![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Mar. 11th, 2013
не работает у меня. В смысле, читать-скачивать позволяет, но в мастерскую не пускает.
Должно быть, это у них начался (объявленный ранее) переезд.
В порядке квик-фикса, удалось закачать ps.gz-файл текущей версии контрагерентного текста на яндекс.диск -- http://yadi.sk/d/zjWDb3BB3CdLv (212 страниц).
12.03.2013 20:25 -- Update: а теперь они (народ.ру) пускают в мастерскую, но закачать файл не удается. Процесс пересылки обрывается посередине, и на сайте появляется начальный (видимо) кусок нужного файла, переменной от попытки к попытке длины.
20:35 -- похоже, переменная величина была монотонно убывающей -- в общем, так или иначе, но теперь она стабилизировалась на отметке 8Кб. Очень удобно.
UUpdate: заработал обратно народ. 14 марта уже работал.
Должно быть, это у них начался (объявленный ранее) переезд.
В порядке квик-фикса, удалось закачать ps.gz-файл текущей версии контрагерентного текста на яндекс.диск -- http://yadi.sk/d/zjWDb3BB3CdLv (212 страниц).
12.03.2013 20:25 -- Update: а теперь они (народ.ру) пускают в мастерскую, но закачать файл не удается. Процесс пересылки обрывается посередине, и на сайте появляется начальный (видимо) кусок нужного файла, переменной от попытки к попытке длины.
20:35 -- похоже, переменная величина была монотонно убывающей -- в общем, так или иначе, но теперь она стабилизировалась на отметке 8Кб. Очень удобно.
UUpdate: заработал обратно народ. 14 марта уже работал.
Очень плоские контрамодули - 1
Mar. 11th, 2013 11:27 pmЕсли в классической гомологической алгебре ключевую техническую роль играют проективные и инъективные резольвенты, то в том, что Енокс называет "относительной" гомологической алгеброй (а я бы, видимо, называл "полубесконечной"), аналогичное место занимает то, что теперь принято называть "полными теориями кокручения".
Термин этот обозначает ситуацию, когда в абелевой или точной категории имеются два дополнительных класса объектов -- так сказать, "отчасти проективных" и "отчасти инъективных", так что можно вычислять функтор Ext, заменив одновременно первый аргумент на его "отчасти проективную" резольвенту, а второй -- на "отчасти инъективную". Условие существования достаточного количества объектов в двух дополнительных классах (свойство полноты "теории кокручения"), если его правильно сформулировать, оказывается сильным и нетривиальным, и из него много чего можно вывести.
Классический пример пары дополнительных классов объектов получается, если взять за "отчасти проективные" модули над кольцом -- все плоские модули (а "отчасти инъективными" тогда уж будут те, которые будут -- они, собственно, и называются "модулями кокручения"). Другие примеры возникают в полубесконечной гомологической алгебре -- там "отчасти проективными" будут модули, проективные вдоль одной группы переменных в кольце, а "отчасти инъективными" -- инъективные вдоль дополнительной группы (остальных) переменных.
В частности, теории кокручения играют ключевую роль в науке про контрагерентные копучки. При этом если в ситуации над каким-нибудь стеком в плоской топологии естественно использовать теорию плоских модулей и модулей кокручения, то работая над схемой, можно увеличить общность, заменив произвольные плоские модули на их небольшой подкласс (минимальный, содержащий свободные модули и сохраняемый операцией взятия прямого образа с открытого вложения аффинных схем, наряду с обычными гомологическими операциями).
Дополнительные классы соответствующей полной теории кокручения, имеющей место в абелевой категории модулей над произвольным коммутативным кольцом, называются классами "очень плоских" и "контраприспособленных" модулей. Все очень плоские модули имеют проективную размерность, не превосходящую единицы, а свойство контраприспособленности, соответственно, сохраняется при переходе к любому фактормодулю.
Термин этот обозначает ситуацию, когда в абелевой или точной категории имеются два дополнительных класса объектов -- так сказать, "отчасти проективных" и "отчасти инъективных", так что можно вычислять функтор Ext, заменив одновременно первый аргумент на его "отчасти проективную" резольвенту, а второй -- на "отчасти инъективную". Условие существования достаточного количества объектов в двух дополнительных классах (свойство полноты "теории кокручения"), если его правильно сформулировать, оказывается сильным и нетривиальным, и из него много чего можно вывести.
