₁,...,t_n]] → R_m^ порождено центральными элементами t_j − s_j (как идеал в абстрактном кольце). Более того, любое семейство элементов J, сходящееся к нулю в топологии R[[t₁,...,t_n]], является линейной комбинацией n сходящихся к нулю семейств элементов R[[t₁,...,t_n]], взятых с коэффициентами t_j − s_j.

Доказательство леммы 1 аналогично рассуждению из разделов B.3-B.4 препринта 1202.2697; предположение коммутативности там по существу не используется. Более того, достаточно предполагать не левую, а только слабую нетеровость кольца R (т.е., что любая возрастающая цепочка двусторонних идеалов стабилизируется).

Лемма 2. Забывающий функтор отождествляет категорию R[[t₁,...,t_n]]-контрамодулей с полной подкатегорией в категории R[t₁,...,t_n]-модулей, состоящей из таких модулей, которые являются t_j-контрамодулями для всех j.

Доказательство аналогично разделам B.5-B.6 того же препринта. Утверждение верно для любого ассоциативного кольца R.

В связи с леденящей душу историей

о девушке-инвалиде без прямой кишки, помещенной в камеру СИЗО за употребление амфетаминов и гниющей там заживо, в очередной раз заявляю:

Ни изготовление, ни хранение-перевозка, ни распространение-продажа, ни употребление наркотиков не являются преступлениями. Все лица, арестованные или осужденные за действия с наркотиками и не совершавшие настоящих -- т.е., связанных с насилием против личности или собственности -- преступлений, подлежат незамедлительному освобождению.