Гладкие и собственные морфизмы

Все знают, что гладкие (или, в большей общности, плоские) морфизмы существуют для того, чтобы брать вдоль них обратные образы пучков. А собственные морфизмы -- чтобы брать прямые образы. Ну, что может быть очевиднее?

Кажется, у меня складывается такая картина, что функтор производного квазикогерентно-контрагерентного соответствия (на нетеровой схеме с дуализирующим комплексом) коммутирует с прямыми образами при гладких морфизмах и обратными образами при собственных. Правда, доказывать все это я пока еще не умею.

P.S. Вот например: чем, вообще, казалось бы, хороши обратные образы при собственных морфизмах? А ответ такой. Есть два разных функтора на производных категориях квазикогерентных пучков, которые в разных контекстах обозначают через f^!.

Один -- который переводит дуализирующий комплекс в дуализирующий комплекс; это функтор который строит П.Д. в своем приложении к Residues and Duality как сопряженный функтор к функтору f_!, действующему на про-когерентных пучках. Другой -- сопряженный функтор к обычному прямому образу f_* -- это функтор, которой строит А.Н., пользуясь своей техникой компактных объектов в триангулированных категориях.

Различать эти функторы можно так: пусть f: Y → X -- открытое вложение аффинных схем. Тогда функтор f^! имени П.Д. совпадает с функтором f* (как и для любого открытого вложения) и действует на модулях как тензорное умножение на O(Y) над O(X). А функтор f^! имени А.Н. совсем другой -- он действует на модулях как RHom из O(Y) над O(X).

Так вот, для собственного морфизма f эти два функтора f^! совпадают.