Классический пример пары дополнительных классов объектов получается, если взять за "отчасти проективные" модули над кольцом -- все плоские модули (а "отчасти инъективными" тогда уж будут те, которые будут -- они, собственно, и называются "модулями кокручения"). Другие примеры возникают в полубесконечной гомологической алгебре -- там "отчасти проективными" будут модули, проективные вдоль одной группы переменных в кольце, а "отчасти инъективными" -- инъективные вдоль дополнительной группы (остальных) переменных.
В частности, теории кокручения играют ключевую роль в науке про контрагерентные копучки. При этом если в ситуации над каким-нибудь стеком в плоской топологии естественно использовать теорию плоских модулей и модулей кокручения, то работая над схемой, можно увеличить общность, заменив произвольные плоские модули на их небольшой подкласс (минимальный, содержащий свободные модули и сохраняемый операцией взятия прямого образа с открытого вложения аффинных схем, наряду с обычными гомологическими операциями).
Дополнительные классы соответствующей полной теории кокручения, имеющей место в абелевой категории модулей над произвольным коммутативным кольцом, называются классами "очень плоских" и "контраприспособленных" модулей. Все очень плоские модули имеют проективную размерность, не превосходящую единицы, а свойство контраприспособленности, соответственно, сохраняется при переходе к любому фактормодулю.
Очень плоские контрамодули - 2
Mar. 11th, 2013 11:46 pmОбобщение теории контрагерентных копучков со схем на (скажем, нетеровы) формальные схемы требует, прежде всего, построения подходящих теорий кокручения в абелевой категории контрамодулей над адическим пополнением (нетерова) кольца. О том, что в категории контрамодулей над полным нетеровым кольцом есть полная теория кокручения, состоящая из плоских контрамодулей и контрамодулей кокручения, я знаю с последних дней мая прошлого года. При этом контрамодуль над пополнением нетерова кольца R по идеалу I называется плоским, если он плоский как R-модуль, и контрамодулем кокручения, если он является R-модулем кокручения.
Построение теории очень плоских и контраприспособленных контрамодулей казалось более сложной проблемой, прежде всего потому, что класс очень плоских модулей не обладает (насколько известно) свойствами замкнутости относительно операций, подобных бесконечному произведению или проективному пределу (которые имеют место для плоских модулей над когерентными или нетеровыми кольцами). Кажется, теперь я научился эту задачу решать.
Идея очень простая: в то время, как мы по-прежнему хотим называть контраприспособленными контрамодулями над пополнением R по I такие контрамодули, которые являются контраприспособленными R-модулями, класс очень плоских контрамодулей мы будем описывать по-другому. В самом деле, ниоткуда, насколько я знаю, не следует, что контрамодули, являющиеся очень плоскими модулями, вообще существуют. Вместо этого, мы хотим считать контрамодуль над пополнением очень плоским, если его приведение по модулю In является очень плоским R/In-модулем для всех n. Типичным примером очень плоского контрамодуля у нас будет I-адическое пополнение какого-нибудь очень плоского R-модуля.
Почему это работает, надо разбираться. Мне сейчас кажется, что я умею преодолевать возникающие при этом подходе препятствия, но более-менее уверенно об этом можно будет говорить, когда доказательства будут написаны (чем я сейчас занимаюсь).
Построение теории очень плоских и контраприспособленных контрамодулей казалось более сложной проблемой, прежде всего потому, что класс очень плоских модулей не обладает (насколько известно) свойствами замкнутости относительно операций, подобных бесконечному произведению или проективному пределу (которые имеют место для плоских модулей над когерентными или нетеровыми кольцами). Кажется, теперь я научился эту задачу решать.
Идея очень простая: в то время, как мы по-прежнему хотим называть контраприспособленными контрамодулями над пополнением R по I такие контрамодули, которые являются контраприспособленными R-модулями, класс очень плоских контрамодулей мы будем описывать по-другому. В самом деле, ниоткуда, насколько я знаю, не следует, что контрамодули, являющиеся очень плоскими модулями, вообще существуют. Вместо этого, мы хотим считать контрамодуль над пополнением очень плоским, если его приведение по модулю In является очень плоским R/In-модулем для всех n. Типичным примером очень плоского контрамодуля у нас будет I-адическое пополнение какого-нибудь очень плоского R-модуля.
Почему это работает, надо разбираться. Мне сейчас кажется, что я умею преодолевать возникающие при этом подходе препятствия, но более-менее уверенно об этом можно будет говорить, когда доказательства будут написаны (чем я сейчас занимаюсь).