Комментарий к собранию сочинений - 0

Надо себе отметить написать когда-нибудь такую штуку, как А.С. Л. предлагает -- http://posic.livejournal.com/633156.html . Публиковать ее, по хорошему, негде, так что можно ограничиться ЖЖ (по-русски) или домашней страницей (по-английски).

Пока что пусть здесь будет нечто вроде зачина. Зачин такой: я обычно не осознавал своих действительных целей в важных делах, по крайней мере, в юности и молодости -- в том смысле, что действия мои не очень сообразовывались с тем, что мне в момент их совершения казалось их целями, а реконструируемые постфактум по действиям имплицитные цели оказывались далеки от моего образа мысли на момент совершения действий. В наиболее ярких случаях я сам себя спрашивал и не мог себе объяснить, зачем я делаю вот то, что прямо сейчас делаю.

В частности, применительно к математической научной работе, целеполагание в моей юности обычно строилось так: была задача, которую непосредственно хотелось решить, и в порядке мотивации к ней мыслился некий дальний прицел на научное открытие большого значения, типа доказательства знаменитой гипотезы или построения теории, похожей на какую-нибудь очень известную теорию, или описания чего-нибудь очень сложного в терминах чего-нибудь совсем простого, и т.п. Конкретная задача во многих случаях решалась (иногда за две недели, иногда за пятнадцать лет); дальний прицел же неизменно оказывался совершенно маниловским и явно недостижимым в предполагавшейся форме и предполагавшимися средствами.

С учетом этого, рассказ о том, что я хотел сделать и что из этого вышло, может писаться либо как комическая страница из книги "история человеческой глупости", основанная на рефлексии периода совершавшихся событий, либо как высокопарное повествование о бессознательной проницательности, восстановленной задним числом. Этот длинный, только что закончившийся дисклеймер был к тому, что дальнейшее изложение будет во втором жанре. В следующем постинге будет собственно зачин.

Комментарий к собранию сочинений - 1

Как уже писалось (может быть, под замком) в этом журнале, мои работы в целом подразделяются на

(0) спорадические работы (их немного -- прежде всего, это самая первая статья 1991 года и никогда не публиковавшийся в рецензируемых изданиях архивный препринт 1995 года, а также статья 2002 года с двумя соавторами);
(1) работы по однородным квадратичным/кошулевым алгебрам (это в основном книжка Quadratic algebras и статья 1995 года с довольно известным контрпримером);
(2) работы, традиционно публикуемые в Архиве по разделу math.CT (выросшие из статьи 1993 года о неоднородных кошулевых алгебрах с соотношениями в степенях 2, 1, 0); и
(3) работы, публикуемые в Архиве по разделу math.KT (выросшие из статьи 1995 года о, по существу, неоднородных кошулевых алгебрах с соотношениями в степенях 2, 3, 4, 5, ...)

Ниже в этом постинге речь пойдет о направлении номер (2).

О том, что в неоднородной квадратичной двойственности возникает неожиданное и естественное обобщение DG-алгебр -- CDG-алгебры, или "искривленные DG-алгебры" -- я знал где-то с конца весны 1991 года, кажется. В августе, лежа в больнице, я в первый (но далеко не в последний) раз пытался проделать пресловутое вычисление неоднородных квадратичных деформаций тензорного произведения симметрической и внешней алгебр, а осенью появились "классы Чженя" CDG-алгебр (которые на самом деле, конечно, характер Чженя).

Примерно с этого момента я смутно ощущал или должен был ощущать, что передо мной стоит задача построения второй математики, параллельной уже существующей. То есть, это неправильно так говорить, конечно, а правильно говорить -- задача восстановления недостающей половины математики, упущенной классиками.

Постфактум, на нынешнем пике интереса к DG-алгебрам и DG-категориям, уже никто не сомневается, что на языке DG-алгебр может быть выражена более-менее вся алгебра (алгебраическая геометрия, алгебраическая топология), по крайней мере, если либо избавиться от коммутативности, либо ограничиться рациональными коэффициентами. Поскольку CDG-алгебры ничем не хуже DG-алгебр -- а они, конечно, на своем месте ничем не хуже -- следует сформулированный выше вывод.

... Двадцать лет спустя, мы имеем нечто вроде разработанных в целом оснований этой второй половины математики. Так же, как со времен Ф.Б. и Д.Л. можно приставить -- не ко всякому, конечно, но ко многим словам -- приставку "супер-", и откроется новый мир, одновременно похожий и непохожий на то, что было раньше -- так и теперь можно дописать в какой-нибудь оборот слова "искривленный", "второго рода", приставку "контра-", иногда "полу-" -- и откроется новый мир.

И.М. Гельфанд говорил, что в математике каждые десять лет меняется язык, но основные объекты изучения остаются неизменными. Я не мыслю на уровне "основных объектов" в этом смысле, для меня они слишком конкретны. Мой излюбленный уровень общности -- это классы объектов, такие как проконечные группы, например, или когерентные пучки, или конструктивные пучки.

Это то, что в приведенной цитате подразумевалось под "языком"; но, поскольку я в этом живу, я не вижу, чтобы там что-нибудь менялось за десять лет, или даже за тридцать. Возможно, для чувствующего колебания моды человека ситуация должна выглядеть так, как ее описывал И.М.; я не чувствую колебаний моды. С другой стороны, И.М. прав в том смысле, что основные объекты (примеры), в конечном итоге, важнее языка (определений).

Так или иначе, я занимался и занимаюсь (в этой своей деятельности) развитием языка, добавлением к нему новых слов и словообразовательных механизмов. Какое значение приобретет новый мир, который таким образом создается, будет зависеть от того, какие из гельфандовских "основных объектов математики" там удастся обнаружить или хотя бы удобно поселить. Но я не занимаюсь примерами, так что, скорее всего, это уже задача не для меня, а для кого-то другого.