![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
Продолжение предыдущего постинга, обозначения которого сохраняются.
Лемма. Пусть B -- ограниченный сверху комплекс над F, а C -- комплекс над F, ацикличный над E. Тогда группа Hom(B,C) в производной категории D(F) равна нулю.
Доказательство: пусть имеется морфизм комплексов B → C; покажем, что он становится тривиальным в производной категории комплексов над F. Морфизм B → C факторизуется как B → A → C, где A -- каноническое обрезание комплекса C в подходящем месте (так что A является комплексом над E, причем ацикличным). Пусть G → A -- почленный E-допустимый эпиморфизм комплексов в A из ограниченного сверху ацикличного комплекса G над F (отметим, что в наших предположениях всякий E-ацикличный ограниченный сверху комплекс над F является и F-ацикличным).
Пусть K -- почленное расслоенное произведение комплексов G и B над комплексом A; тогда K → B -- почленный E-допустимый эпиморфизм и E-квазиизоморфизм. Пусть L → K -- почленный E-допустимый эпиморфизм и E-квазиизоморфизм комплексов в К из ограниченного сверху комплекса L над F. Тогда композиция L → K → B является почленно F-допустимым эпиморфизмом и F-квазиизоморфизмом ограниченных сверху комплексов над F. Теперь композиция L → B → C факторизуется через G, что доказывает искомое утверждение.
Теорема. Допустим, что в наших предположениях точная категория E на самом деле абелева. Пусть D(F)hf обозначает минимальную полную триангулированную подкатегорию в D(F), содержащую все ограниченные сверху комплексы и замкнутую относительно бесконечных прямых сумм. Тогда композиция триангулированных функторов D(F)hf → D(F) → D(E) является эквивалентностью категорий.
Доказательство: мы покажем, что во всякий комплекс над E бьет квазиизоморфизм из комплекса, принадлежащего D(F)hf. В частности, отсюда будет немедленно следовать, ввиду известной леммы 1.6 из Two kinds..., примененной к гомотопической категории Hot(E) с подкатегориями Hot(F) и Acycl(E), что D(E) эквивалентна локализации D(F) по толстой подкатегории E-ацикличных комплексов над F. Далее, согласно лемме выше, последняя подкатегория полуортогональна справа D(F)hf внутри D(F). Ввиду того же утверждения о существовании квазиизоморфизма, эти две подкатегории образуют полуортогональное разложение D(F), откуда желаемое утверждение немедленно вытекает.
Чтобы построить искомый квазиизоморфизм в комплекс C над E, рассмотрим все его подкомплексы канонического обрезания, и для каждого выберем почленно E-сюръективный E-кваизиизоморфизм в него из ограниченного комплекса над F. Возьмем прямую сумму B(0) всех построенных комплексов над F и рассмотрим естественный морфизм из нее в C. Это почленно сюръективный морфизм комплексов, действующий также сюръективно на всех объектах кограниц (заведомо), коциклов и когомологий (эквивалентным образом). Возьмем ядро этого морфизма комплексов, подставим на место C и применим ту же конструкцию, и так далее, бесконечно итерируя.
Мы построили точный комплекс комплексов ... → B(2) → B(1) → B(0) → С → 0, остающийся также точным при замене всех этих комплексов на их градуированные объекты когомологий (в абелевой категории E). Все комплексы B(i) принадлежат D(F)hf по построению. Остается показать, что тотализация бикомплекса B с помощью бесконечных прямых сумм тоже принадлежит D(F)hf и Е-квазиизоморфно отображается в C.
Тотализация бикомплекса B есть прямой предел тотализаций его подкомплексов глупой фильтрации B(n) → B(n−1) → ... → B(1) → B(0). Более этого, это прямой предел последовательсти комплексов и морфизмов между ними, являющихся в каждом члене комплексов вложениями прямого слагаемого. В любой аддитивной категории со счетными прямыми суммами, прямой предел последовательности вложений прямых слагаемых X0 → X1 → ... существует и включается в расщепимую точную тройку телескопа 0 → ⊕ Xn → ⊕ Xn → lim Xn → 0. В случае с тотализациями подкомплексов глупой фильтрации бикомплекса B, мы получаем почленно расщепимую точную тройку комплексов, в которой первые два члена суть прямые суммы тотализаций таких подкомплексов, а третий член есть тотализация всего бикомплекса B. Поэтому тотализацию бикомплекса B можно получить из комплексов B(n) с помощью операций итерированного конуса и перехода к счетной прямой сумме.
Рассмотрим теперь бикомплекс, полученный аугментированием бикомплекса B с помощью комплекса C, и напишем для него аналогичную расщепимую точную тройку комплексов. Перейдем к длинной точной последовательности когомологий этой точной тройки комплексов над абелевой категорией E. Морфизмы в этой длинной точной последовательности, индуцированные левым морфизмом в точной тройке комплексов, представляют собой дифференциал в двучленном комплексе для вычисления производного функтора прямого предела когомологий тотализаций подкомплексов глупой фильтрации нашего аугментированного бикомплекса с помощью конструкции телескопа. Из условий точности, наложенных на бикомплекс B, легко следует, что отображения в когомологиях, индуцированные вложениями соседних подкомплексов глупой фильтрации аугментированного комплекса, равны нулю. Поэтому дифференциал в двучленном телескопическом комплексе, вычисляющем прямой предел когомологий, является изоморфизмом по построению. Ввиду точности длинной последовательности, отсюда следует, что когомологии тотализации аугментированного бикомплекса зануляются. (Ср. Eilenberg-Moore, Limits and spectral sequences.)
Лемма. Пусть B -- ограниченный сверху комплекс над F, а C -- комплекс над F, ацикличный над E. Тогда группа Hom(B,C) в производной категории D(F) равна нулю.
Доказательство: пусть имеется морфизм комплексов B → C; покажем, что он становится тривиальным в производной категории комплексов над F. Морфизм B → C факторизуется как B → A → C, где A -- каноническое обрезание комплекса C в подходящем месте (так что A является комплексом над E, причем ацикличным). Пусть G → A -- почленный E-допустимый эпиморфизм комплексов в A из ограниченного сверху ацикличного комплекса G над F (отметим, что в наших предположениях всякий E-ацикличный ограниченный сверху комплекс над F является и F-ацикличным).
Пусть K -- почленное расслоенное произведение комплексов G и B над комплексом A; тогда K → B -- почленный E-допустимый эпиморфизм и E-квазиизоморфизм. Пусть L → K -- почленный E-допустимый эпиморфизм и E-квазиизоморфизм комплексов в К из ограниченного сверху комплекса L над F. Тогда композиция L → K → B является почленно F-допустимым эпиморфизмом и F-квазиизоморфизмом ограниченных сверху комплексов над F. Теперь композиция L → B → C факторизуется через G, что доказывает искомое утверждение.
Теорема. Допустим, что в наших предположениях точная категория E на самом деле абелева. Пусть D(F)hf обозначает минимальную полную триангулированную подкатегорию в D(F), содержащую все ограниченные сверху комплексы и замкнутую относительно бесконечных прямых сумм. Тогда композиция триангулированных функторов D(F)hf → D(F) → D(E) является эквивалентностью категорий.
Доказательство: мы покажем, что во всякий комплекс над E бьет квазиизоморфизм из комплекса, принадлежащего D(F)hf. В частности, отсюда будет немедленно следовать, ввиду известной леммы 1.6 из Two kinds..., примененной к гомотопической категории Hot(E) с подкатегориями Hot(F) и Acycl(E), что D(E) эквивалентна локализации D(F) по толстой подкатегории E-ацикличных комплексов над F. Далее, согласно лемме выше, последняя подкатегория полуортогональна справа D(F)hf внутри D(F). Ввиду того же утверждения о существовании квазиизоморфизма, эти две подкатегории образуют полуортогональное разложение D(F), откуда желаемое утверждение немедленно вытекает.
Чтобы построить искомый квазиизоморфизм в комплекс C над E, рассмотрим все его подкомплексы канонического обрезания, и для каждого выберем почленно E-сюръективный E-кваизиизоморфизм в него из ограниченного комплекса над F. Возьмем прямую сумму B(0) всех построенных комплексов над F и рассмотрим естественный морфизм из нее в C. Это почленно сюръективный морфизм комплексов, действующий также сюръективно на всех объектах кограниц (заведомо), коциклов и когомологий (эквивалентным образом). Возьмем ядро этого морфизма комплексов, подставим на место C и применим ту же конструкцию, и так далее, бесконечно итерируя.
Мы построили точный комплекс комплексов ... → B(2) → B(1) → B(0) → С → 0, остающийся также точным при замене всех этих комплексов на их градуированные объекты когомологий (в абелевой категории E). Все комплексы B(i) принадлежат D(F)hf по построению. Остается показать, что тотализация бикомплекса B с помощью бесконечных прямых сумм тоже принадлежит D(F)hf и Е-квазиизоморфно отображается в C.
Тотализация бикомплекса B есть прямой предел тотализаций его подкомплексов глупой фильтрации B(n) → B(n−1) → ... → B(1) → B(0). Более этого, это прямой предел последовательсти комплексов и морфизмов между ними, являющихся в каждом члене комплексов вложениями прямого слагаемого. В любой аддитивной категории со счетными прямыми суммами, прямой предел последовательности вложений прямых слагаемых X0 → X1 → ... существует и включается в расщепимую точную тройку телескопа 0 → ⊕ Xn → ⊕ Xn → lim Xn → 0. В случае с тотализациями подкомплексов глупой фильтрации бикомплекса B, мы получаем почленно расщепимую точную тройку комплексов, в которой первые два члена суть прямые суммы тотализаций таких подкомплексов, а третий член есть тотализация всего бикомплекса B. Поэтому тотализацию бикомплекса B можно получить из комплексов B(n) с помощью операций итерированного конуса и перехода к счетной прямой сумме.
Рассмотрим теперь бикомплекс, полученный аугментированием бикомплекса B с помощью комплекса C, и напишем для него аналогичную расщепимую точную тройку комплексов. Перейдем к длинной точной последовательности когомологий этой точной тройки комплексов над абелевой категорией E. Морфизмы в этой длинной точной последовательности, индуцированные левым морфизмом в точной тройке комплексов, представляют собой дифференциал в двучленном комплексе для вычисления производного функтора прямого предела когомологий тотализаций подкомплексов глупой фильтрации нашего аугментированного бикомплекса с помощью конструкции телескопа. Из условий точности, наложенных на бикомплекс B, легко следует, что отображения в когомологиях, индуцированные вложениями соседних подкомплексов глупой фильтрации аугментированного комплекса, равны нулю. Поэтому дифференциал в двучленном телескопическом комплексе, вычисляющем прямой предел когомологий, является изоморфизмом по построению. Ввиду точности длинной последовательности, отсюда следует, что когомологии тотализации аугментированного бикомплекса зануляются. (Ср. Eilenberg-Moore, Limits and spectral sequences.)
